PAGEPAGE5第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間：30分鐘)1．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()(A)若l⊥β，則α⊥β(B)若α⊥β，則l⊥m(C)若l∥β，則α⊥β(D)若α∥β，則l∥mA解析：依題意，若l⊥β，l?α，則α⊥β，故A正確；若α⊥β，則l與m可能平行、垂直或異面，B錯(cuò)誤；若l∥β，則α與β平行或相交，C錯(cuò)誤；若α∥β，則l與m平行或異面，D錯(cuò)誤，選A.2．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中的真命題個(gè)數(shù)是()①若m，n都平行于平面α，則m，n肯定不是相交直線；②若m，n都垂直于平面α，則m，n肯定是平行直線；③已知α，β相互垂直，m，n相互垂直，若m⊥α，則n⊥β；④m，n在平面α內(nèi)的射影相互垂直，則m，n相互垂直．(A)1 (B)2(C)3 (D)4A解析：對(duì)于①，m，n的位置關(guān)系可能為相交、平行或異面，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，易知是正確的；對(duì)于③，直線n可能與平面β平行、相交或直線n在平面β內(nèi)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，易知正方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面的對(duì)角線在底面的射影相互垂直，但這兩條直線明顯不垂直，所以④錯(cuò)誤．綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)為1，故選A.3．已知ABC－A1B1C1是全部棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱，M是B1C1的中點(diǎn)(A)在棱AB上存在點(diǎn)N，使MN與平面ABC所成的角為45°(B)在棱AA1上存在點(diǎn)N，使MN與平面BCC1B1所成的角為45°(C)在棱AC上存在點(diǎn)N，使MN與AB1平行(D)在棱BC上存在點(diǎn)N，使MN與AB1垂直B解析：如圖，設(shè)該直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，過點(diǎn)M作MP⊥BC交BC于點(diǎn)P，連接AP，則MP＝2，AP＝eq\r(3).因?yàn)?＞eq\r(3)，故在棱AA1上存在點(diǎn)N，使得MN與平面BCC1B1所成角的大小為45°.故選B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°C解析：延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°，故選5．(2024湛江二模)下列命題正確的是()①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面；③假如兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線肯定垂直于另一個(gè)平面；④假如兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線肯定平行于另一個(gè)平面。A．①③ B．①④C．②④ D．②③C解析：留意考查所給的問題：①不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，原說法錯(cuò)誤；②兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，該說法正確；③假如兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線不肯定垂直于另一個(gè)平面，可能相交或平行于另一個(gè)平面，原說法錯(cuò)誤；④假如兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線肯定平行于另一個(gè)平面，該說法正確．綜上可得：命題正確的是：②④.故選C.6．(2024四川雅安考試)下列說法錯(cuò)誤的是()(A)兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)(B)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直(C)假如共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直(D)假如兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線肯定平行D解析：選項(xiàng)A，B，C均正確，故解除．假如兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線不肯定平行，D錯(cuò)誤．故選D.7．在四面體ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD與BC所成角為60°，且AD＝eq\r(3)，則BC等于________．解析：將該四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，在直角三角形CBE中，CE＝eq\r(3)，∠BCE＝60°，所以斜邊BC＝eq\f(\r(3),cos60°)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．(2024景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與直線C1C相交；②直線AM與直線BN平行；③直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線解析：AM與C1C異面，故①錯(cuò)；AM與BN異面，故②錯(cuò)．易知③④答案：③④9．A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相沖突，故直線EF與BD是異面直線．(2)解：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.實(shí)力提升練(時(shí)間：15分鐘)10．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中點(diǎn)，則異面直線D1C與(A)eq\f(1,5) (B)eq\f(3\r(10),10)(C)eq\f(\r(10),10) (D)eq\f(3,5)B解析：如圖連結(jié)A1B.由題意知A1D1∥BC，所以四邊形A1D1CB為平行四邊形，故D1C∥A1B.所以∠A1BE為異面直線D1C與BE所成的角．不妨設(shè)AA1＝2AB＝2，則A1E＝1，BE＝eq\r(2)，A1B＝eq\r(5)，在△A1BE中，cos∠A1BE＝eq\f(A1B2＋EB2－A1E2,2A1B·EB)＝eq\f(5＋2－1,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(3\r(10),10)，故選B.11．(2024湖南十四校)如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)E為線段CD1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1BCD1(A)eq\f(\r(2),2) (B)eq\f(1,2)(C)eq\f(\r(3),2) (D)eq\r(2)A解析：連接AB1交A1B于F，連接EF，由于AF⊥A1B，AF⊥BC，所以AF⊥平面A1BCD1，所以∠FEA為所求線面角，其正切值為eq\f(AF,EF)＝eq\f(\f(\r(2),2),1)＝eq\f(\r(2),2).故選A.12．設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________．(填正確條件的序號(hào))①x，y，z為直線；②x，y，z為平面；③x，y為直線，z為平面；④x為直線，y，z為平面解析：本題考查線面之間的位置關(guān)系，易知③正確．答案：③13．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AC1，A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在其表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P解析：如圖，分別取BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，EF，F(xiàn)D，則BN⊥平面AEFD，設(shè)M在平面ABB1A1中的射影為O，過MO與平面AEFD平行的平面為α，所以總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)與矩形AEFD的周長(zhǎng)相等，又矩形AEFD的周長(zhǎng)為2＋eq\r(5)，所以所求軌跡的周長(zhǎng)為2＋eq\r(5).答案：2＋eq\r(5)14．如圖，AC是圓O的直徑，B、D是圓O上兩點(diǎn)，AC＝2BC＝2CD＝2，PA⊥圓O所在的平面，PA＝eq\r(3)，點(diǎn)M在線段BP上，且BM＝eq\f(1,3)BP.(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求異面直線BP與CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，連接CE，如圖，則ME∥AP.∵M(jìn)E?面PAD，AP?面PAD，∴ME∥面PAD.因?yàn)锳C是圓O的直徑，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝eq\r(3)，因?yàn)锽M＝eq\f(1,3)BP，所以BE＝eq\f(1,3)BA＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC?面PAD，AD?面PAD，∴EC∥面PAD，又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面PAD，又CM?平面MEC，CM?/平面PAD，所以CM∥平面PAD.(2)過點(diǎn)A作平行于BC的直線交CD的