篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生使用，所以在平時(shí)教學(xué)時(shí)，能夠快速找到高質(zhì)量、高效率、高標(biāo)準(zhǔn)的資料顯得十分重要。編者以前常常游走于各大學(xué)習(xí)網(wǎng)站尋找自己所需的資料，可卻總在花費(fèi)大量時(shí)間與精力后才能找到自己心儀的那份，這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力不討好，實(shí)在有些苦惱。正因如此，每次在尋找資料時(shí)，編者就會(huì)想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料那又該如何呢？那么這份資料應(yīng)該首先滿足自身教學(xué)需要，并達(dá)到我的高標(biāo)準(zhǔn)要求，然后才能為他人提供參考。于是，本著這樣的想法，在結(jié)合自身教學(xué)需求和學(xué)生實(shí)際情況后，最終醞釀出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)精練「北師大版」》，它基于教材知識(shí)和常年真題進(jìn)行總結(jié)與編輯，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、思維素養(yǎng)篇、分層試卷篇等五個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精練高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.思維素養(yǎng)篇，新的學(xué)年，新的篇章，從課本到奧數(shù)，從方法到思維，從基礎(chǔ)技能到核心素養(yǎng)，其優(yōu)點(diǎn)在于由淺入深，思維核心，方法易懂。5.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和水平，主要分為A卷·基礎(chǔ)鞏固卷、B卷·素養(yǎng)提高卷、C卷·思維拓展卷，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。時(shí)光荏苒，轉(zhuǎn)眼之間，《典型例題系列》已經(jīng)歷三個(gè)學(xué)年三個(gè)版本，在過(guò)去，它揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短，去粗取精，日臻完善；在未來(lái)，它承前啟后，不斷發(fā)展，未有竟時(shí)。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見(jiàn)，請(qǐng)留言于我，歡迎您的使用，感謝您的支持！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2025年1月9日2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)精練「北師大版」第一單元圓錐篇其二·進(jìn)階性問(wèn)題【二十一大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇專題名稱第一單元圓錐篇其二·進(jìn)階性問(wèn)題專題內(nèi)容本專題包括圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法，圓錐的切面積問(wèn)題，圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題，等積變形問(wèn)題，排水法求不規(guī)則物體的體積，不規(guī)則及組合立體圖形的體積等多種典型問(wèn)題。總體評(píng)價(jià)講解建議建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平和總體掌握情況，選擇部分考點(diǎn)考題進(jìn)行講解?？键c(diǎn)數(shù)量二十一個(gè)考點(diǎn)?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其一：求圓錐體積 4【考點(diǎn)二】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其二：最大體積問(wèn)題 5【考點(diǎn)三】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其三：混合型圖形 6【考點(diǎn)四】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其四：圓臺(tái) 8【考點(diǎn)五】圓錐的切面積問(wèn)題（圓錐的切拼問(wèn)題） 9【考點(diǎn)六】比在圓錐體積中的三種應(yīng)用 10【考點(diǎn)七】圓錐體積的擴(kuò)倍與縮倍問(wèn)題 11【考點(diǎn)八】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其一：基礎(chǔ)應(yīng)用 12【考點(diǎn)九】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其二：比例關(guān)系 13【考點(diǎn)十】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其三：已知體積和 14【考點(diǎn)十一】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其四：已知體積差 15【考點(diǎn)十二】等積變形問(wèn)題其一：圓柱與圓錐之間的等積變形 15【考點(diǎn)十三】等積變形問(wèn)題其二：正方體與圓錐之間的等積變形 16【考點(diǎn)十四】等積變形問(wèn)題其三：長(zhǎng)方體與圓錐的等積變形 17【考點(diǎn)十五】排水法求不規(guī)則物體的體積其一：求圓錐的高 19【考點(diǎn)十六】排水法求不規(guī)則物體的體積其二：求水高 20【考點(diǎn)十七】排水法求不規(guī)則物體的體積其三：溢水問(wèn)題 22【考點(diǎn)十八】正方體中的最大圓錐 23【考點(diǎn)十九】長(zhǎng)方體中的最大圓錐 24【考點(diǎn)二十】組合立體圖形的體積 25【考點(diǎn)二十一】圓錐中的倒水問(wèn)題 26【第三篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其一：求圓錐體積?！痉椒c(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑。【典型例題】我們常說(shuō)“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的平面圖形是()。一個(gè)直角三角形（如圖）繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是()，它的體積是()cm3或()cm3?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)是3dm，它的面積是()dm2；以它的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的立體圖形的體積是()dm3。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是6厘米和2厘米，以較長(zhǎng)直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形是()括號(hào)內(nèi)填“圓柱”或“圓錐”，所形成的立體圖形的體積是()立方厘米。（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】3D電腦動(dòng)畫(huà)成像技術(shù)展示活動(dòng)中，技術(shù)人員用一個(gè)直角三角形（如圖），繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)()，它的體積是()cm3。【考點(diǎn)二】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其二：最大體積問(wèn)題。【方法點(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}】以下面直角三角形的直角邊為軸把它旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是什么形狀的？它的體積最大是多少？（單位cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】以三角形（如圖）的其中一條直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的最大體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】將一個(gè)直角邊分別為8厘米、6厘米的直角三角形，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，怎樣旋轉(zhuǎn)得到的圓錐的體積最大？（得數(shù)保留兩位小數(shù)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)直角三角形兩直角邊分別是4cm和6cm,現(xiàn)在分別以兩直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓錐體，體積最大的是哪個(gè)？是多少？【考點(diǎn)三】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其三：混合型圖形?！痉椒c(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}】下圖ABCD是直角梯形，以AB為軸，并將梯形繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，四邊形ABCD是直角梯形，以CD邊所在的直線為軸，將梯形繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的體積是多少？（單位：厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖是一個(gè)直角梯形，如果以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)立體圖形。（1）這個(gè)立體圖形的底面積是多少平方厘米？（2）這個(gè)立體圖形的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】在本學(xué)期的數(shù)學(xué)課上，我們通過(guò)操作，知道長(zhǎng)方形沿長(zhǎng)或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓柱；把線直角三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓錐。那么，請(qǐng)你思考：（1）下列兩個(gè)梯形（圖1），沿圖中的軸旋轉(zhuǎn)一周，形成了什么立體圖形，請(qǐng)你試著畫(huà)一畫(huà)所形成的立體圖形的示意圖。（2）如下圖（圖2），有這樣一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知對(duì)角線AC、BD相交點(diǎn)o。如果圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？【考點(diǎn)四】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其四：圓臺(tái)?！痉椒c(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑。【典型例題】如圖，將直角梯形ABCD以高AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓臺(tái)，你能算出這個(gè)圓臺(tái)的體積嗎？【對(duì)應(yīng)練習(xí)】資料卡：圖形“變”起來(lái)下圖是一個(gè)圓臺(tái)，上底半徑3cm，下底半徑5cm。根據(jù)資料中的信息自主選擇問(wèn)題并解答。(1)圓臺(tái)是由圖形()旋轉(zhuǎn)而成的。A． B． C． D．(2)如果把圓臺(tái)上底增加至()厘米，或者下底半徑縮短至()厘米，它可以變成一個(gè)圓柱體。(3)把底面半徑為3厘米的圓柱形木料，沿著底面直徑平均分成兩部分（如下圖），表面積增加了18平方厘米，請(qǐng)你計(jì)算出這個(gè)圓柱體的表面積？(4)如果把圓臺(tái)上底向圓心方向不斷縮、縮至為一個(gè)()，它可以變成一個(gè)圓錐，請(qǐng)把這個(gè)圓錐在圖中畫(huà)出來(lái)。(5)畫(huà)出的圓錐與底面半徑為5厘米的圓柱形是()的，它們的體積比是()，圓錐的體積比圓柱體積少()。(6)如果圓臺(tái)的高為15厘米，請(qǐng)你計(jì)算出圓錐體的體積是多少立方分米？【考點(diǎn)五】圓錐的切面積問(wèn)題（圓錐的切拼問(wèn)題）?！痉椒c(diǎn)撥】將圓錐沿著高并垂直于底面的方向切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個(gè)這樣的切面?！镜湫屠}】一個(gè)圓錐的底面直徑是6cm，從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成相等的兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了48cm2。這個(gè)圓錐的體積是()cm3?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)底面半徑是5厘米的圓錐體木塊，從頂點(diǎn)處沿著高豎直把它切成兩塊完全相同的木塊，這時(shí)表面積增加120平方厘米，求這個(gè)圓錐體木塊的體積是()立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)底面直徑是6cm的圓錐，沿著高方向切成2個(gè)半圓錐，表面積增加了48cm2，圓錐的高是()cm，圓錐的體積為()?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】把一個(gè)高5厘米的圓錐沿高切開(kāi)，得到兩個(gè)如圖所示的物體，表面積一共增加60平方厘米，圓錐的體積是()立方厘米?！究键c(diǎn)六】比在圓錐體積中的三種應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓錐的底面積相等時(shí)，高的比就是體積的比。2.圓錐的高相等時(shí)，底面積的比就是體積的比。3.已知底面積之比和高之比，求體積之比：分別用對(duì)應(yīng)的底面積×對(duì)應(yīng)的高求得對(duì)應(yīng)體積，再求體積之比。【典型例題】（1）兩個(gè)圓錐的底面積相等，高比是1∶2，體積比()。（2）兩個(gè)圓錐的高相等，底面積比是2∶3，體積比是()。（3）兩個(gè)圓錐高的比是3∶4，半徑比是1∶3，則體積比是多少?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】已知兩個(gè)圓錐的底面半徑比是2∶3，高的比是2∶3，則兩個(gè)圓錐的體積比是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如果兩個(gè)圓錐的底面半徑比為1∶2，高的比是2∶1，它們的體積比是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】甲乙兩個(gè)圓柱，底半徑比是2:3，高的比是4:5，它們的體積比是多少？【考點(diǎn)七】圓錐體積的擴(kuò)倍與縮倍問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】圓錐的體積隨著底面積和高的擴(kuò)大與縮小而變化，其規(guī)律與積的變化規(guī)律相似，即：1.當(dāng)高不變時(shí)，底面積擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一），體積就擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一）；2.當(dāng)?shù)酌娣e不變時(shí)，高擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一），體積就擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一）?！镜湫屠}】一個(gè)圓錐的高擴(kuò)大3倍，底面積不變，則體積()?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓錐的底面半徑擴(kuò)大2倍，高也擴(kuò)大2倍，圓錐的體積擴(kuò)大到原來(lái)的()倍?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐體的底面直徑和高都擴(kuò)大3倍，體積就擴(kuò)大()倍。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓錐的高擴(kuò)大4倍，半徑縮小為原來(lái)的，體積()?！究键c(diǎn)八】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其一：基礎(chǔ)應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】1．「應(yīng)用一」一個(gè)圓柱形木墩如圖。把這個(gè)木墩削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是多少立方分米？2．「應(yīng)用二」一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓錐的底面積是28.26平方厘米，圓柱的底面積是多少？3．「應(yīng)用三」把一根底面周長(zhǎng)是24厘米，長(zhǎng)是18厘米的圓柱形鋼材加工成與它等底等體積的圓錐形鋼材，圓錐的高是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一根圓柱體的木材，底面半徑是3分米，高是5分米。（1）給這根木材側(cè)面涂上油漆，需要涂多少平方分米？（2）把這根圓柱體木材削成等底等高的圓錐體，圓錐體積是多少立方分米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓柱的底面積是28.26平方厘米，圓錐的底面積是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱的底面積直徑是10厘米，高是15厘米，一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等，求圓錐的高是多少厘米？【考點(diǎn)九】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其二：比例關(guān)系。【方法點(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】1．「底面積之比」體積和高都相等的圓柱和圓錐，它們的底面積之比是()。2．「高之比」一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積相等，圓柱的半徑與圓錐的半徑比是1∶2，則圓柱的高與圓錐的高的比為()。3．「體積之比」一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，底面積的比是，高之比是，那么這個(gè)圓柱和圓錐的體積之比是()?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面積相等，體積的比是3∶1，高的比是()?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍，圓錐與圓柱的體積比值是()?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐的，圓柱和圓錐底面積的比是5∶4。圓柱和圓錐體積的比是多少？【考點(diǎn)十】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其三：已知體積和。【方法點(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3。【典型例題】等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積一共是78立方分米，那么圓錐的體積是()立方分米，圓柱的體積()立方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，它們的體積之和68dm3，圓柱體積是()dm3?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，它們的體積和是36立方分米，它們的體積相差()立方分米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱體的體積與它等底等高的圓錐體的體積之和是144m3，它們的體積之差是()?！究键c(diǎn)十一】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其四：已知體積差?！痉椒c(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐大48cm3，那么圓錐的體積是()cm3。如果圓錐的底面積是9cm2，那么圓錐的高是()cm?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓錐體與和它等底等高的圓柱體體積相差30立方厘米，這個(gè)圓錐體的體積是()立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐與一個(gè)和它等底等高的圓柱的體積之差是60立方厘米，則這個(gè)圓錐的體積是()立方厘米，圓柱的體積是()立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，體積相差12.56cm3，它們的體積之和是()cm3?！究键c(diǎn)十二】等積變形問(wèn)題其一：圓柱與圓錐之間的等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形問(wèn)題，利用體積不變?cè)?，根?jù)相應(yīng)公式來(lái)求問(wèn)題?！镜湫屠}】一個(gè)圓柱的底面積直徑是10厘米，高是15厘米，一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等，求圓錐的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一塊底面直徑是10厘米，高8厘米的圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)底面周長(zhǎng)是62.8厘米的圓錐形鐵塊。這個(gè)圓錐形鐵塊的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一堆底面半徑為3米，高為1.8米的圓錐形小麥堆放進(jìn)底面半徑為2米的圓柱形糧囤中，正好裝滿，請(qǐng)問(wèn)糧囤的高是多少米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一個(gè)底面周長(zhǎng)是31.4分米，高9分米的圓柱體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑是6分米的圓錐體，圓錐的高是多少分米？