1.4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)7種常見考法歸類課程標準學(xué)習(xí)目標借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦)的定義，了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值．借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握三角函數(shù)的定義及會求任意角的三個三角函數(shù)值，并能準確判斷任意角的三角函數(shù)值的符號，能夠求三角函數(shù)的簡單性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用知識點01任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)1．給定任意角α，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，則v＝sina，u＝cosa．2．利用角的終邊上任意一點的坐標定義正、余弦函數(shù)如圖所示，在角α終邊上任取一點P(x，y)，設(shè)|OP|＝r，則sinα＝xr＝y(tǒng)x2+y2．【即學(xué)即練1】已知點P55,?255是角A．?255 B．55 C．【即學(xué)即練2】已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】若角的終邊經(jīng)過點，則_______，______．【即學(xué)即練4】在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D． 【即學(xué)即練5】已知角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【即學(xué)即練6】若cosα=32，且角α的終邊經(jīng)過點P(x,?2)，則P點的橫坐標xA．23 B．±23 C．22知識點02正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)1．定義域：R．2．最大(小)值：當α＝2kπ+π2(k∈Z)時，正弦函數(shù)v＝sinα當α＝2kπ?π2(k∈Z)時，正弦函數(shù)v＝sinα當α＝2kπ(k∈Z)時，余弦函數(shù)u＝cosα取得最大值1；當α＝(2k+1)π(k∈Z)時，余弦函數(shù)取得最小值?1．3．值域：[?1,1]．4．周期性：對任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sina，α∈R；對任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝cosa，α∈R，最小正周期為2π.5．單調(diào)性：正弦函數(shù)在區(qū)間2kπ?π2,2kπ+π2(k∈Z)上單調(diào)遞增，在區(qū)間2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上單調(diào)遞減．余弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ?π,【即學(xué)即練7】求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：(1)；(2)；(3)；(4)．【即學(xué)即練8】已知函數(shù)的最小值為，最大值為2，求、的值.知識點03正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號注：對三角函數(shù)值符號的理解三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標符號導(dǎo)出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據(jù)三角函數(shù)定義知：(1)正弦值符號取決于縱坐標y的符號；(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號．【即學(xué)即練9】若sinα<0,cosα<0，則αA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【即學(xué)即練10】已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【即學(xué)即練11】“角是第一或第三象限角”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件知識點04誘導(dǎo)公式1.特殊角的終邊的對稱關(guān)系（1）角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱．（2）角α±π的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱．（3）角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱．2.－α、α±π、π－α的誘導(dǎo)公式－α：sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαα＋π：sin(α＋π)＝－sinαcos(α＋π)＝－cosαα－π：sin(α－π)＝－sinαcos(α－π)＝－cosαπ－α：sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosα注：①記憶方法：－α、α±π、π－α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，概括為“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原函數(shù)名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若α看成銳角，則π＋α的終邊在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin(π＋α)＝－sinα.3.π2±α與αsinπ2?α＝cosa，cossinπ2+α＝cosa，cos注：(1)記憶口訣：“函數(shù)名改變，符號看象限”．(2)誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復(fù)角，應(yīng)用時要注意整體把握，靈活變通．(3)這八組誘導(dǎo)公式可歸納為“k·90°±α(k∈Z)”的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．當k為偶數(shù)時得角α的同名三角函數(shù)值，當k為奇數(shù)時得角α的異名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數(shù)值的符號，可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．【即學(xué)即練12】已知sinπ3?x=?3A．35 B．45 C．?3【即學(xué)即練13】已知cosθ+π6=?1A．?154 B．154 C．?【即學(xué)即練14】化簡的結(jié)果是________.題型一：已知角求三角函數(shù)值例1.點P從點?1,0出發(fā)，繞以坐標原點為圓心的單位圓順時針旋轉(zhuǎn)π6到達點Q，則點Q的坐標是（

