PAGEPAGE104分式方程第1課時分式方程的概念及列分式方程教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．理解分式方程的概念．2．能夠依據(jù)實際問題建立分式方程的數(shù)學(xué)模型，并能歸納出分式方程的描述性定義．3．經(jīng)驗“實際問題——建立分式方程模型”的過程，提高學(xué)生分析問題、解決問題的實力，培育學(xué)生的應(yīng)用意識．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】分式方程的概念．【教學(xué)難點】依據(jù)題意列分式方程．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P125的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①eq\f(x－2,2)＝eq\f(x,3)；②eq\f(4,x)＋eq\f(3,y)＝7；③eq\f(1,x－2)＝eq\f(3,x)；④eq\f(xx－1,x)＝－1；⑤eq\f(3－x,π)＝eq\f(x,2)；⑥2x＋eq\f(x－1,5)＝10；⑦x－eq\f(1,x)＝2；⑧eq\f(2x＋1,x)＋3x＝1.解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程．3．甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工一件，乙加工服裝24件所用的時間與甲加工服裝20件所用的時間相同．如何用方程來描述其中數(shù)量間的相等關(guān)系？解：設(shè)甲每天加工服裝x件，可得方程eq\f(20,x)＝eq\f(24,x＋1).環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組探討(師生互學(xué))【例1】下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是()A．eq\f(4＋x,5)＝eq\f(2＋3x,6)B．eq\f(2x－1,7)＝eq\f(x,2)＋3C．eq\f(x,π)＋1＝eq\f(7x－1,2)D．eq\f(1,2＋x)＝1－eq\f(2,x)【互動探究】(引發(fā)學(xué)生思索)如何推斷一個方程是否是分式方程？【分析】A、B中方程分母不含未知數(shù)，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)；D中方程分母含未知數(shù)x，故是分式方程．【答案】D【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)推斷一個方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)．留意：僅僅是字母不行，必需是表示未知數(shù)的字母．【例2】某工廠生產(chǎn)一種零件，安排在20天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)4個，則15天完成且還多生產(chǎn)10個．設(shè)原安排每天生產(chǎn)x個，依據(jù)題意可列分式方程為()A．eq\f(20x＋10,x＋4)＝15B．eq\f(20x－10,x＋4)＝15C．eq\f(20x＋10,x－4)＝15D．eq\f(20x－10,x－4)＝15【互動探究】(引發(fā)學(xué)生思索)題中存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？【分析】原安排每天生產(chǎn)x個，則實際每天生產(chǎn)(x＋4)個，依據(jù)題意可得等量關(guān)系：(原安排20天生產(chǎn)的零件個數(shù)＋10個)÷實際每天生產(chǎn)的零件個數(shù)＝15天，依據(jù)等量關(guān)系列出方程為eq\f(20x＋10,x＋4)＝15.【答案】A【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．下列方程是分式方程的是(A)A．eq\f(2,x＋1)＝eq\f(5,x－3) B．eq\f(3y－1,2)＝eq\f(y＋5,6)－2C．2x2＋eq\f(1,2)x－3＝0 D．2x－5＝eq\f(8x＋1,7)2．運動會上，八(3)班拉拉隊買了兩種價格的雪糕，其中甲種雪糕共花費40元，乙種雪糕共花費30元，甲種雪糕比乙種雪糕多20根，乙種雪糕的價格是甲種雪糕價格的1.5倍，若設(shè)甲種雪糕的價格為x元，依據(jù)題意可列方程為(B)A．eq\f(40,1.5x)－eq\f(30,x)＝20B．eq\f(40,x)－eq\f(30,1.5x)＝20C．eq\f(30,x)－eq\f(40,1.5x)＝20D．eq\f(30,1.5x)－eq\f(40,x)＝203．一個兩位數(shù)的個位數(shù)字是4，假如把個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的比值是eq\f(7,4).如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？解：設(shè)對調(diào)前這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，可得方程eq\f(4×10＋x,10x＋4)＝eq\f(7,4).4．某校學(xué)生到離學(xué)校15km處植樹，部分學(xué)生騎自行車動身40min后，其余學(xué)生乘汽車動身，汽車速度是自行車速度的3倍，全體學(xué)生同時到達．如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？解：設(shè)自行車的速度為xkm/h，則汽車的速度為3xkm/h，可得方程eq\f(15,x)＝eq\f(15,3x)＋eq\f(40,60).環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)1．分式方程的概念2．列分式方程練習(xí)設(shè)計請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！第2課時分式方程的解法教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．駕馭解分式方程的基本方法和步驟．2．經(jīng)驗和體會解分式方程的基本步驟，使學(xué)生進一步了解“轉(zhuǎn)化”思想，能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的方法．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】解分式方程的基本方法和步驟．【教學(xué)難點】檢驗分式方程的解．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P126～P127的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．