【考點(diǎn)十三】等積變形問(wèn)題其二：正方體與圓錐之間的等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形問(wèn)題，利用體積不變?cè)?，根?jù)相應(yīng)公式來(lái)求問(wèn)題?！镜湫屠}】把一塊棱長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑是5厘米的圓錐形鐵塊。這個(gè)圓錐形鐵塊的高約是多少？（得數(shù)保留整厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)棱長(zhǎng)是5分米的正方體容器裝滿水后，倒入一個(gè)底面積是25平方分米的圓錐形容器里，好裝滿，這個(gè)圓錐的高是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一塊棱長(zhǎng)為10厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面直徑為20厘米錐形鐵塊。這個(gè)圓錐形鐵塊的高約多少厘米？（π取3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一塊棱長(zhǎng)為16厘米的正方體鐵塊熔成一個(gè)底面半徑是10厘米的圓錐形鐵塊。這個(gè)圓錐的高大約是多少厘米？（結(jié)果保留整數(shù)）【考點(diǎn)十四】等積變形問(wèn)題其三：長(zhǎng)方體與圓錐的等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形問(wèn)題，利用體積不變?cè)?，根?jù)相應(yīng)公式來(lái)求問(wèn)題?！镜湫屠}】一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個(gè)高5厘米的圓錐形的容器內(nèi)剛好裝滿，這個(gè)圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】學(xué)校修繕運(yùn)動(dòng)場(chǎng)買(mǎi)來(lái)一些河沙，堆成了一個(gè)底面半徑1.5米，高1.2米的近似圓錐形。將這些沙均勻的鋪在長(zhǎng)4米，寬1.57米的長(zhǎng)方體沙坑里，可以鋪多厚？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一塊長(zhǎng)方體鋼坯鑄造成一個(gè)直徑為12分米的圓錐形零件，求圓錐形零件的高?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】工人師傅要把一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體鐵塊和一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬5厘米。高4厘米的長(zhǎng)方體鐵塊；熔鑄成一個(gè)底面半徑3厘米的圓錐形零件。這個(gè)圓錐形零件的高是多少厘米？【考點(diǎn)十五】排水法求不規(guī)則物體的體積其一：求圓錐的高?！痉椒c(diǎn)撥】1.轉(zhuǎn)化法求不規(guī)則物體的體積。在遇到不規(guī)則的物體計(jì)算體積或容積時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化法把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體的體積來(lái)計(jì)算，2.排水法求不規(guī)則物體的體積的步驟如下：（1）在容器中注入適量的水，記下水位。（2）將不規(guī)則物體放入水中，再次記下水位。（3）用尺子測(cè)量容器里現(xiàn)在水面的高度。（4）用現(xiàn)在的體積減去水的體積得到不規(guī)則物體的體積3.排水法求不規(guī)則物體的體積公式。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來(lái)；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來(lái))；③V物體=S×h升高。注意：使用排水法求不規(guī)則物體體積，一般用于不溶于水或不漂浮的物體?！镜湫屠}】在一個(gè)直徑是20厘米的圓柱形容器里，放入一個(gè)底面半徑是3厘米的圓錐形鐵塊，全部浸沒(méi)在水中，這時(shí)水面上升0.3厘米。（1）圓錐形鐵塊的體積是多少立方厘米？（2）圓錐形鐵塊的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱形魚(yú)缸，底面半徑6厘米，里面盛有一些水，把一個(gè)底面半徑是3厘米的圓錐形鉛錘完全浸沒(méi)在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，這個(gè)鉛錘的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖是一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體玻璃容器，水面的高度是8厘米。把一個(gè)底面半徑是4厘米的圓錐形鉛錘完全浸入水中，水面上升了0.628厘米，這個(gè)鉛錘的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面半徑為9厘米的圓柱形水桶里裝有水，水中放著一個(gè)底面周長(zhǎng)為37.68厘米的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒(méi)在水中，取出鉛錘后水桶中水面下降2厘米，圓錐形鉛錘的高是多少厘米？【考點(diǎn)十六】排水法求不規(guī)則物體的體積其二：求水高?！痉椒c(diǎn)撥】排水法求不規(guī)則物體的體積公式。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來(lái)；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來(lái))；③V物體=S×h升高?！镜湫屠}】我會(huì)思考與計(jì)算。步驟：準(zhǔn)備一個(gè)底面積是的圓柱形空水杯水平放置。步驟：放入一塊底面積是、高是的圓錐形鉛錘，鉛錘的底面與水杯的內(nèi)壁底面貼合在一起。步驟：向水杯里倒水，水面與鉛錘頂端（點(diǎn)）剛好平行。步驟：取出鉛錘，水面下降。你能算出水面下降了多少厘米嗎？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱形容器，從里面量，底面半徑10厘米，高15厘米，容器中的水面高10厘米。當(dāng)放入一個(gè)底面半徑為5厘米、高為9厘米的圓錐形鐵錘，使其沉入水中時(shí)，容器中的水面會(huì)增高多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)內(nèi)底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯中裝有水，水中浸沒(méi)著一個(gè)底面直徑為12厘米，高10厘米的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘取出后，杯里的水面下降多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】將一個(gè)底面直徑是6厘米，高是10厘米的圓錐形鐵塊，完全浸沒(méi)在底面半徑是5厘米，高是25厘米的圓柱形容器中（水未溢出）。容器中水面會(huì)升高多少厘米？（容器厚度忽略不計(jì)）【考點(diǎn)十七】排水法求不規(guī)則物體的體積其三：溢水問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】排水法求不規(guī)則物體的體積公式。形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來(lái)；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來(lái))；③V物體=S×h升高。【典型例題】一個(gè)裝滿水的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器（如下圖），如果在容器中放入一個(gè)底面半徑，高是的實(shí)心鐵圓錐（完全浸沒(méi)），會(huì)溢出多少毫升的水？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)底面半徑是4厘米，高是6厘米的鐵制圓錐體放入盛滿水的桶里，將有多少立方厘米的水溢出？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】有一個(gè)底面半徑為8cm的圓柱形玻璃容器，水深6cm。把一塊底面半徑是6cm、高是10cm的圓錐形鐵塊放入水中，水會(huì)溢出45mL，那么這個(gè)玻璃容器有多高？（得數(shù)保留整數(shù)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)盛滿水的圓柱形玻璃容器，底面半徑是20厘米。先將一個(gè)圓柱形鐵塊浸沒(méi)在這個(gè)圓柱形玻璃容器中，溢出一些水，然后將鐵塊取出，水面下降了3厘米；接著再將一個(gè)圓錐形鐵塊浸沒(méi)在這個(gè)圓柱形玻璃容器中，也溢出一些水，發(fā)現(xiàn)這兩次溢出的水一樣多。若這個(gè)圓錐形鐵塊的底面半徑是12厘米，則它的高是多少厘米？【考點(diǎn)十八】正方體中的最大圓錐?！痉椒c(diǎn)撥】將正方體削成一個(gè)最大的圓錐，正方體的棱長(zhǎng)分別是圓錐的底面直徑和高。【典型例題】一個(gè)棱長(zhǎng)是4分米的正方體木塊，加工成一個(gè)最大的圓錐體，圓錐的體積是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】棱長(zhǎng)為6分米的正方體削成一個(gè)最大的圓錐，求圓錐體積？（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】將一塊棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊削成最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)棱長(zhǎng)是12分米的正方體木塊，加工成一個(gè)最大的圓錐體，圓錐的體積是多少立方分米？【考點(diǎn)十九】長(zhǎng)方體中的最大圓錐?！痉椒c(diǎn)撥】長(zhǎng)方體中的最大圓錐。在長(zhǎng)a厘米，寬b厘米，高c厘米的長(zhǎng)方體中切出一個(gè)體積最大的圓錐，求這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米，要以長(zhǎng)方體底面的寬作為圓錐底面圓的直徑，長(zhǎng)方體的高作為圓錐的高，再來(lái)計(jì)算圓錐的體積?！镜湫屠}】把一塊長(zhǎng)12厘米，寬9厘米，高6厘米的長(zhǎng)方體木塊加工成一個(gè)最大的圓錐，求這個(gè)圓錐的體積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)長(zhǎng)方形的木塊，高12厘米，長(zhǎng)和寬都是10厘米，若把它削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一個(gè)橫截面為正方形的長(zhǎng)方體，削成一個(gè)最大的圓錐體，已知圓錐體的底面周長(zhǎng)6.28厘米，高5厘米，長(zhǎng)方體的體積是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6分米、5分米和3分米的長(zhǎng)方體木料削成一個(gè)底面直徑是4分米的最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【考點(diǎn)二十】組合立體圖形的體積?！