高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽鼎尖教育2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】易知當(dāng)?shù)?dāng)所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知集合則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知集合或.故選：D.3.已知a，b，c分別是函數(shù)的零點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：即故選：B.4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：且當(dāng)時，（m為常數(shù)），則的值為（）A B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，因為所以且周期故選：C.5.已知函數(shù)若正實數(shù)，滿足則的最小值為（）A.2 B.5 C.6 D.9【答案】D【解析】由題可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以所以所以即，當(dāng)時等號成立.故選：D.6.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可知函數(shù)的定義域為且為偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又又在上單調(diào)遞增，故選：C.7.設(shè)O是坐標(biāo)原點，單位圓O上一點A，射線OA繞著O點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OP，P為與單位圓的交點，P的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)則點又所以.故選：A.8.已知函數(shù)若都使成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】都使成立，等價于單調(diào)遞增，所以，所以對于恒成立，即，所以恒成立，所以，單調(diào)遞增，，所以即故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】易知，顯然A錯誤；由對數(shù)運(yùn)算可知，可得B正確；當(dāng)為負(fù)值時顯然，即C錯誤；易知，可得D正確.故選：BD.10.下列命題是假命題的有（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)時，不等式不成立，A為假命題；對于B，不等式不成立，B假命題；對于C，不等式成立，C為真命題；對于D，不等式不成立，D為假命題.故選：.11.已知，函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點是函數(shù)的一個對稱中心B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】由題可知，最小正周期為，，，令，點是的一個對稱中心，A正確；，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；，C錯誤；，當(dāng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句．如圖，假設(shè)這把折扇是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面積為，圓面中剩余部分的面積為.當(dāng)扇子扇形的圓心角的度數(shù)為時，扇面看上去形狀較為美觀，則此時__________.【答案】【解析】設(shè)圓面的半徑為，則.13.已知則的值為__________.【答案】0【解析】原式.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有5個實根，記為則__________.【答案】【解析】當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時則當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象如下，所以四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）求值：；（2）已知且求角的值．解：（1）原式.（2）因為所以因所以所以因為故因為所以16.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱．（1）求m的值；（2）若使得不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）由得定義域為R，由題意得是定義在R上的奇函數(shù)，所以檢驗：當(dāng)時定義域為R，又滿足故是奇函數(shù)，所以.（2）因為是奇函數(shù)，所以原不等式可化為又是R上的增函數(shù)，所以所以問題轉(zhuǎn)化為任意成立，即成立，而對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時為最小值，故17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對使得求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題可得則當(dāng)時取得最小值，則所以又因為故令解得令解得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)的值域為集合A的值域為集合B，根據(jù)題意可得：由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的值域為又上單調(diào)遞增，由得解得的取值范圍是.18.已知定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：①對任意,都有；②對任意且，都有.請解答下列問題：（1）求的值；（2）判斷的奇偶性及在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明；（3）證明：對任意正整數(shù)，.提示：①.；②..解：（1）令得：.（2）令得：，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.下面證明：任取且，，，且，則，而，則，在上單調(diào)遞減.（3）由、知在單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，，則，得證.19.已知函數(shù).（1）求的值域；（2）若，求的取值范圍；（3）解關(guān)于的方程：.解：（1）易知；因為，所以的值域為.（2）若，即；整理得，令函數(shù)，易知函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，由可得；化簡得，解得；故的取值范圍為.（3）解關(guān)于的方程，即解方程；因為；所以；因此問題等價于解方程，且；當(dāng)時，若，則，方程無解；若，則，方程無解；當(dāng)時，經(jīng)檢驗方程的解是或.安徽鼎尖教育2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】易知當(dāng)?shù)?dāng)所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知集合則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知集合或.故選：D.3.已知a，b，c分別是函數(shù)的零點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：即故選：B.4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：且當(dāng)時，（m為常數(shù)），則的值為（）A B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，因為所以且周期故選：C.5.已知函數(shù)若正實數(shù)，滿足則的最小值為（）A.2 B.5 C.6 D.9【答案】D【解析】由題可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以所以所以即，當(dāng)時等號成立.故選：D.6.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可知函數(shù)的定義域為且為偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又又在上單調(diào)遞增，故選：C.7.設(shè)O是坐標(biāo)原點，單位圓O上一點A，射線OA繞著O點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OP，P為與單位圓的交點，P的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)則點又所以.故選：A.8.已知函數(shù)若都使成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】都使成立，等價于單調(diào)遞增，所以，所以對于恒成立，即，所以恒成立，所以，單調(diào)遞增，，所以即故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】易知，顯然A錯誤；由對數(shù)運(yùn)算可知，可得B正確；當(dāng)為負(fù)值時顯然，即C錯誤；易知，可得D正確.故選：BD.10.下列命題是假命題的有（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)時，不等式不成立，A為假命題；對于B，不等式不成立，B假命題；對于C，不等式成立，C為真命題；對于D，不等式不成立，D為假命題.故選：.11.已知，函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點是函數(shù)的一個對稱中心B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】由題可知，最小正周期為，，，令，點是的一個對稱中心，A正確；，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；，C錯誤；，當(dāng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句．如圖，假設(shè)這把折扇是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面積為，圓面中剩余部分的面積為.當(dāng)扇子扇形的圓心角的度數(shù)為時，扇面看上去形狀較為美觀，則此時__________.【答案】【解析】設(shè)圓面的半徑為，則.13.已知則的值為__________.【答案】0【解析】原式.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有5個實根，記為則__________.【答案】【解析】當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時則當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象如下，所以四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）求值：；（2）已知且求角的值．解：（1）原式.（2）因為所以因所以所以因為故因為所以16.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，圖象關(guān)于原點中心對稱．（1）求m的值；（2）若使得不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）由得定義域為R，由題意得是定義在R上的奇函數(shù)，所以檢驗：當(dāng)時定義域為R，又滿足故是奇函數(shù)，所以.（2）因為是奇函數(shù)，所以原不等式可化為又是R上的增函數(shù)，所以所以問題轉(zhuǎn)化為任意成立，即成立，而對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時為最小值，故17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對使得求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題可得則當(dāng)時取得最小值，則所以又因為故令解得令解得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)的值域為集合A的值域為集合B，根據(jù)題意可得：由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的值域為又上單調(diào)遞增，由得解得的取值范圍是.18.已知定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：①對任意,都有；②對任意且，都有.請解答下列問題：（1）求的值；（2）判斷的奇偶性及在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明；（3）證明：對任意正整數(shù)，.提示：①.；②..解：（1）令得：.（2）令得：，是奇函數(shù)，