2022年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應(yīng)題號

下的方框里）

1.（3分）2022的倒數(shù)是（C）

A.2022B.-2022c]D..1

20222022

2.（3分）下列式子正確的是（A）

A.ai*a2=c^B.(a2)3=a5C.(ah)2=加D.a3+a2=a5

3.（3分）一個小組10名同學(xué)的出生月份（單位：月）如下表所示:

編號12345678910

月份26861047887

這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（B）

A.10B.8C.7D.6

4.（3分）下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（)

5.（3分）截至2022年6月2口，世界第四大水電站一一云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)

清潔電能突破5000億千瓦時，相當(dāng)于替代標(biāo)準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億

噸.5000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（B）

A.50XIO10B.5XIO11C.0.5XIO12D.5X1012

6.(3分)一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知Nl=80°,則N2=(C)

D.120°

C)

8.（3分）將直線y=2計1向上平移2個單位，相當(dāng)于（B）

A.向左平移2個單位B.向左平移I個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

9.（3分）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.當(dāng)時有位父親為了準

確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿

七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（B）

W

7

J

W

一

A.1335天B.516天C.435天D.54天

10.（3分）如圖，等邊AABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的

黑色部分和白色部分關(guān)于等邊3c的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與4

ABC的面積之比是（A）

【解答】解：作AO_LBC于點。，作3E_LAC于點E,A。和8E交于點。，如圖所示,

設(shè)則BD=a,'：NAO8=90",AD==V3??**OD=-i-AD=—

兀X（與廠

32.畬兀

???圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比是:

2a?百a18

2

故選：A.

A

11.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知點尸（機，1）、Q（1,ni）（帆>0且

，"/1）,過點P、。的直線與兩坐標(biāo)軸相交于人、B兩點、,連接OP、OQ,則下列結(jié)論中

成立的有（D）

①點尸、Q在反比例函數(shù)了=2的圖象上；

x

②XXOB為等腰直角三角形；

③0°VNPOQV90。；

④NPOQ的值隨m的增大而增大.

A.②③?B.??@C.①?④D.①②③

【解答】解：二,點、FCm,1）、Q（1,〃力（/〃>0且〃層1）,貝1J/〃?1=1?"?=〃【，

???點P、Q在反比例函數(shù)y=典的圖象上,故①正確；設(shè)直線PQ為y=kx+b,則（位":1,

xlk+b=m

k二—1

解得《，，直線。。為y=-x+m+1,當(dāng)1y=0時，x=/n+l；當(dāng)x=0時，y=〃?+l,

b=m+l

AA（m+1,0）,B（0,m+1）,：.OA=OB,?.?NAOB=90°,??.△AOB為等腰直角三角

形，故②正確；???點尸（〃［，I）、Q（1,m）（m>0且m#l）,，尸、Q都在第一象限，

.*.0°VNPOQV90°,故③正確；???直線OP為.y=L,直線OQ為y=〃?x,

m

/.當(dāng)0<小<I時，Z1POQ的值隨機的增大而減小，當(dāng)m>1時，Z1POQ的值隨機的增

大而增大，故④錯誤；故選：D.

12.(3分)若1O'=N,則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.

例如:102=100,則2=收100；10°=1,則0=/gl.

對數(shù)運算滿足：當(dāng)A/>0,N>0時，lgM+lgN=lg(MN).

例如:Ig3+lg5=lgl5,則(欣5)2+/g5X/g2+/g2的值為(C)

A.5B.2C.1D.0

【解答】解：原式=/g5Ug5+lg2）+/g2=/g5X/g（5X2）+/g2=/g5/gl0+/g2

=/g5+/g2=/gl0=l.改選：C.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）函數(shù)3，=-^工的自變量x的取值范圍是A>1.

VX-1

14.（3分）已知實數(shù)XI,X2是方程f+x-1=0的兩根，則X\X2=-1.

15.（3分）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻

后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是L.