使分式方程分母為零的根，稱為分式方程的增根．產(chǎn)生增根的緣由是在方程兩邊同乘了一個使分母為零的整式．2．解分式方程的一般步驟是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)驗根；(4)小結(jié)．3．解方程：eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).解：x＝9.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組探討(師生互學(xué))【例1】解方程：(1)eq\f(5,x)＝eq\f(7,x－2)；(2)eq\f(1,x－2)＝eq\f(1－x,2－x)－3.【互動探究】(引發(fā)學(xué)生思索)將分式方程化為一元一次方程進行求解．【解答】(1)方程兩邊同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，解得x＝－5.檢驗：把x＝－5代入最簡公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解．(2)方程兩邊同乘(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.檢驗：把x＝2代入最簡公分母，得x－2＝0，∴原方程無解．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解分式方程的步驟：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)檢驗；(4)寫出方程的解．留意檢驗有兩種方法，一是代入原方程，二是代入去分母時乘的最簡公分母，一般是代入最簡公分母檢驗．活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,xx－2)有增根，則增根為(A)A．0 B．2C．0或2 D．12．假如關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，則m的值為(B)A．－3 B．－2C．－1 D．33．關(guān)于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.4．解方程：(1)eq\f(1,2x)＝eq\f(2,x＋3)；(2)eq\f(x,x＋1)＝eq\f(2x,3x＋3)＋1；(3)eq\f(2,x－1)＝eq\f(4,x2－1)；(4)eq\f(5,x2＋x)－eq\f(1,x2－x)＝0.解：(1)x＝1.(2)x＝－eq\f(3,2).(3)原方程無解．(4)x＝eq\f(3,2).活動3拓展延長(學(xué)生對學(xué))【例2】若關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)無解，求m的值．【互動探究】先把分式方程化為整式方程，再分兩種狀況探討求解：一元一次方程無解與分式方程有增根．【解答】方程兩邊都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①當(dāng)m－1＝0時，此方程無解，此時m＝1.②方程有增根，則x＝2或x＝－2.當(dāng)x＝2時，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4.當(dāng)x＝－2時，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6.∴m的值是1，－4或6.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數(shù)，分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數(shù)，而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數(shù)．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)1．分式方程的解法方程兩邊同乘最簡公分母，化為整式方程求解，再檢驗．2．分式方程的增根(1)解分式方程會產(chǎn)生增根的緣由；(2)分式方程檢驗的方法．練習(xí)設(shè)計請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！第3課時分式方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．通過創(chuàng)設(shè)日常生活中的情境，經(jīng)驗探究分式方程應(yīng)用的過程，會檢驗根的合理性．2．經(jīng)驗“實際問題情境——建立分式方程模型——解分式方程——檢驗解的合理性”的過程，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的實力．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】分式方程的應(yīng)用．【教學(xué)難點】在實際問題中建立分式方程的模型．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P129的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1列分式方程解應(yīng)用題的步驟：(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，列出分式方程；(4)解這個分式方程；(5)檢驗，看方程的解是否滿意方程并符合題意；(6)寫出答案．2．某單位向一所希望小學(xué)贈送1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，單獨運用B型包裝箱比單獨運用A型包裝箱可少用12個．設(shè)B型包裝箱每個可以裝x件文具，依據(jù)題意列方程為eq\f(1080,x)＝eq\f(1080,x－15)－12.3．某市政府準(zhǔn)備把一塊荒地建成公園，動用了一臺甲型挖土機，4天挖完了這塊地的一半．后又加一臺乙型挖土機，兩臺挖土機一起挖，結(jié)果1天就挖完了這塊地的另一半．乙型挖土機單獨挖這塊地須要幾天？甲型挖土機4天完成了一半，那么甲型挖土機每天挖eq\f(1,2)÷4＝eq\f(1,8)，假如設(shè)乙型挖土機單獨挖這塊地須要x天，那么一天挖eq\f(1,x)；兩臺挖土機一天共挖eq\f(1,8)＋eq\f(1,x)；兩臺一天完成另一半．所以列方程為eq\f(1,8)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)；解得x＝eq\f(8,3)，即乙單獨挖需eq\f(8,3)天．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組探討(師生互學(xué))【例1】抗洪搶險時，須要在肯定時間內(nèi)筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完成，而乙隊由于人少，單獨做則超期3個小時才能完成．