A．?12,32 B．12【方法技巧與總結(jié)】作出角α的終邊與單位圓相交，求出交點坐標，利用正、余弦函數(shù)的定義求解．題型二：已知角α終邊上一點求三角函數(shù)值例2.已知角α的終邊與單位圓的交點為?35,?45A．?7 B．?17 C．17變式1.在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．變式2.已知角α的終邊經(jīng)過點（–8，–6），則cosα的值為（）A． B．C． D．變式3.角的終邊落在射線上，則的值為（）A． B． C． D．變式4.是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（）A． B． C． D．變式5.已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cosθ＝－，若點M(x，8)是角θ終邊上一點，則x等于（）A．－12 B．－10 C．－8 D．－6【方法技巧與總結(jié)】已知α終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr.已知α的終邊求(3)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．題型三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例3.下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)．變式1.求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時自變量x的集合：（1）；

（2）.變式2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)．變式3.已知函數(shù)的最大值是0，最小值是，求的值．變式4.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當x[0,2π]時，求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值.變式5.比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，.【方法技巧與總結(jié)】對于形如y＝asinx＋b的函數(shù)性質(zhì)的研究可借助y＝sinx的性質(zhì)．要清楚a，b對函數(shù)y＝asinx＋b的影響，若參數(shù)不確定還要注意分類討論．題型四：正、余弦函數(shù)值的符號判斷及應(yīng)用例4.已知且，則角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式1.若為第三象限角，則（）A． B． C． D．變式2.已知角θ在第二象限，則（

）A．sinθ>0，cosθ>0 B．sinC．sinθ<0，cosθ>0 D．sin變式3.已知Pcos305°,sin305°，則點A．一 B．二 C．三 D．四【方法技巧與總結(jié)】一個角的正、余弦函數(shù)值的符號取決于這個角的終邊所在的象限，可用口訣簡記為“一全正，三全負，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全為正值，第三象限角的正、余弦值全為負值，第二象限角的正弦值為正，第四象限角的余弦值為正．題型五：利用誘導(dǎo)公式求值給角求值例5.sin585°的值為（）A．－ B．C．－ D．變式1.若，則的值為（）A．或 B．C． D．或給值求值例6.已知sinα=45，則cosA．?45 B．?35 C．變式1.已知cos(π+α)=?12變式2.已知cos53°?αA．±15 B．265 C．1變式3.已知，則的值為（）A．B．C．D．變式4.已知，則（）A．a(chǎn) B．-aC． D．不確定變式5.設(shè)，其中a、b、α、β為非零常數(shù)．若，則________.【方法技巧與總結(jié)】1、利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的方法(1)“負化正”，用－α的誘導(dǎo)公式；(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的誘導(dǎo)公式將角化為0到2π間的角；(3)“小化銳”用π±α的誘導(dǎo)公式將大于π2(4)“銳角求值”．2、解決條件求值問題的方法(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型六：利用誘導(dǎo)公式化簡例7.已知，則＝（）A．-7 B． C． D．5變式1.化簡sin(θ?5變式2.已知α的終邊上有一點P(1,3)，則sinπ2?αA．?45 B．?25 【方法技巧與總結(jié)】(1)三角函數(shù)式化簡的關(guān)鍵是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α這幾組的誘導(dǎo)公式，它們的特點都是同名間的關(guān)系，不同的是符號的變化．(2)對于π±α和π2±α題型七：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例8.已知．（1）化簡；（2）若為第四象限角且，求的值；（3）若，求．變式1.已知.（1）化簡；（2）若，求的值.一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）的值（

）A． B． C． D．2．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）“”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）若是第四象限角，則點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．5．（2024上·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（

）A． B． C． D．6．（2024上·安徽六安·高一六安二中?？计谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發(fā)在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點在第4次相遇時，點的坐標是（

）A． B．C． D．7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．1 B． C． D．8．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．9．（2024上·河南·高三專題練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．10．（2024上·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若角的終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象上的定點，則（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024上·四川德陽·高一統(tǒng)考期末）若，則可以為（