痉椒c(diǎn)撥】求組合立體圖形的體積，注意分析該圖是由些立體圖形組合而成的，再分別求出各圖形的體積，最后相加或相減?！镜湫屠}】計(jì)算如圖圖形的體積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】 求下面圖形的體積。（單位：厘米，π取值為3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求組合圖形的體積。（單位：cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】蒙古包也稱“氈包”，是蒙古族傳統(tǒng)民居。如圖中的蒙古包是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組成的。這個(gè)蒙古包所占的空間是多少立方米？【考點(diǎn)二十一】圓錐中的倒水問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】圓錐中倒入部分水，水的形狀也是圓錐，當(dāng)水的高度和原來(lái)圓錐的高度之比是m∶n時(shí)，水形成的圓錐和原來(lái)的圓錐的底面半徑之比也是m∶n，那么底面積的比就是m2：n2，此時(shí)體積之比就是m3：n3?！镜湫屠}】如圖，圓錐形容器中裝有水40升，水面高度是這個(gè)容器的一半，這個(gè)容器最多能裝水多少升?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是這個(gè)容器的一半，這個(gè)容器最多能裝水多少升?【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】圓錐形容器中裝有6升水，水面高度正好是圓錐高度的一半.這個(gè)容器還能裝水多少升?【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能裝多少升水?

篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生使用，所以在平時(shí)教學(xué)時(shí)，能夠快速找到高質(zhì)量、高效率、高標(biāo)準(zhǔn)的資料顯得十分重要。編者以前常常游走于各大學(xué)習(xí)網(wǎng)站尋找自己所需的資料，可卻總在花費(fèi)大量時(shí)間與精力后才能找到自己心儀的那份，這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力不討好，實(shí)在有些苦惱。正因如此，每次在尋找資料時(shí)，編者就會(huì)想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料那又該如何呢？那么這份資料應(yīng)該首先滿足自身教學(xué)需要，并達(dá)到我的高標(biāo)準(zhǔn)要求，然后才能為他人提供參考。于是，本著這樣的想法，在結(jié)合自身教學(xué)需求和學(xué)生實(shí)際情況后，最終醞釀出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列。《2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)精練「北師大版」》，它基于教材知識(shí)和常年真題進(jìn)行總結(jié)與編輯，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、思維素養(yǎng)篇、分層試卷篇等五個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精練高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.思維素養(yǎng)篇，新的學(xué)年，新的篇章，從課本到奧數(shù)，從方法到思維，從基礎(chǔ)技能到核心素養(yǎng)，其優(yōu)點(diǎn)在于由淺入深，思維核心，方法易懂。5.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和水平，主要分為A卷·基礎(chǔ)鞏固卷、B卷·素養(yǎng)提高卷、C卷·思維拓展卷，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。時(shí)光荏苒，轉(zhuǎn)眼之間，《典型例題系列》已經(jīng)歷三個(gè)學(xué)年三個(gè)版本，在過(guò)去，它揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短，去粗取精，日臻完善；在未來(lái)，它承前啟后，不斷發(fā)展，未有竟時(shí)。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見(jiàn)，請(qǐng)留言于我，歡迎您的使用，感謝您的支持！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2025年1月9日2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)精練「北師大版」第一單元圓錐篇其二·進(jìn)階性問(wèn)題【二十一大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇專題名稱第一單元圓錐篇其二·進(jìn)階性問(wèn)題專題內(nèi)容本專題包括圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法，圓錐的切面積問(wèn)題，圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題，等積變形問(wèn)題，排水法求不規(guī)則物體的體積，不規(guī)則及組合立體圖形的體積等多種典型問(wèn)題。總體評(píng)價(jià)講解建議建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平和總體掌握情況，選擇部分考點(diǎn)考題進(jìn)行講解?？键c(diǎn)數(shù)量二十一個(gè)考點(diǎn)?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其一：求圓錐體積 4【考點(diǎn)二】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其二：最大體積問(wèn)題 7【考點(diǎn)三】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其三：混合型圖形 9【考點(diǎn)四】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其四：圓臺(tái) 14【考點(diǎn)五】圓錐的切面積問(wèn)題（圓錐的切拼問(wèn)題） 18【考點(diǎn)六】比在圓錐體積中的三種應(yīng)用 22【考點(diǎn)七】圓錐體積的擴(kuò)倍與縮倍問(wèn)題 22【考點(diǎn)八】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其一：基礎(chǔ)應(yīng)用 24【考點(diǎn)九】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其二：比例關(guān)系 27【考點(diǎn)十】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其三：已知體積和 30【考點(diǎn)十一】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其四：已知體積差 32【考點(diǎn)十二】等積變形問(wèn)題其一：圓柱與圓錐之間的等積變形 34【考點(diǎn)十三】等積變形問(wèn)題其二：正方體與圓錐之間的等積變形 37【考點(diǎn)十四】等積變形問(wèn)題其三：長(zhǎng)方體與圓錐的等積變形 39【考點(diǎn)十五】排水法求不規(guī)則物體的體積其一：求圓錐的高 42【考點(diǎn)十六】排水法求不規(guī)則物體的體積其二：求水高 45【考點(diǎn)十七】排水法求不規(guī)則物體的體積其三：溢水問(wèn)題 48【考點(diǎn)十八】正方體中的最大圓錐 50【考點(diǎn)十九】長(zhǎng)方體中的最大圓錐 52【考點(diǎn)二十】組合立體圖形的體積 54【考點(diǎn)二十一】圓錐中的倒水問(wèn)題 57【第三篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其一：求圓錐體積。【方法點(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}】我們常說(shuō)“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的平面圖形是()。一個(gè)直角三角形（如圖）繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是()，它的體積是()cm3或()cm3?！敬鸢浮繄A圓錐50.2437.68【分析】一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的平面圖形是一個(gè)圓；一個(gè)直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是一個(gè)圓錐；本題中，得到的圓錐的高有兩種情況，如果以3cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的高是3cm，底面半徑是4cm；如果以4cm的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的高是4cm，底面半徑是3cm；根據(jù)圓錐的體積＝×底面積×高，分別代入相應(yīng)數(shù)值計(jì)算?！驹斀狻扛呤?cm的圓錐的體積為：（cm3）高是4cm的圓錐的體積為：（cm3）因此一條線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的平面圖形是圓；一個(gè)直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是圓錐，它的體積是50.24cm3或37.68cm3?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)是3dm，它的面積是()dm2；以它的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的立體圖形的體積是()dm3。【答案】4.528.26【分析】等腰直角三角形的腰就是它的直角邊，根據(jù)三角形面積＝底×高÷2求出它的面積；以等腰直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是圓錐，圓錐的底面半徑和高均為3dm。根據(jù)圓錐體積＝底面積×高÷3，求出它的體積?！驹斀狻?×3÷2＝4.5（dm2）3.14×32×3÷3＝3.14×9×3÷3＝28.26（dm3）所以，這個(gè)等腰直角三角形的面積是4.5dm2，以它的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的立體圖形的體積是28.26dm3。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是6厘米和2厘米，以較長(zhǎng)直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形是()括號(hào)內(nèi)填“圓柱”或“圓錐”，所形成的立體圖形的體積是()立方厘米。