現(xiàn)甲、乙兩隊合作2個小時后，甲隊又有新任務(wù)，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成．求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時？【互動探究】(引發(fā)學(xué)生思索)設(shè)甲隊單獨完成須要x小時，則乙隊須要(x＋3)小時，依據(jù)等量關(guān)系“甲工作效率×2＋乙工作效率×甲隊單獨完成須要時間＝1”列方程．【解答】設(shè)甲隊單獨完成須要x小時，則乙隊須要(x＋3)小時．由題意，得eq\f(2,x)＋eq\f(x,x＋3)＝1.解得x＝6.經(jīng)檢驗x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.故甲單獨完成全部工程需6小時，乙單獨完成全部工程需9小時．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關(guān)系．【例2】從廣州到某市，可乘坐一般列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400千米，一般列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍．(1)求一般列車的行駛路程；(2)若高鐵的平均速度(千米/時)是一般列車平均速度(千米/時)的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐一般列車所需時間縮短3小時，求高鐵的平均速度．【互動探究】(引發(fā)學(xué)生思索)(1)依據(jù)高鐵的行駛路程是400千米和一般列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍，兩數(shù)相乘即可；(2)設(shè)一般列車的平均速度是x千米/時，依據(jù)乘坐高鐵所需時間比乘坐一般列車所需時間縮短3小時，列出分式方程，然后求解即可．【解答】(1)依據(jù)題意，得400×1.3＝520(千米)．故一般列車的行駛路程是520千米．(2)設(shè)一般列車的平均速度是x千米/時，則高鐵的平均速度是2.5x千米/時．依據(jù)題意，得eq\f(520,x)－eq\f(400,2.5x)＝3，解得x＝120.經(jīng)檢驗，x＝120是原方程的解．則高鐵的平均速度是120×2.5＝300(千米/時)．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決問題的關(guān)鍵是分析題意，找到關(guān)鍵描述語和合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家，她去時經(jīng)過環(huán)灣高速馬路，全程約84千米，返回時經(jīng)過跨海大橋，全程約45千米．小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的1.2倍，所用時間卻比返回時多20分鐘．求小麗所乘汽車返回時的平均速度．解：設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時．依據(jù)題意，得eq\f(84,1.2x)－eq\f(45,x)＝eq\f(20,60).解得x＝75，經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解．故小麗所乘汽車返回時的平均速度是75千米/時．2．某廠原安排在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺，由于改進了技術(shù)，每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原安排多50%，結(jié)果提前兩天完成任務(wù)．求改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺．解：設(shè)改進技術(shù)前每天生產(chǎn)x臺．依據(jù)題意，得eq\f(60,x)＝eq\f(60,1.5x)＋2.解得x＝10.經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，則1.5x＝15.所以改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備15臺．3．一列火車從車站開出，預(yù)料行程為450千米，當(dāng)它動身3小時后，因特別狀況而多停一站，因此耽擱30分鐘，后來把速度提高了20%，結(jié)果準(zhǔn)時到達目的地，求這列火車原來的速度．解：設(shè)這列火車原來的速度為x千米/時．依據(jù)題意，得eq\f(450,x)＝3＋eq\f(1,2)＋eq\f(450－3x,1＋20%x).解得x＝75.經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解．所以這列火車原來的速度為75千米/時．4．甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的試驗器材，若甲單獨整理須要40分鐘完工，若甲、乙共同整理20分鐘后，乙須要再單獨整理20分鐘才能完工．(1)乙單獨整理須要多少分鐘完工？(2)若乙因工作須要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？解：(1)設(shè)乙單獨整理須要x分鐘完工．依據(jù)題意，得eq\f(20,40)＋eq\f(20＋20,x)＝1.解得x＝80.經(jīng)檢驗，x＝80是原分式方程的解．故乙單獨整理須要80分鐘完工．(2)設(shè)甲至少整理y分鐘才能完工．依據(jù)題意，得eq\f(30,80)＋eq\f(y,40)≥1.解得y≥25.故甲至少整理25分鐘才能完工．活動3拓展延長(學(xué)生對學(xué))【例3】佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果暢銷，其次次購買時，每千克的進價比第一次提高了10%，用1452元所購買的數(shù)量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出現(xiàn)高溫天氣，水果不易保鮮，為削減損失，便降價50%售完剩余的水果．(1)第一次水果的進價是每千克多少元？(2)該果品店在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？【互動探究】(1)依據(jù)其次次購買水果數(shù)多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先計算兩次購買水果的數(shù)量，賺錢狀況：銷售的水果量×(實際售價－當(dāng)次進價)，兩次合計，就可以求得是盈利還是虧損了．【解答】(1)設(shè)第一次購買的單價為x元，則其次次的單價為1