）A． B． C． D．12．（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）下列與的值相等的是（

）A． B．C． D．13．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知，則在直角坐標系中角的終邊可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空題14．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）若，則.15．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，均為實數(shù)，若，則的值為．16．（2024下·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）化簡：.17．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，求的值為.四、解答題18．（2024上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）已知，求的值．19．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.(1)求的值；(2)求的值.20．（2024下·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）如圖，已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)至.求點的坐標.21．（2024上·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知單位圓O與x軸正半軸交于點M，點A，B在單位圓上，其中點A在第一象限，且，記，.(1)若，求點的坐標；(2)若點A的坐標為，求的值.22．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知角的終邊經(jīng)過點，求：(1)的值(2)求的值.23．（2024上·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）已知角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過定點．(1)求、的值；(2)求的值．1.4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)7種常見考法歸類課程標準學(xué)習(xí)目標借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦)的定義，了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值．借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握三角函數(shù)的定義及會求任意角的三個三角函數(shù)值，并能準確判斷任意角的三角函數(shù)值的符號，能夠求三角函數(shù)的簡單性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用知識點01任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)1．給定任意角α，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，則v＝sina，u＝cosa．2．利用角的終邊上任意一點的坐標定義正、余弦函數(shù)如圖所示，在角α終邊上任取一點P(x，y)，設(shè)|OP|＝r，則sinα＝xr＝y(tǒng)x2+y2．【即學(xué)即練1】已知點P55,?255是角A．?255 B．55 C．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接進行求解即可.【解析】因為點P55,?所以cosα=5故選：B【即學(xué)即練2】已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可直接求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，角的終邊經(jīng)過點，，所以.故選：C【即學(xué)即練3】若角的終邊經(jīng)過點，則_______，______．【答案】【分析】根據(jù)，得到，然后利用三角函數(shù)定義求解.【詳解】因為，所以，則．答案：【即學(xué)即練4】在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】角的終邊經(jīng)過點，即，則.故選：A. 【即學(xué)即練5】已知角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以，故選：B【即學(xué)即練6】若cosα=32，且角α的終邊經(jīng)過點P(x,?2)，則P點的橫坐標xA．23 B．±23 C．22【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求解即可.【解析】由三角函數(shù)的定義可得：cosα=解得x=23故選：A知識點02正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)1．定義域：R．2．最大(小)值：當α＝2kπ+π2(k∈Z)時，正弦函數(shù)v＝sinα當α＝2kπ?π2(k∈Z)時，正弦函數(shù)v＝sinα當α＝2kπ(k∈Z)時，余弦函數(shù)u＝cosα取得最大值1；當α＝(2k+1)π(k∈Z)時，余弦函數(shù)取得最小值?1．3．值域：[?1,1]．4．周期性：對任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sina，α∈R；對任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝cosa，α∈R，最小正周期為2π.5．單調(diào)性：正弦函數(shù)在區(qū)間2kπ?π2,2kπ+π2(k∈Z)上單調(diào)遞增，在區(qū)間2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上單調(diào)遞減．余弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ?π,【即學(xué)即練7】求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）（4）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為，當，即，時，函數(shù)取得最小值，當，即，時，函數(shù)取得最大值，即函數(shù)取得最大值的的集合為，函數(shù)取得最小值的的集合為；（2）因為，當，即，時，函數(shù)取得最小值，當，即，時，函數(shù)取得最大值，即函數(shù)取得最大值的的集合為，函數(shù)取得最小值的的集合為；（3）因為，當，即，時，函數(shù)取得最大值，當，即，時，函數(shù)取得最小值，即函數(shù)取得最小值的的集合為，函數(shù)取得最大值的的集合為；（4）因為，當，即，時，函數(shù)取得最小值，當，即，時，函數(shù)取得最大值，即函數(shù)取得最小值的的集合為，函數(shù)取得最大值的的集合為；【即學(xué)即練8】已知函數(shù)的最小值為，最大值為2，求、的值.【答案】.【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由題意得，解得.知識點03正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號注：對三角函數(shù)值符號的理解三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標符號導(dǎo)出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據(jù)三角函數(shù)定義知：(1)正弦值符號取決于縱坐標y的符號；(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號．【即學(xué)即練9】若sinα<0,cosα<0，則αA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負性求解即可.【解析】因為sinα<0，所以α在第三象限或第四象限，或α終邊為y因為cosα<0，所以α在第二象限或第三象限，或α終邊為y所以α是第三象限角.故選：C【即學(xué)即練10】已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.故選A.【即學(xué)即練11】“角是第一或第三象限角”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合象限角的正弦、余弦的正負情況進行判斷即可.【詳解】角是第一象限角時，，則；若角是第三象限角，，則.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分條件.若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要條件.綜上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要條件.故選:C.知識點04誘導(dǎo)公式1.特殊角的終邊的對稱關(guān)系（1）角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱．（2）角α±π的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱．（3）角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱．2.－α、α±π、π－α的誘導(dǎo)公式－α：sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαα＋π：sin(α＋π)＝－sinαcos(α＋π)＝－cosαα－π：sin(α－π)＝－sinαcos(α－π)＝－cosαπ－α：sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosα注：①記憶方法：－α、α±π、π－α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，概括為“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原函數(shù)名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若α看成銳角，則π＋α的終邊在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin(π＋α)＝－sinα.3.π2±α與αsinπ2?α＝cosa，cossinπ2+α＝cosa，cos注：(1)記憶口訣：“函數(shù)名改變，符號看象限”．(2)誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復(fù)角，應(yīng)用時要注意整體把握，靈活變通．(3)這八組誘導(dǎo)公式可歸納為“k·90°±α(k∈Z)”的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．當k為偶數(shù)時得角α的同名三角函數(shù)值，當k為奇數(shù)時得角α的異名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數(shù)值的符號，可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．【即學(xué)即練12】已知sinπ3?x=?3A．35 B．45 C．?3【答案】C【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求得cosx+【解析】cos故選：C【即學(xué)即練13】已知cosθ+π6=?1A．?154 B．154 C．?【答案】D【分析】由θ+π6?【解析】因為θ+π所以θ?5π所以cos=cos故選：D.【即學(xué)即練14】化簡的結(jié)果是________.【答案】0【分析】利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式化簡即可求值.【詳解】故答案為：0【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和輔助角公式，屬于中檔題.題型一：已知角求三角函數(shù)值例1.點P從點?1,0出發(fā)，繞以坐標原點為圓心的單位圓順時針旋轉(zhuǎn)π6到達點Q，則點Q的坐標是（