（π取3.14）【答案】圓錐25.12【分析】根據(jù)題意可知，以直角三角形的較長(zhǎng)直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形是圓錐，這個(gè)圓錐的底面半徑的2厘米，高是6厘米，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】（1）一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是6厘米和2厘米，以較長(zhǎng)直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形是圓錐。（2）×3.14×22×6＝×3.14×4×6＝25.12（立方厘米）所形成的立體圖形的體積是25.12立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】3D電腦動(dòng)畫(huà)成像技術(shù)展示活動(dòng)中，技術(shù)人員用一個(gè)直角三角形（如圖），繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)()，它的體積是()cm3?！敬鸢浮繄A錐226.08【分析】觀察圖形可知，三角形是直角三角形，一個(gè)底角是45°，所以三角形是等腰直角三角形，兩條腰相等，都是6cm。用一個(gè)直角三角形，繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)成圓錐；圓錐的底面半徑是6cm，高是6cm，根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻恳粋€(gè)直角三角形繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓錐。3.14×62×6×＝3.14×36×6×＝113.04×6×＝678.24×＝226.08（cm3）3D電腦動(dòng)畫(huà)成像技術(shù)展示活動(dòng)中，技術(shù)人員用一個(gè)直角三角形（如圖），繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓錐，它的體積是226.08cm3?！究键c(diǎn)二】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其二：最大體積問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}】以下面直角三角形的直角邊為軸把它旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是什么形狀的？它的體積最大是多少？（單位cm）【答案】圓錐體；50.24立方厘米【分析】把這個(gè)直角三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是一個(gè)底面半徑是4厘米、高3厘米或底面半徑3厘米、高4厘米的圓錐體，【詳解】體積是：3.14××3×＝50.24（立方厘米）或3.14××4×＝37.68（立方厘米）答：旋轉(zhuǎn)后得到的是圓錐體，體積最大是50.24立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】以三角形（如圖）的其中一條直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的最大體積是多少立方厘米？【答案】18.84立方厘米【分析】如果以三角形3厘米為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的底面半徑是2厘米，高是3厘米；如果以三角形的2厘米為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的底面半徑是3厘米，高是2厘米，根據(jù)圓錐體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻俊?.14×22×3＝3.14×4＝12.56（立方厘米）×3.14×32×2＝3.14×6＝18.84（立方厘米）18.84＞12.56答：這個(gè)立體圖形的最大體積是18.84立方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】將一個(gè)直角邊分別為8厘米、6厘米的直角三角形，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，怎樣旋轉(zhuǎn)得到的圓錐的體積最大？（得數(shù)保留兩位小數(shù)）【答案】以6厘米直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐體積最大，最大體積是401.92立方厘米【分析】以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐有兩種情況，以8厘米為軸，那么高是8厘米，底面半徑是6厘米；以6厘米為軸，那么高是6厘米，底面半徑是8厘米；分別計(jì)算兩種情況下的體積，然后進(jìn)行比較。【詳解】情況一：以8厘米為軸，高是8厘米，底面半徑是6厘米；（立方厘米）情況二：以6厘米為軸，高是6厘米，底面半徑是8厘米；（立方厘米）401.92立方厘米＞301.44立方厘米；答：以6厘米直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐體積最大，最大體積是401.92立方厘米。【點(diǎn)睛】直角三角形以直角邊為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體是圓錐，其中底面半徑越大，體積也就越大?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)直角三角形兩直角邊分別是4cm和6cm,現(xiàn)在分別以兩直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓錐體，體積最大的是哪個(gè)？是多少？【答案】體積最大是以直角邊4厘米為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓錐；是113.04立方厘米．【詳解】×3.14×62×4＝3.14×36×4＝113.04（立方厘米）；3.14×42×6＝3.14×16×6＝100.48（立方厘米）；113.04立方厘米＞100.48立方厘米，答：體積最大是以直角邊4厘米為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓錐，是113.04立方厘米?！究键c(diǎn)三】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其三：混合型圖形。【方法點(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑?！镜湫屠}】下圖ABCD是直角梯形，以AB為軸，并將梯形繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它的體積是多少立方厘米？【答案】301.44立方厘米【分析】觀察圖形可知，旋轉(zhuǎn)體的體積＝圓柱的體積＋圓錐的體積；其中圓柱的底面半徑是4厘米，高是4厘米；圓錐的底面半徑是4厘米，高是（10－4）厘米；根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，圓錐的體積公式V＝πr2h，分別求出圓柱的體積、圓錐的體積，再相加即可?！驹斀狻繄A柱的體積：3.14×42×4＝3.14×16×4＝200.96（立方厘米）圓錐的體積：×3.14×42×（10－4）＝×3.14×16×6＝100.48（立方厘米）旋轉(zhuǎn)體的體積：200.96＋100.48＝301.44（立方厘米）答：它的體積是301.44立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱和圓錐體積公式的運(yùn)用，結(jié)合圖形，分析出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是是由哪些立體圖形相加或相減得到，再根據(jù)圖形的體積公式列式計(jì)算。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，四邊形ABCD是直角梯形，以CD邊所在的直線為軸，將梯形繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的體積是多少？（單位：厘米）【答案】141.3立方厘米【分析】以CD邊所在的直線為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形可以看成是高為6厘米、底面半徑為3厘米的圓柱里面挖去一個(gè)高為（6－3）厘米、底面半徑為3厘米的圓錐；根據(jù)V柱＝πr2h，V錐＝πr2h，分別計(jì)算出圓柱和圓錐的體積，然后相減，即可求出這個(gè)立體圖形的體積?！驹斀狻繄A柱的體積：3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米）圓錐的體積：×3.14×32×（6－3）＝×3.14×9×3＝3.14×9＝28.26（立方厘米）立體圖形的體積：169.56－28.26＝141.3（立方厘米）答：這個(gè)立體圖形的體積是141.3立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐體積計(jì)算公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明白直角梯形繞CD邊旋轉(zhuǎn)一周，得到圖形的體積是圓柱的體積減圓錐的體積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖是一個(gè)直角梯形，如果以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)立體圖形。（1）這個(gè)立體圖形的底面積是多少平方厘米？（2）這個(gè)立體圖形的體積是多少立方厘米？【答案】（1）12.56平方厘米；（2）37.68立方厘米【分析】（1）以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)上面以2厘米為底面半徑，（5－2）厘米為高的圓錐，下面以2厘米為底面半徑，2厘米為高的圓柱的組合體，利用“”求出立體圖形的底面積；（2）已知圓錐和圓柱的底面積和高，利用“”“”表示出圓錐和圓柱的體積，最后求出它們的和，據(jù)此解答。【詳解】（1）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：這個(gè)立體圖形的底面積是12.56平方厘米。（2）×12.56×（5－2）＋12.56×2＝×12.56×3＋12.56×2＝12.56＋25.12＝37.68（立方厘米）答：這個(gè)立體圖形的體積是37.68立方厘米?！军c(diǎn)睛】掌握?qǐng)A錐和圓柱的特征，并熟記圓錐和圓柱的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】在本學(xué)期的數(shù)學(xué)課上，我們通過(guò)操作，知道長(zhǎng)方形沿長(zhǎng)或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓柱；把線直角三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓錐。那么，請(qǐng)你思考：（1）下列兩個(gè)梯形（圖1），沿圖中的軸旋轉(zhuǎn)一周，形成了什么立體圖形，請(qǐng)你試著畫(huà)一畫(huà)所形成的立體圖形的示意圖。（2）如下圖（圖2），有這樣一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知對(duì)角線AC、BD相交點(diǎn)o。