2025年廣西示范性高中4月高二期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.一個(gè)兩層書架，分別放置語文類讀物4本，數(shù)學(xué)類讀物5本，每本讀物各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（）A.20種 B.9種 C.5種 D.4種2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，是圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.3.甲、乙、丙、丁共4人站成一排，且甲不在兩端，則不同排法共有（）A.24種 B.12種 C.8種 D.6種4.現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的9名志愿者中選出3人去參加搶險(xiǎn)，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（）A. B. C. D.5.已知，是雙曲線E：（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，且垂直x軸，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.26.已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.0 B.54 C.49 D.427.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個(gè)性化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺(tái)軟件的推薦系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為萬條時(shí)，推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率約為，平臺(tái)軟件收入為元.已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費(fèi)成本100元，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為（）萬條時(shí)，該軟件能獲得最高收益.A.17 B.18 C.19 D.208.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）X123456pA.B.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望可以等于3.5C.當(dāng)時(shí)，D.數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則B.若隨機(jī)變量且，則C.若隨機(jī)變量，則D.在含有3件次品的9件產(chǎn)品中，任取3件，X表示取到的次品數(shù)，則10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱C.若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.過原點(diǎn)有兩條直線與曲線相切11.在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確是（）A.若，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是線段B.若，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓的一部分C.若，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是橢圓的一部分D.若點(diǎn)Q到與的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一部分第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）13.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h，這些人近視率約為80%，其余學(xué)生的近視率約為50%，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是________.14.如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為（，且）的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且，則當(dāng)取得最大值時(shí)，________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，，為，的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列的公比；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，，平面平面，，M，N分別是，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）投壺是中國古代士大夫宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，也是一種禮儀，在戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行，尤其是在唐朝得到了發(fā)揚(yáng)光大.投壺是把箭向壺里投，投中多的即勝出.某校開展“健康體育節(jié)”活動(dòng)期間，甲、乙兩人輪流進(jìn)行定點(diǎn)投壺比賽（每人各投一次為一輪，且不受先后順序影響），在相同的條件下，甲、乙兩人每輪在同一位置，每人投一次.若兩人有一人投中，則投中者得2分，未投中者得-2分；若兩人都投中，則兩人均得1分；若兩人都未投中，則兩人均得0分.設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，且各次投壺互不影響.（1）求第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率；（2）經(jīng)過2輪投壺，記甲、乙的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，證明：.19.（本小題滿分17分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）關(guān)于圓的切線有這樣的結(jié)論：“圓上點(diǎn)處的切線方程為”，類比到橢圓也有這樣的結(jié)論：“橢圓上點(diǎn)處的切線方程為”.已知點(diǎn)M在直線上，過M作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線過定點(diǎn)；（3）對(duì)（2）中的A，B，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出此定值及點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)1234567891011答案BDBAACCDABDADAB1.B.從4本語文類讀物取出1本，有4種取法，從數(shù)學(xué)類讀物中取出1本，有5種取法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有9種不同的取法，故選B.2.D.因?yàn)辄c(diǎn)在減區(qū)間內(nèi)，所以；為極小值點(diǎn)，；點(diǎn)在增區(qū)間內(nèi).故，選D.3.B.先排甲，甲只能在中間兩個(gè)位置，有2種排法，其他3分任意排，有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有12種不同的排法，故選B.4.A.設(shè)“甲被選中”，“乙被選中”，則，，，選A.5.A.因?yàn)榇怪陛S，所以，即，，得，解得，選A.6.C.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，，∴，選C.7.C.設(shè)收益為元，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在（2，19）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為19萬條時(shí)，該軟件能獲得最高收益，故選C.8.D.①由已知，.A正確；②當(dāng)時(shí)，，B正確；③當(dāng)時(shí)，，∴，C正確；④若，則，故D錯(cuò)誤.9.ABD.①，A正確；②，B正確；③則，C錯(cuò)誤；④由超幾何分布的概率公式可得，D正確。10.AD.①，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在處取得極大值，在處取得極小值，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即A正確；②因?yàn)椋矗?，0）在的圖象上，（3，0）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，但，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；③由①知，要使若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則需，得，C錯(cuò)誤；④設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以有，又，所以，解得，或，故過原點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，D正確.11.AB.①如圖1，因?yàn)槊妫?，則面，又面，所以點(diǎn)Q的軌跡是面與面的交線段，A正確；②如圖2，因?yàn)槊妫允侵苯侨切?，又因?yàn)?，，所以，即Q的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓弧，B正確；圖1圖2③以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，∴.∵，∴，即，得，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一部分，C錯(cuò)誤；④以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，（其中，）則Q到的距離等于，Q到的距離y，∴與矛盾，故這樣點(diǎn)Q不存在，D錯(cuò)誤.12.-10.由，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為.13.設(shè)事件A為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過1h”，事件B為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，則，，，，∴.④）5×5+5×1=2514.1012.由題設(shè)知構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，構(gòu)成公差為-2的等差數(shù)列，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.15.【解析】（1）設(shè)是公比為，∵是，的等差中項(xiàng)，∴，即又∵∴，解得，（舍去），所以數(shù)列的公比為-2.（2）∵，，∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則∴數(shù)列的前項(xiàng)和.16.【解析】（1）∵，是的中點(diǎn)，∴又∵平面平面交于，面∴平面，又面，∴.（2）取的中點(diǎn)E，∵，∴，，且，∴四邊形是矩形，，因此是正三角形，，，.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量，則有，令，則，故取.由所以直線與平面所成角的正弦值為.17.【解析】（1）設(shè)事件“甲投一次，投中”，事件“乙投一次，投中”事件“第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分”依題意，，，A，B相互獨(dú)立，所以，即第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率.（2）由（1）知第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為0分的概率為，因此第一輪投壺結(jié)束時(shí)甲、乙得分之和為2分的概率為.依題意，X的所有可能取值為0，2，4∴的分布列為024所以.18.【解析】（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，且若，則對(duì)恒成立∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.若，令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