A．?12,32 B．12【答案】C【分析】根據(jù)題意得OQ為終邊的一個角為5π6，設(shè)【解析】根據(jù)題意得OQ為終邊的一個角為5π6，設(shè)根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sin5π6=y，cos5所以Q(?3故選：C【方法技巧與總結(jié)】作出角α的終邊與單位圓相交，求出交點坐標，利用正、余弦函數(shù)的定義求解．題型二：已知角α終邊上一點求三角函數(shù)值例2.已知角α的終邊與單位圓的交點為?35,?45A．?7 B．?17 C．17【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合任意角三角函數(shù)的定義可求出sinα,【解析】因為角α的終邊與單位圓的交點為?3所以cosα=?35故選：C變式1.在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得.故選：B.變式2.已知角α的終邊經(jīng)過點（–8，–6），則cosα的值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)知x=–8，y=–6，所以r=，所以cosα=，故選C.【名師點睛】利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值時，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應(yīng)分兩種情況（點所在象限不同）進行分析．變式3.角的終邊落在射線上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可在角終邊上取一點，由正弦函數(shù)定義得出結(jié)論．【詳解】由題意在終邊上取點，則，所以．故選：A．變式4.是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由題意可知，，解得，因此，.故選：A.變式5.已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cosθ＝－，若點M(x，8)是角θ終邊上一點，則x等于（）A．－12 B．－10 C．－8 D．－6【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)的定義的應(yīng)用求出x的值．【詳解】角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，且，若點M（x，8）是角θ終邊上一點，則：x＜0，利用三角函數(shù)的定義：，解得：x=-6．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】已知α終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr.已知α的終邊求(3)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．題型三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例3.下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)偶函數(shù)(4)偶函數(shù)【分析】先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義進行判斷.【詳解】（1）定義域為R，又，且，故既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；（2）的定義域為R，又，故為奇函數(shù)；（3）定義域為R，且，故為偶函數(shù)；（4）定義域為R，且，故為偶函數(shù).變式1.求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時自變量x的集合：（1）；