如果圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）565.2立方厘米【分析】（1）左邊梯形可以看成三角形和長(zhǎng)方形，下邊長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周是圓柱，上邊三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，即圓柱上邊摞一個(gè)圓錐；右邊提醒是繞上底旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于圓柱上邊挖去一個(gè)倒著的圓錐，據(jù)此作圖。（2）這個(gè)立體圖形可以看成兩個(gè)圓錐削掉上半部分然后疊加，但還要減去兩個(gè)小圓錐，才是陰影部分掃出的立體圖形的真實(shí)體積。【詳解】（1）；（2）設(shè)三角形BOC以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是V，則V＝×62×10×π－2××32×5×π＝120π－30π＝90π（立方厘米）2V＝180π＝565.2（立方厘米）答：陰影部分掃過(guò)的立體的體積是565.2立方厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉圓柱和圓錐的特點(diǎn)，圓錐體積＝底面積×高×?！究键c(diǎn)四】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法其四：圓臺(tái)?！痉椒c(diǎn)撥】沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑。【典型例題】如圖，將直角梯形ABCD以高AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓臺(tái)，你能算出這個(gè)圓臺(tái)的體積嗎？【答案】197.82立方厘米【分析】如下圖：分別將CD和AB兩條邊延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，形成三角形EBC，將三角形EBC以EB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)大圓錐，這個(gè)圓錐比題中要求的圓臺(tái)多了一個(gè)小圓錐（圓臺(tái)上虛線部分）。因?yàn)椤螧＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC為等腰直角三角形，則EB＝BC＝6厘米，EA為6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，則∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，將數(shù)據(jù)代入分別求出大圓錐和小圓錐的體積，最后相減即可得到圓臺(tái)的體積?！驹斀狻坑煞治隹傻茫悍謩e將CD和AB兩條邊延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，形成三角形EBC，在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，則三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米；大圓錐體積：×3.14×62×6＝×3.14×36×6＝（×36）×3.14×6＝12×3.14×6＝37.68×6＝226.08（立方厘米）6－3＝3（厘米）×3.14×32×3＝×3.14×9×3＝（×9）×3.14×3＝3×3.14×3＝9.42×3＝28.26（立方厘米）226.08－28.26＝197.82（立方厘米）答：這個(gè)圓臺(tái)的體積是197.82立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了巧妙的將未知立體圖形的體積求法轉(zhuǎn)化到已知立體圖形的體積求法上來(lái)，熟悉的掌握?qǐng)A錐體是通過(guò)什么圖形的旋轉(zhuǎn)得來(lái)是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】資料卡：圖形“變”起來(lái)下圖是一個(gè)圓臺(tái)，上底半徑3cm，下底半徑5cm。根據(jù)資料中的信息自主選擇問(wèn)題并解答。(1)圓臺(tái)是由圖形（

）旋轉(zhuǎn)而成的。A． B． C． D．(2)如果把圓臺(tái)上底增加至()厘米，或者下底半徑縮短至()厘米，它可以變成一個(gè)圓柱體。(3)把底面半徑為3厘米的圓柱形木料，沿著底面直徑平均分成兩部分（如下圖），表面積增加了18平方厘米，請(qǐng)你計(jì)算出這個(gè)圓柱體的表面積？(4)如果把圓臺(tái)上底向圓心方向不斷縮、縮至為一個(gè)()，它可以變成一個(gè)圓錐，請(qǐng)把這個(gè)圓錐在圖中畫(huà)出來(lái)。(5)畫(huà)出的圓錐與底面半徑為5厘米的圓柱形是()的，它們的體積比是()，圓錐的體積比圓柱體積少()。(6)如果圓臺(tái)的高為15厘米，請(qǐng)你計(jì)算出圓錐體的體積是多少立方分米？【答案】(1)C(2)53(3)84.78平方厘米(4)點(diǎn)；圖見(jiàn)詳解(5)等底等高1∶3(6)392.5立方分米【分析】（1）根據(jù)圓臺(tái)的特征可知，圓臺(tái)是通過(guò)直角梯形旋轉(zhuǎn)得到的，據(jù)此解答；（2）由于圓臺(tái)是由直角梯形旋轉(zhuǎn)得到的，如果上底與下底相等，就會(huì)變成一個(gè)圓柱，據(jù)此解答；（3）增加部分的面積是長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑，寬等于圓柱的高的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積，根據(jù)長(zhǎng)方形公式：面積＝長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)＝面積÷寬，代入數(shù)據(jù)，求出長(zhǎng)，也就是圓柱的高，再根據(jù)圓柱的表面積公式：表面積＝底面積×2＋側(cè)面積，代入數(shù)據(jù)，即可解答；（4）根據(jù)圓錐的特征可知，把圓臺(tái)上底向圓心方向不斷縮、縮至為一個(gè)點(diǎn)，就是圓錐，據(jù)此畫(huà)出圓錐的圖形；（5）畫(huà)出的圓錐與底面半徑為5厘米的圓柱形是等底等高的，根據(jù)等底等高的圓柱與圓錐的關(guān)系可知，等底等高的圓錐的體積是圓柱的，據(jù)此求出圓錐與圓柱的體積比，以及圓錐的體積比圓柱體積少幾分之幾；（6）根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，即可求出圓錐的體積?！驹斀狻浚?）根據(jù)分析可知，圓臺(tái)是由圖形旋轉(zhuǎn)而成的。故答案為：C（2）如果把圓臺(tái)上底增加至5厘米，或者下底半徑縮短至3厘米，它可以變成一個(gè)圓柱體。（3）18÷2÷（3×2）＝9÷6＝1.5（厘米）3.14×32×2＋3.14×3×2×1.5＝3.14×9×2＋9.42×2×1.5＝28.26×2＋18.84×1.5＝56.52＋28.26＝84.78（平方厘米）答：這個(gè)圓柱的表面積是84.78平方厘米。（4）如果把圓臺(tái)上底向圓心方向不斷縮、縮至為一個(gè)點(diǎn)，它可以變成一個(gè)圓錐。如圖：（5）畫(huà)出的圓錐與底面半徑為5厘米的圓柱形是等底等高的；設(shè)圓錐的體積是1，則等底等高的圓柱的體積是1×3＝3圓錐的體積∶圓柱的體積＝1∶3（3－1）÷3＝2÷3＝畫(huà)出的圓錐與底面半徑為5厘米的圓柱形是等底等高的，它們的體積比是1∶3，圓錐的體積比圓柱體積少.（6）3.14×52×15×＝3.14×25×15×＝78.5×15×＝1177.5×＝392.5（立方厘米）答：圓錐體的體積是392.5立方厘米?！究键c(diǎn)五】圓錐的切面積問(wèn)題（圓錐的切拼問(wèn)題）?！痉椒c(diǎn)撥】將圓錐沿著高并垂直于底面的方向切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個(gè)這樣的切面?！镜湫屠}】一個(gè)圓錐的底面直徑是6cm，從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成相等的兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了48cm2。這個(gè)圓錐的體積是()cm3。【答案】75.36【分析】由題意可知，從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成相等的兩半后，表面積比原來(lái)增加了兩個(gè)三角形的面積，該三角形的底相當(dāng)于圓錐的直徑，三角形的高相當(dāng)于圓錐的高，據(jù)此求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻?8÷2×2÷6＝24×2÷6＝48÷6＝8（cm）×3.14×（6÷2）2×8＝×3.14×9×8＝×9×3.14×8＝3×3.14×8＝9.42×8＝75.36（cm3）則這個(gè)圓錐的體積是75.36cm3?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積，求出圓錐的高是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)底面半徑是5厘米的圓錐體木塊，從頂點(diǎn)處沿著高豎直把它切成兩塊完全相同的木塊，這時(shí)表面積增加120平方厘米，求這個(gè)圓錐體木塊的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?14【分析】根據(jù)題意，從圓錐的頂點(diǎn)處沿著高豎直把它切成兩塊完全相同的木塊，那么增加的表面積是2個(gè)切面的面積，每個(gè)切面是一個(gè)底等于圓錐的底面直徑，高等于圓錐的高的三角形；先用增加的表面積除以2，求出一個(gè)切面（三角形）的面積，然后根據(jù)三角形的高＝面積×2÷底，即可求出圓錐的高；最后根據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求出這個(gè)圓錐體木塊的體積?！驹斀狻?20÷2＝60（平方厘米）60×2÷（5×2）＝120÷10＝12（厘米）×3.14×52×12＝×3.14×25×12＝3.14×100＝314（立方厘米）【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出圓錐的高?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)底面直徑是6cm的圓錐，沿著高方向切成2個(gè)半圓錐，表面積增加了48cm2，圓錐的高是()cm，圓錐的體積為()?！敬鸢浮?75.36【分析】由題干可知，把圓錐沿高切開(kāi)，切面是三角形，三角形的底等于圓錐的底面直徑，三角形的高等于圓錐的高，根據(jù)三角形面積公式：S＝ah÷2，則h＝2S÷a，據(jù)此求出圓錐的高，然后根據(jù)圓錐的體積公式進(jìn)而求出圓錐的體積。【詳解】48÷2＝24（平方厘米）24×2÷6＝48÷6＝8（厘米）3.14×（6÷2）2×8÷3＝226.08÷3＝75.36（立方厘米）【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形面積的計(jì)算，圓錐的體積公式的應(yīng)用，熟記公式是解題關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一個(gè)高5厘米的圓錐沿高切開(kāi)，得到兩個(gè)如圖所示的物體，表面積一共增加60平方厘米，圓錐的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?88.4【分析】根據(jù)題意可知，增加的面積是2個(gè)三角形面積，三角形的底等于圓錐的底面直徑，高等于圓錐的高，由三角形的面積公式可知，三角形的底長(zhǎng)＝面積×2÷高，也就是圓錐的底面直徑，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：，即可算出圓錐的體積?！