一15一

16.（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）

比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點石是AQ的黃金分割點，即延

KHF與AD相交于點G,則EG^0.618DE.（精確到0.001）

17.（3分）菱形ABCQ的邊長為2,NABC=45°,點P、Q分別是BC、8。上的動點,

CQ+PQ的最小值為

???四邊形A8CQ是菱形，：.AB=CB,ZABQ=ZCBQ,'：BQ=BQ,：.^ABQ^/\CBQ

（SAS）,???AQ=C。，。當(dāng)點4、Q、P共線,AQ+PQ的最小值為A”的長，???A8=2,

NA3C=45°,???A〃=e，，CQ+PQ的最小值為倉，故答案為：V2.

18.（3分）如圖，已知等腰△A8C的頂角N84C的大小為。，點。為邊8c上的動點（與

8、C不重合），將A。繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)0角度時點。落在處，連接B。'.給

出下列結(jié)論：

①△人。。?△44。'；

②AACBsXADB:

③當(dāng)4。=。。時，△A。。'的面枳取得最小值.

其中正確的結(jié)論有①@③（填結(jié)論對應(yīng)的應(yīng)號）.

D

D

【解答】解：由題意可知AC=4B,AQ=4￡）'，ZCAD=ZBAD'：.AACD^AABD,,

故①正確；???AC=A3,AD=ADf,ZBAC=ZDfAD=G,/.AC=AB

ADAD'

,SZ

：.AACB^/\ADD,故②正確；???△/!CBs△A。。，，AADD=（AD）2

SAA:BAC

??,當(dāng)AO_LAC時，A。最小，△A。。'的面積取得最小值.而AB=AC,

???8O=C。，???當(dāng)8D=CD時，△A。?！拿娣e取得最小值，故③正確：

故答案為：???.

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022?n）°+（2）',+|1-V3|-2sin600.

2

解：原式=1+2+正-1-2x1

2

=I+2+A/3-1-V3

=2.

d3

20.（6分）先化簡，再求值：（%+2+_E）+T——，其中x是滿足條件xW2的合適的

乂-2X2-4X+4

非負整數(shù).

23

解：原式=（工zl+_L）+—2_-

x-2x-2（x-2）2

_x2.（x-2）2

3

x-2x

_x-2

1-9

X

??3W0且x?2W0,

W0且x#2,

Ax=l,

則原式=工心=-1.

1

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）按國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進行“五項管理”

督導(dǎo)的通知》要求，各中小學(xué)校積極行動，取得了良好的成績.某中學(xué)隨機抽取了部分

學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間學(xué)：104以上,B：8〃?10/?,C：6〃?8九。：6〃以下）

進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類,統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的

信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共200名:

（2）〃=30,b=50；

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共：10?5%=200（名）,

故答案為:200：

(2)100=30,100=50,

200200

故答案為：30,50；

(3)C?類人數(shù)為200X15%=30,

。種類

22.（8分）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）

鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點尸處，在無外力作用下，彈簧的長度

為3cm,即PQ=3cni.開始訓(xùn)練時，將彈簧的端點Q調(diào)在點B處，此時彈簧長PB=4c，n,

彈力大小是IOOM經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強度,

于是將彈簧端點。調(diào)到點。處，使彈力大小變?yōu)?00N,已知/尸80=120°,求BC的

長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即尸=KAx,k是勁度系數(shù)，Ax是彈簧的形變量，在無

外力作用下，彈簧的長度為刈，在外力作用下，彈簧的長度為X,則Axnx-xo.

P

解：由題意可得，

xo=3cmt

100=A(4-3),

解得k=100,

，產(chǎn)=100Ax,

當(dāng)尸=300時，300=1()0X(PC-3),

解得PC=6cm,

由圖可得，

/笈8=90°,NPBC=120°,

/.ZAPB=30°,

?:PB=4cm,

/.AB=2cm,PA==2^3(cm),

VPC=6(w,

：,BC=AC-AB=(2、殳-2)cm,

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能

夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均

滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4〃吆，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹

葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共

有約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

解：（1）設(shè)一片銀杏梃葉一年的平均滯塵量為一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為

由題意得：r4y=62,

x=2y-4

解得：（X=4°.

ly=22

答：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40〃?g,一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22摩;

（2）50000X40=2000000（mg）=2依，

答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

24.（9分）如圖，以8c為邊分別作菱形BCOE和菱形8CR7（點C,。，/共線），動點八

在以O(shè)C為直徑且處于菱形內(nèi)的圓弧上，連接交“C于點O.設(shè)NG=0.