（2）.【答案】（1）最小值為，自變量x的集合為；（2）最小值為1，自變量x的集合為.【分析】根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；【詳解】解：（1）因為，所以當時，函數(shù)取得最小值為，此時自變量x的集合為；（2）因為，所以當時，函數(shù)取得最小值為1，此時自變量x的集合為，即.變式2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】根據(jù)正弦與余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間逐個分析即可.【詳解】（1）單調(diào)性與相同，故其單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）單調(diào)性與相反，故其單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（3）單調(diào)性與相同，故其單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（4）單調(diào)性與相反，故其單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.變式3.已知函數(shù)的最大值是0，最小值是，求的值．【答案】或．【分析】分和兩種情況列方程組求解即可【詳解】當時，解得當時，解得所以或．變式4.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當x[0,2π]時，求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值.【答案】(1)；(2)，.【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的周期的性質(zhì)即可求解；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求f(x)在[0,2π]上的最大值.【詳解】（1）；（2）由圖象可知，當x[0，2π]時，在時，.變式5.比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式得，，由函數(shù)在上的單調(diào)性，比較余弦值的大??；（2）由誘導(dǎo)公式得，利用函數(shù)在上的單調(diào)性，比較正弦值的大小.【詳解】（1），，因為，而在上單調(diào)遞減，所以，即.（2）因為，而且在上單調(diào)遞增，所以，即.【方法技巧與總結(jié)】對于形如y＝asinx＋b的函數(shù)性質(zhì)的研究可借助y＝sinx的性質(zhì)．要清楚a，b對函數(shù)y＝asinx＋b的影響，若參數(shù)不確定還要注意分類討論．題型四：正、余弦函數(shù)值的符號判斷及應(yīng)用例4.已知且，則角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】依據(jù)題設(shè)及三角函數(shù)的定義，可知角終邊上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，所以終邊在第二象限，故選B．變式1.若為第三象限角，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)為第三象限角，得出的范圍，從而求出的范圍，再根據(jù)各象限角的三角函數(shù)值的符號即可得出答案.【詳解】解：因為為第三象限角，則，所以，則為第一、第二象限以及y軸正半軸角，則.故選：D.變式2.已知角θ在第二象限，則（