驹斀狻康酌嬷睆剑?0÷2×2÷5＝60÷5＝12（厘米）圓錐體積：（立方厘米）即圓錐的體積是188.4立方厘米?！究键c(diǎn)六】比在圓錐體積中的三種應(yīng)用。【方法點(diǎn)撥】1.圓錐的底面積相等時(shí)，高的比就是體積的比。2.圓錐的高相等時(shí)，底面積的比就是體積的比。3.已知底面積之比和高之比，求體積之比：分別用對(duì)應(yīng)的底面積×對(duì)應(yīng)的高求得對(duì)應(yīng)體積，再求體積之比。【典型例題】（1）兩個(gè)圓錐的底面積相等，高比是1∶2，體積比()。（2）兩個(gè)圓錐的高相等，底面積比是2∶3，體積比是()。（3）兩個(gè)圓錐高的比是3∶4，半徑比是1∶3，則體積比是多少?解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】已知兩個(gè)圓錐的底面半徑比是2∶3，高的比是2∶3，則兩個(gè)圓錐的體積比是多少？解析：8:27【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如果兩個(gè)圓錐的底面半徑比為1∶2，高的比是2∶1，它們的體積比是多少？解析：1:2【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】甲乙兩個(gè)圓柱，底半徑比是2:3，高的比是4:5，它們的體積比是多少？【答案】16:45【詳解】圓柱體積之比就是要比較底面積與高的乘積的比．答：它們的體積比是16:45?！究键c(diǎn)七】圓錐體積的擴(kuò)倍與縮倍問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】圓錐的體積隨著底面積和高的擴(kuò)大與縮小而變化，其規(guī)律與積的變化規(guī)律相似，即：1.當(dāng)高不變時(shí)，底面積擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一），體積就擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一）；2.當(dāng)?shù)酌娣e不變時(shí)，高擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一），體積就擴(kuò)大幾倍（或縮小為原來(lái)的幾分之一）?！镜湫屠}】一個(gè)圓錐的高擴(kuò)大3倍，底面積不變，則體積()?！敬鸢浮繑U(kuò)大三倍【詳解】略【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓錐的底面半徑擴(kuò)大2倍，高也擴(kuò)大2倍，圓錐的體積擴(kuò)大到原來(lái)的()倍?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，結(jié)合底面半徑和高的變化情況，分析并求出體積的變化情況即可?！驹斀狻恳?yàn)閳A錐體積＝3.14×半徑2×高÷3，所以當(dāng)?shù)酌姘霃綌U(kuò)大2倍，高也擴(kuò)大2倍，22×2＝8，那么圓錐的體積擴(kuò)大到原來(lái)的8倍?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積，熟記圓錐體積公式是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐體的底面直徑和高都擴(kuò)大3倍，體積就擴(kuò)大()倍。【答案】27【分析】根據(jù)圓面積公式可知，圓面積擴(kuò)大的倍數(shù)是直徑擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍，根據(jù)圓錐的體積公式可知，圓錐體積擴(kuò)大的倍數(shù)是底面積擴(kuò)大的倍數(shù)乘高擴(kuò)大的倍數(shù)?！驹斀狻?×3＝9圓錐的底面直徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，面積擴(kuò)大到原來(lái)的9倍，高擴(kuò)大到原來(lái)的3倍；則體積擴(kuò)大到原來(lái)的9×3＝27倍。【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A錐的體積計(jì)算公式是解決本題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓錐的高擴(kuò)大4倍，半徑縮小為原來(lái)的，體積()。【答案】不變【分析】根據(jù)圓錐體積＝πrh，將h×4，r×，帶入公式，化簡(jiǎn)后與原體積公式比較即可。【詳解】圓錐體積＝πrh，π（r）（h×4）＝πrh，體積不變?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐體積，根據(jù)積的變化規(guī)律來(lái)思考，一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變?！究键c(diǎn)八】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其一：基礎(chǔ)應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3。【典型例題】1．「應(yīng)用一」一個(gè)圓柱形木墩如圖。把這個(gè)木墩削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是多少立方分米？【答案】25.12立方分米【分析】已知圓柱的底面直徑是4分米，高為6分米，若把它削成一個(gè)最大的圓錐體，則削成的圓錐和圓柱的底面直徑以及高都相等，根據(jù)等底等高的圓錐體的體積是圓柱體積的三分之一，因此，求出圓柱的體積除以3即可?！驹斀狻?.14×（4÷2）2×6÷3＝3.14×24÷3＝3.14×8＝25.12（立方分米）答：圓錐的體積是25.12立方分米?！军c(diǎn)睛】此題的知識(shí)點(diǎn)是：圓錐和圓柱的關(guān)系，根據(jù)圓柱的底面直徑和高，依次求圓柱的底面面積和體積。2．「應(yīng)用二」一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓錐的底面積是28.26平方厘米，圓柱的底面積是多少？【答案】9.42平方厘米【分析】圓柱與圓錐的體積、底面積、高之間存在有趣的關(guān)系，如下：等底等高時(shí)：V圓柱＝3V圓錐等底等體積時(shí)：h圓錐＝3h圓柱等高等體積時(shí)：S圓錐＝3S圓柱【詳解】28.26÷3＝9.42（平方厘米）答：圓柱的底面積是9.42平方厘米。3．「應(yīng)用三」把一根底面周長(zhǎng)是24厘米，長(zhǎng)是18厘米的圓柱形鋼材加工成與它等底等體積的圓錐形鋼材，圓錐的高是多少？【答案】54厘米【分析】根據(jù)題意可知，把一個(gè)圓柱形鋼材加工成與它等底等體積的圓錐形鋼材，由圓柱的體積公式V＝Sh，圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓柱的高h(yuǎn)柱＝V÷S，圓錐的高h(yuǎn)錐＝3V÷S，當(dāng)圓柱和圓錐等體積等底面積時(shí)，圓錐的高是是圓柱高的3倍，據(jù)此解答?！驹斀狻?8×3＝54（厘米）答：圓錐的高是54厘米?！军c(diǎn)睛】掌握等體積等底的圓柱和圓錐的高之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一根圓柱體的木材，底面半徑是3分米，高是5分米。（1）給這根木材側(cè)面涂上油漆，需要涂多少平方分米？（2）把這根圓柱體木材削成等底等高的圓錐體，圓錐體積是多少立方分米？【答案】（1）94.2平方分米（2）47.1立方分米【分析】（1）圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，據(jù)此求出需要涂出的面積；（2）等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，先求出圓柱的體積，再求出圓錐的體積即可。【詳解】（1）（平方分米）答：需要涂94.2平方分米。（2）（立方分米）答：圓錐體積是47.1立方分米?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積和體積、圓錐的體積，解答本題的關(guān)鍵是熟記側(cè)面積和體積計(jì)算公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓柱的底面積是28.26平方厘米，圓錐的底面積是多少？【答案】84.78平方厘米【分析】圓柱與圓錐的體積、底面積、高之間存在有趣的關(guān)系，如下：等底等高時(shí)：V圓柱＝3V圓錐；等底等體積時(shí)：h圓錐＝3h圓柱；等高等體積時(shí)：S圓錐＝3S圓柱；結(jié)合條件，用28.26乘3即可求出圓錐的底面積?！驹斀狻?8.26×3＝84.78（平方厘米）答：圓錐的底面積是84.78平方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查了圓柱與圓錐的關(guān)系，關(guān)鍵熟記它們之間的變化規(guī)律?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱的底面積直徑是10厘米，高是15厘米，一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等，求圓錐的高是多少厘米？【答案】45厘米【分析】根據(jù)“圓錐體的體積等于等底等高的圓柱體體積的”可知：一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等時(shí)，圓錐的高是圓柱的高的3倍，據(jù)此解答?！驹斀狻?5×3＝45（厘米）答：圓錐的高是45厘米。【點(diǎn)睛】解答本題需熟練掌握等底等高的圓柱體和圓錐體體積之間的關(guān)系。【考點(diǎn)九】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其二：比例關(guān)系。【方法點(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3。【典型例題】1．「底面積之比」體積和高都相等的圓柱和圓錐，它們的底面積之比是()?！敬鸢浮?∶3【分析】圓柱的體積公式：體積＝底面積×高；底面積＝體積÷高；圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×；底面積＝體積÷高÷；體積相等，高相等；設(shè)體積為v，高為h；圓柱的底面積＝v÷h；圓錐的底面積＝v÷h÷；再根據(jù)比的意義，求出它們的底面積之比，據(jù)此解答。【詳解】設(shè)體積為v，高為h。（v÷h）∶（v÷h÷）＝∶＝1∶3體積和高都相等的圓柱和圓錐，它們的底面積之比是1∶3。2．「高之比」一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積相等，圓柱的半徑與圓錐的半徑比是1∶2，則圓柱的高與圓錐的高的比為()。【答案】4∶3【分析】已知圓柱和圓錐的體積相等，它們底面半徑的比是1∶2，假設(shè)圓柱的半徑為1，圓錐的半徑為2，體積都為1，根據(jù)圓柱的體積計(jì)算公式“V＝πr2h”、圓錐的體積計(jì)算公式“V＝πr2h”，代入數(shù)據(jù)求解圓柱和圓錐的高，再寫(xiě)出它們的比，然后化簡(jiǎn)即可，化簡(jiǎn)比根據(jù)比的基本性質(zhì)作答，即比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），比值不變?！驹斀狻考僭O(shè)圓柱的半徑為1，圓錐的半徑為2，體積都為1圓柱的高：1÷（π×12）＝1÷（π×1）＝1÷π＝圓錐的高：3×1÷（π×22）＝3×1÷（π×4）＝3×1÷4π＝∶＝（×4π）∶（×4π）＝4∶3圓柱的高與圓錐的高的比為4∶3。3．「體積之比」一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，底面積的比是，高之比是，那么這個(gè)圓柱和圓錐的體積之比是()?！