重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)等拔尖強基聯(lián)盟20222023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題5分，共10題，計50分）1.若函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^21}\)，則\(f^{1}(x)\)的定義域是（）。2.已知\(\log_2(3x1)>1\)，則\(x\)的取值范圍是（）。3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_3=7\)且\(a_7=17\)，則該數(shù)列的公差是（）。4.已知圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2=25\)，則圓心到直線\(3x+4y10=0\)的距離是（）。5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2+1}\)在區(qū)間\([0,1]\)上的最大值是（）。6.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\cos2\alpha\)的值是（）。7.若\(a>b>0\)，則\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)與\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的大小關(guān)系是（）。8.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，則\(\triangleABC\)是（）。9.若\(x^32x^2+x2=0\)的一個根是2，則該方程的另一個根是（）。10.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(4,1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值是（）。二、填空題（每題4分，共5題，計20分）11.已知\(f(x)=x^2+2x+1\)，則\(f(3)\)的值是________。12.若\(\tan\theta=1\)，則\(\theta\)在第二象限的度數(shù)是________。13.在等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，若\(b_1=2\)，\(b_3=8\)，則該數(shù)列的公比是________。14.已知\(\log_3(2x1)=2\)，則\(x\)的值是________。15.已知\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\cos\alpha\)的值是________。三、解答題（每題10分，共3題，計30分）16.解不等式\(\frac{2x1}{x+2}\leq1\)。17.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([0,1]\)上的最大值。18.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，求\(\triangleABC\)的面積。四、證明題（每題10分，共2題，計20分）19.已知\(a>b>0\)，證明\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}>\frac{1}{a}+\frac{1}\)。20.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(4,1)\)，證明\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)。五、綜合題（每題10分，共2題，計20分）21.已知\(f(x)=x^33x^2+2x\)，求\(f(x)\)的極值。22.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，求\(\triangleABC\)的內(nèi)切圓半徑。【解析部分】1.選擇題答案：1.A2.B3.C4.D5.A6.B7.C8.D9.B10.C2.填空題答案：11.1612.135°13.214.215.±\(\frac{1}{2}\)3.解答題答案：16.\(x\leq3\)或\(x\geq1\)17.最大值為\(\frac{1}{2}\)18.面積為\(\frac{1}{2}ab\)4.證明題答案：19.證明略20.證明略5.綜合題答案：21.極值點為\(x=1\)和\(x=2\)，極大值為\(f(1)=0\)，極小值為\(f(2)=2\)22.內(nèi)切圓半徑為\(\frac{1}{2}\)8.解答題（每題10分，共2題，計20分）9.已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^21}\)，求其定義域和值域。10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)為等差數(shù)列，且\(a_1=2,a_5=12\)，求該數(shù)列的前10項和。9.證明題（每題10分，共2題，計20分）11.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，證明該三角形是直角三角形。12.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(4,1)\)，證明\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)。10.綜合題（每題15分，共2題，計30分）13.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求其在區(qū)間\([0,1]\)上的最大值和最小值。14.已知圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2=25\)，求圓心到直線\(3x4y10=0\)的距離。11.應(yīng)用題（每題10分，共2題，計20分）15.已知某工廠的月產(chǎn)量\(Q\)與投入成本\(C\)之間的關(guān)系為\(Q=100CC^2\)，求使工廠利潤最大的成本投入。16.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)為等比數(shù)列，且\(a_1=2,a_3=18\)，求該數(shù)列的前5項和?！窘馕霾糠帧?.解答題答案：9.定義域為\(x\in(\infty,1]\cup[1,+\infty)\)，值域為\(y\in[0,+\infty)\)。10.等差數(shù)列的公差為\(d=\frac{122}{51}=2\)，前10項和為\(S_{10}=\frac{10}{2}\times(2+12)=70\)。9.證明題答案：11.證明略。12.證明略。10.綜合題答案：13.最大值為\(f(0)=1\)，最小值為\(f(1)=\frac{1}{2}\)。14.圓心到直線的距離為\(\frac{|3\times04\times010|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2\)。11.應(yīng)用題答案：15.利潤函數(shù)為\(P(C)=100CC^2C\)，最大利潤對應(yīng)\(C=50\)萬元。16.等比數(shù)列的公比為\(q=\frac{18}{2}=9\)，前5項和為\(S_5=\frac{2(19^5)}{19}=16128\)。一、解答題（共2題，每題10分，總分20分）1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^21}$，求其定義域和值域。答案：定義域為$x\in(\infty,1]\cup[1,\infty)$，值域為$y\in[0,\infty)$。知識點：函數(shù)的定義域和值域的求解，涉及平方根函數(shù)的性質(zhì)。2.已知數(shù)列$\{a_n\}$為等差數(shù)列，且$a_1=2,a_5=12$，求該數(shù)列的前10項和。答案：等差數(shù)列的公差為$d=\frac{122}{51}=2$，前10項和為$S_{10}=\frac{10}{2}\times(2+12)=70$。知識點：等差數(shù)列的通項公式和求和公式。二、證明題（共2題，每題10分，總分20分）3.已知$\triangleABC$的三邊長分別為$a,b,c$，且$a^2+b^2=c^2$，證明該三角形是直角三角形。答案：證明略。知識點：勾股定理的證明，涉及直角三角形的性質(zhì)。4.已知$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(4,1)$，證明$\vec{a}\cdot\vec=0$。答案：證明略。知識點：向量的點積，涉及向量的性質(zhì)和運算。三、綜合題（共2題，每題15分，總分30分）5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2}+1$，求其在區(qū)間$[0,1]$上的最大值和最小值。答案：最大值為$f(0)=1$，最小值為$f(1)=\frac{1}{2}$。知識點：函數(shù)的極值和最值，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。6.已知圓$C$的方程為$x^2+y^2=25$，求圓心到直線$3x4y10=0$的距離。答案：圓心到直線的距離為$\frac{|3\times04\times010|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$。知識點：圓的方程和直線到點的距離公式。四、應(yīng)用題（共2題，每題10分，總分20分）7.已知某工廠的月產(chǎn)量$Q$與投入成本$C$之間的關(guān)系為$Q=100CC^2$，求使工廠利潤最大的成本投入。答案：利潤函數(shù)為$P(C)=100CC^2C$，最大利潤對應(yīng)$C=50$萬元。知識點：函數(shù)的極值和最值，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。8.已知數(shù)列$\{a_n\}$為等比數(shù)列，且$a_1=2,a_3=18$，求該數(shù)列的前5項和。答案：等比數(shù)列的公比為$q=\frac{18}{2}=9$，前5項和為$S_5=\frac{2(19^5)}{19}=16128$。知識點：等比數(shù)列的通項公式和求和公式。1.函數(shù)部分：包括函數(shù)的定義域、值域、極值和最值的求解，涉及平方根函數(shù)、等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。2.幾何部分：包括勾股定理的證明、向量的點積以及圓的方程和直線到點的距離公式。3.綜合應(yīng)用部分：包括函數(shù)的極值和最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及