）A．sinθ>0，cosθ>0 B．sinC．sinθ<0，cosθ>0 D．sin【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)在第二象限的符號，即可得出答案.【解析】因為角θ在第二象限，所以有sinθ>0，cos故選：B.變式3.已知Pcos305°,sin305°，則點A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】首先判斷305°【解析】因為270°<305所以cos305°>0，所以點Pcos305故選：D【方法技巧與總結(jié)】一個角的正、余弦函數(shù)值的符號取決于這個角的終邊所在的象限，可用口訣簡記為“一全正，三全負，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全為正值，第三象限角的正、余弦值全為負值，第二象限角的正弦值為正，第四象限角的余弦值為正．題型五：利用誘導(dǎo)公式求值給角求值例5.sin585°的值為（）A．－ B．C．－ D．【答案】A【解析】sin585°=sin（360°+180°+45°）=sin（180°+45°）=－sin45°=－．故選A．【名師點睛】①三角式的化簡通常先用誘導(dǎo)公式，將角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這可以避免交錯使用公式時導(dǎo)致的混亂．②在運用公式時正確判斷符號至關(guān)重要．③三角函數(shù)的化簡、求值是三角函數(shù)中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視．變式1.若，則的值為（）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，再根據(jù)余弦函數(shù)計算可得；【詳解】，，，或，，或.故選：A．給值求值例6.已知sinα=45，則cosA．?45 B．?35 C．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可求出結(jié)果.【解析】cosπ2+α故選：A變式1.已知cos(π+α)=?12【答案】3【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可計算.【解析】∵cos?(π+α)=?1又∵3π2∴sin故答案為：32變式2.已知cos53°?αA．±15 B．265 C．1【答案】D【分析】由cos127【解析】因為cos53°?α故選：D變式3.已知，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，所以．選B．變式4.已知，則（）A．a(chǎn) B．-aC． D．不確定【答案】B【分析】用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因為，所以故選：B變式5.設(shè)，其中a、b、α、β為非零常數(shù)．若，則________.【答案】3【分析】由結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得1，可得答案.【詳解】由，有==.即.又=+2=3.故答案為：3.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值，整體代換的方法，屬于中檔題.【方法技巧與總結(jié)】1、利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的方法(1)“負化正”，用－α的誘導(dǎo)公式；(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的誘導(dǎo)公式將角化為0到2π間的角；(3)“小化銳”用π±α的誘導(dǎo)公式將大于π2(4)“銳角求值”．2、解決條件求值問題的方法(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型六：利用誘導(dǎo)公式化簡例7.已知，則＝（）A．-7 B． C． D．5【答案】D【分析】先通過誘導(dǎo)公式對等式進行化簡，進而弦化切求出正切值，然后對所求式子進行弦化切，最后得到答案.【詳解】由題意，，則.故選：D.變式1.化簡sin(θ?5【答案】sin【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式對原式進行化簡計算.【解析】sin(θ?5故答案為：sinθ變式2.已知α的終邊上有一點P(1,3)，則sinπ2?αA．?45 B．?25 【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【解析】因為α的終邊上有一點P(1,3)，所以sinα=所以sinπ故選：C【方法技巧與總結(jié)】(1)三角函數(shù)式化簡的關(guān)鍵是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α這幾組的誘導(dǎo)公式，它們的特點都是同名間的關(guān)系，不同的是符號的變化．(2)對于π±α和π2±α題型七：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例8.已知．（1）化簡；（2）若為第四象限角且，求的值；（3）若，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）由誘導(dǎo)公式得，再代入（1）即可得答案；（3）代入（1），利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】（1）．（2）因為，所以．（3）因為，，所以．變式1.已知.（1）化簡；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡；（2）結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得所求表達式的值.【詳解】（1）（2），兩邊平方并化簡得，.【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，即可得答案.【詳解】，故選：D2．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）“”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)象限角、充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】，是第一象限角，所以“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.故選：B3．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）若是第四象限角，則點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)的符號確定正確答案.【詳解】由于是第四象限角，所以，所以在第二象限.故選：B4．（2024上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)定義可得、，即可得解.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，故，，故.故選：C.5．（2024上·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進而由誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的單位圓定義得：，，故選：D．6．（2024上·安徽六安·高一六安二中?？计谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發(fā)在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點在第4次相遇時，點的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算相遇時間，再確定轉(zhuǎn)過的角度，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】相遇時間為秒，故轉(zhuǎn)過的角度為，其對應(yīng)的坐標為，即.故選：C7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即得.【詳解】由，得.故選：C8．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】.故選：C9．（2024上·河南·高三專題練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為，.故選:C.10．（2024上·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若角的終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象上的定點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先得，進一步結(jié)合三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】由題意令，得，而此時，所以，角的終邊經(jīng)過定點，所以，所以.故選：C.二、多選題11．（2