敬鸢浮?∶4【分析】根據(jù)題意，假設(shè)圓柱的底面積為2S，圓錐的底面積為3S，圓柱的高為5h，圓錐的高為8h，根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，圓錐的體積＝底面積×高÷3，求出二者的體積，再根據(jù)比的意義求出二者之比并化簡(jiǎn)?！驹斀狻考僭O(shè)圓柱的底面積為2S，圓錐的底面積為3S，圓柱的高為5h，圓錐的高為8h。（2S×5h）∶（3S×8h÷3）＝10Sh∶8Sh＝（10Sh÷2Sh）∶（8Sh÷2Sh）＝5∶4所以，這個(gè)圓柱和圓錐的體積之比是5∶4?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面積相等，體積的比是3∶1，高的比是()?！敬鸢浮?∶1【分析】由題意可知，設(shè)圓錐的體積為V，則圓柱的體積為3V，它們的底面積為S，然后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，圓錐的體積公式：V＝Sh，據(jù)此求出它們的高的比。據(jù)此解答即可?！驹斀狻吭O(shè)圓錐的體積為V，則圓柱的體積為3V，它們的底面積為S（3V÷S）∶（3V÷S）＝1∶1則高的比是1∶1。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍，圓錐與圓柱的體積比值是()?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，圓錐的體積公式：V＝Sh，因“圓柱的底面積是圓錐底面積的”是以圓錐底面積為單位“1”，所以設(shè)圓錐的底面積為S，則圓柱的底面積為，又因“圓錐的高是圓柱高的2倍”是以圓柱的高為標(biāo)準(zhǔn)量，所以設(shè)圓柱的高為h，則圓錐的高為2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。【詳解】假設(shè)圓錐的底面積為S，則圓柱的底面積為，圓柱的高為h，則圓錐的高為2h，圓錐與圓柱體積的比值是：圓錐與圓柱的體積比值是。【點(diǎn)睛】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用；本題還要注意題目中的倍數(shù)關(guān)系是以哪個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)量，最后求比值也要看清楚哪個(gè)量是比的前項(xiàng)，哪個(gè)量是比的后項(xiàng)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐的，圓柱和圓錐底面積的比是5∶4。圓柱和圓錐體積的比是多少？解析：5:2【考點(diǎn)十】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其三：已知體積和?！痉椒c(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積一共是78立方分米，那么圓錐的體積是()立方分米，圓柱的體積()立方分米。【答案】19.558.5【分析】等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐體積的3倍，根據(jù)和倍問(wèn)題解題方法，體積和÷（倍數(shù)＋1）＝圓錐體積，體積和－圓錐體積＝圓柱體積，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?8÷（3＋1）＝78÷4＝19.5（立方分米）78－19.5＝58.5（立方分米）圓錐的體積是19.5立方分米，圓柱的體積58.5立方分米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，它們的體積之和68dm3，圓柱體積是()dm3?！敬鸢浮?1【分析】等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐體積的3倍，它們的體積和÷（3＋1）＝圓錐體積，圓錐體積×3＝圓柱體積，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?8÷（3＋1）×3＝68÷4×3＝51（dm3）圓柱體積是51dm3?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解圓柱和圓錐體之間的關(guān)系，掌握和倍問(wèn)題的解題方法。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，它們的體積和是36立方分米，它們的體積相差()立方分米。【答案】18【分析】根據(jù)等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，可知它們的體積之和是圓錐體積的（3＋1）倍，已知體積之和是36立方分米，用除法即可求出圓錐的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積，再相減即可?！驹斀狻?6÷（3＋1）＝36÷4＝9（立方分米）36－9＝27（立方分米）27－9＝18（立方分米）即它們的體積相差18立方分米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱體的體積與它等底等高的圓錐體的體積之和是144m3，它們的體積之差是()?！敬鸢浮?2m3【分析】根據(jù)等底等高的圓柱體的體積等于圓錐體的體積的3倍，據(jù)此解答即可。【詳解】據(jù)題意可知：V圓柱＝3V圓錐V圓柱＋V圓錐＝144V圓錐＝144÷（3＋1）＝144÷4＝36（m3）V圓柱＝36×3＝108（m3）所以，它們的體積之差是：108－36＝72（m3）【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體的體積和圓錐體的體積之間的關(guān)系，關(guān)鍵要抓住等底等高這個(gè)條件。【考點(diǎn)十一】圓柱與圓錐的關(guān)系問(wèn)題其四：已知體積差。【方法點(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的，圓錐與圓柱的體積之比是1∶3。【典型例題】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐大48cm3，那么圓錐的體積是()cm3。如果圓錐的底面積是9cm2，那么圓錐的高是()cm?！敬鸢浮?48【分析】等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以等底等高的圓柱與圓錐的體積差相當(dāng)于圓錐體積的（3－1）倍，即用圓柱比圓錐體積大的部分除以（3－1）即可求出圓錐體積；根據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，代入公式求出圓錐的高即可。【詳解】由分析可得：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，48÷（3－1）＝48÷2＝24（cm3）24÷÷9＝24×3÷9＝72÷9＝8（cm）綜上所述：一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐大48cm3，那么圓錐的體積是24cm3。如果圓錐的底面積是9cm2，那么圓錐的高是8cm。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓錐體與和它等底等高的圓柱體體積相差30立方厘米，這個(gè)圓錐體的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?5【分析】圓柱的體積是等底等高的圓錐體積的3倍，將圓錐的體積看成1份，那么等底等高的圓柱的體積就是3份，它們的體積相差3－1＝2份，用30÷2求出相差1份的體積是多少，也就是圓錐的體積。【詳解】30÷（3－1）＝30÷2＝15（立方厘米）圓錐體的體積是15立方厘米?！军c(diǎn)睛】熟練掌握等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐與一個(gè)和它等底等高的圓柱的體積之差是60立方厘米，則這個(gè)圓錐的體積是()立方厘米，圓柱的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?090【分析】圓錐與圓柱等底等高，所以圓錐的體積是圓柱體積的，所以圓柱的體積比圓錐的體積多，知道了它們的體積差是60立方厘米，所以圓柱的體積就是，用求出的圓柱體積乘，就是圓錐的體積?！驹斀狻浚剑剑剑⒎嚼迕祝⒎嚼迕祝┧詧A錐的體積是30立方厘米，圓柱的體積是90立方厘米。【點(diǎn)睛】考查等底等高的圓柱與圓錐的體積關(guān)系，重點(diǎn)是知道它們之間存在著的數(shù)量關(guān)系?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，體積相差12.56cm3，它們的體積之和是()cm3?！敬鸢浮?5.12【分析】圓柱體積＝底面積×高，圓錐體積＝×底面積×高，所以等底等高圓柱的體積是圓錐體積的3倍，等底等高圓柱和圓錐的體積差是圓錐體積的2倍。將體積差除以2，求出圓錐體積，再將圓錐體積乘3，求出圓柱體積。將圓柱和圓錐體積相加，求出體積之和。【詳解】12.56÷2＝6.28（cm3）6.28×3＝18.84（cm3）6.28＋18.84＝25.12（cm3）所以，它們的體積之和是25.12cm3?！究键c(diǎn)十二】等積變形問(wèn)題其一：圓柱與圓錐之間的等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形問(wèn)題，利用體積不變?cè)?，根?jù)相應(yīng)公式來(lái)求問(wèn)題?！镜湫屠}】一個(gè)圓柱的底面積直徑是10厘米，高是15厘米，一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等，求圓錐的高是多少厘米？【答案】45厘米【分析】根據(jù)“圓錐體的體積等于等底等高的圓柱體體積的”可知：一個(gè)圓錐的體積與這個(gè)圓柱的體積相等，底面積也相等時(shí)，圓錐的高是圓柱的高的3倍，據(jù)此解答。【詳解】15×3＝45（厘米）答：圓錐的高是45厘米。【點(diǎn)睛】解答本題需熟練掌握等底等高的圓柱體和圓錐體體積之間的關(guān)系。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一塊底面直徑是10厘米，高8厘米的圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)底面周長(zhǎng)是62.8厘米的圓錐形鐵塊。這個(gè)圓錐形鐵塊的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)圓錐形鐵塊，形狀變了，鐵塊的體積不變。先根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出鐵塊的體積；已知圓錐形鐵塊的底面周長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圓錐的底面半徑；然后根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓錐的底面積；根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓錐的高h(yuǎn)＝3V÷S，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個(gè)圓錐形鐵塊的高?！驹斀狻胯F塊的體積：3.14×（10÷2）2×8＝3.14×25×8＝628（立方厘米）圓錐的底面半徑：62.8÷3.14÷2＝10（厘米）圓錐的底面積：3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米）圓錐的高：628×3÷314＝1884÷314＝6（厘米）答：這個(gè)圓錐形鐵塊的高是6厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