PAGEPAGE1考點(diǎn)21正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3【答案】D【解析】由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D.2．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，則A．10 B．9C．8 D．5【答案】D3．在凸平面四邊形中，，且，，，則的面積等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在凸平面四邊形中，，得，在中，,在中，.由，得BD=7.再由,得sin=，.故選：D.4．在中，，，所對的邊分別為，，，已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】A5．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為1，，，則的最小值是（）A．2B．8C．6D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化為．∴．∴．則，而=5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的最小值是9，故選：D．6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝eq\r(3)，A＝30°，B為銳角，那么角A∶B∶C為()A．1∶1∶3 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．1∶4∶1【答案】B【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2).∵B為銳角，∴B＝60°，則C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，選B.7．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝eq\r(3)，則b2＋c2的取值范圍是()A．(3,6] B．(3,5)C．(5,6] D．[5,6]【答案】C8．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則cosA＝()A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10) D．－eq\f(3\r(10),10)【答案】C【解析】設(shè)△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得eq\f(1,3)a＝csineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)c，則a＝eq\f(3\r(2),2)c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－eq\r(2)ac＝eq\f(9,2)c2＋c2－3c2＝eq\f(5,2)c2，則b＝eq\f(\r(10),2)c.由余弦定理，可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(5,2)c2＋c2－\f(9,2)c2,2×\f(\r(10),2)c×c)＝－eq\f(\r(10),10)，故選C.9．在中，角、、的對邊分別是、、，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D10．如圖，在中，，,為上一點(diǎn)，且滿意，若的面積為，則的最小值為()A．B．C．D．【答案】B11．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為100m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為（）A．100mB．100mC．50mD．25m【答案】C12．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個(gè)三角形的最大內(nèi)角的大小為．【答案】120°【解析】由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知，三角形的三邊之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角為C.由余弦定理得cosC＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.13．在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝.【答案】1【解析】∵a＝eq\r(3)c，∴sinA＝eq\r(3)sinC，∵A＝eq\f(2π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴sinC＝eq\f(1,2)，又C必為銳角，∴C＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,6)，∴b＝c.∴eq\f(b,c)＝1.14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，則b＝.【答案】eq\f(5,7)【解析】因?yàn)閏osA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)cos45°＋eq\f(3,5)sin45°＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(1,\f(7\r(2),10))×sin45°＝eq\f(5,7).15．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cosA＝.【答案】eq\f(2,3)16．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）已知，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）17．在中，角，，所對的邊分別為，，，，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，，由正弦定理得，，∴，又，，，得到，即.（2）由（1）知，，且，所以，∴.18．在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面積為a2，求cosA的值．【答案】（1）；（2）19．在三角形ABC中，已知角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且.（I）求角A的大?。唬á颍┤鬭=2，D為BC的中點(diǎn)，AD=2，求△ABC的面積.【答案】（1）（2）【解析】（I）由正弦定理及得，，所以，所以，20．如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若邊上的中線的長為，且，求的長.【答案】（1）(2)21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b.(1)求A；(2)若b＝eq\f(1,2)，求sinC.【答案】A＝eq\f(π,3)；eq\f(\r(3)＋\r(39),8).【解析】(1)∵a＝1,2cosC＋c＝2b，由余弦定理得2×eq\f(12＋b2－c2,2b)＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－1,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).由于0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)由b＝eq\f(1,2)，及b2＋c2－1＝bc，得eq\f(1,4)＋c2－1＝eq\f(1,2)c，即4c2－2c－3＝0，c解得c＝eq\f(1＋\r(13),4).由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，得sinC＝eq\f(1＋\r(13),4)×sin60°＝eq\f(\r(3)＋\r(39),8).22．△ABC中，角A,BC所對邊分別為.（1）求角C；（2）若△ABC的面積為，求邊c的值．【答案】（1）（2）223．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知，，（1）求sinA；（2）求邊c的值．【答案】（1）；（2）124．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且.（I）求；（Ⅱ）若的面積為，周長為，求.【答案】（1）（2）【解析】25．如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且．（Ⅰ）求BD的長；（Ⅱ）求△BCD的面積．【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）在中，因?yàn)?，所以?6．中，，，是邊上的點(diǎn)，，.（1）求；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖，因?yàn)?，是的外角，所以，故，即?7．在銳角中，，，則中線AD長的取值范圍是_________.【答案】【解析】設(shè)，，對運(yùn)用正弦定理，得到，解得，結(jié)合該三角形為銳角三角形，得到不等式組，解得，故，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，得到，運(yùn)用向量得到，所以，結(jié)合bc的范圍，代入，得到的范圍為28．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，的面積為，則邊____．【答案】29．在中，分別為角的對邊，已知，且的面積為，則的值為__________．【答案】【解析】△ABC中，由cos2A﹣cos2B+sin2C＝sinBsinC，得1-sin2A-（1-sin2B）+sin2C＝sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，∴b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA，又A∈（0，π），30．《數(shù)書九章》中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與聞名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.已知滿意.且，則用以上給出的公式可求得的面積為____．【答案】【解析】∵AB＝2BC＝2，∴由題意可得：c＝2a＝2，a，∵（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）＝sinAsinC﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴Sac．故答案為：31．三角形ABC中，，AC=1，以B為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形BCD（A、D在BC兩側(cè)），當(dāng)∠BAC改變時(shí)，線段AD的