（1）求證：無論。為何值，￡〃與4C相互平分；并請直接寫出使￡7<LBC成立的。值.

（2）當(dāng)8=90°時，試給出lan/ABC的值，使得反'垂直平分AC,請說明理由.

（1）證明：???四邊形8CFG,四邊形8cOE都是菱形,

:?CF〃BG,CD//BEtCB=CF=CD=BG=BE,

???￡>,C,廣共線，

:,G,B,E共線，

J.DF//EG,DF=GE,

???四邊形DEGF是平行?四邊形，

:?EF與BC互相平分.

當(dāng)E/LLFG時，?:GF=BG=BE,

:?EG=2GF,

???NGE尸=30°,

A0=90°-30°=60"；

（2）解：當(dāng)tan/A8c=2時，律垂直平分線段AC.

理由：如圖（2）中，設(shè)AC交E/于點

F

???四邊形8CFG是菱形，

/.ZG=ZFCO=90°,

???切與3C互相平分，

；.OC=OB,

:?CF=BC,

：.FC=20C,

tanZFOC=tanZABC,

4ABe=4F0C,

?；OC=OB,

*'?CJ=AJt

???3C是直徑，

???NBAC=/OJC=90°,

???E/垂直平分線段AC.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，已知8。是RtZVlBC的角平分線，點。是斜邊AB上的動點，以點。

為圓心，08長為半徑的0。經(jīng)過點。，與04相交于點E.

（1）判定AC與0。的位置關(guān)系，為什么？

（2）若8C=3,。。=旦，

2

①求sinNOBC、sin/ABC的值：

②試用sinNDBC和cosNDBC表示sin/ABC,猜測sin2a與sina>cosa的關(guān)系，并用a

=30°給予驗證.

解：（1）AC是。0切線，理由如下:

如圖，連接o。,

圖1

?：OD=OB,

：,/ODB=/OBD,

???8。是△ABC的角平分線，

，ZOBD=NDBC,

:.乙ODB=/DBC,

：,OD//BC,

???NOD4=NC=90°,

???。。是。。的半徑，且AC_LOO,

???AC是OO的切線；

(2)①在RtZXDBC中，???BC=3,CO=3,

2

:'M*CD2+BC2=Je)2+32=平,

3_

:.sin/。6。=型=-^=~=正，

BDW55

2

AZODC=ZC=ZCGO=90°,

???四邊形OQCG是矩形，

:.OG=CD=3,

2

1BE是。。的直徑，

，/8?！?90°,

cosZDBE=cosZCBD，

?BC=BD

??麗而'

3-

.」-=丁

??X--1—9

345BE

2

??.8E=至，

4

.?.04=%石=耳

28

旦

:.sinZABC=^-=-^r=—i

0B5

8

@V2sinZD5C-cosZDBC=2x2LLx^^=A,

5J：/15

2

AsinZ-ABC=2sinZDBC*cosZDBC；

猜想：sin2a=2sinacosa,理由如下：

當(dāng)a=30°時，sin2a=sin60°

2

2sinacosa=2XAX2^_=2^1.,

222

.*.sin2a=2sinacosa.

26.（10分）如圖，拋物線），=1/-2x-6與工軸相交于點A、點4,與），軸相交于點C.

2

（1）請直接寫出點A,B,C的坐標(biāo)；

（2）點尸（〃?，〃）（0</n<6）在拋物線上，當(dāng)/〃取何值時，△PBC的面積最大？并求

出△尸8c面積的最大值.

（3