(九)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)(一)、冪函數(shù)1．冪函數(shù):函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)（這里我們只討論a是有理數(shù)n的情況）．2.冪函數(shù)的定義域

冪函數(shù)（n是有理數(shù)）的定義域：(1)當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，(2)當(dāng)n為零或負(fù)整數(shù)時(shí)，x∈R，x≠0；（3）當(dāng)為正分?jǐn)?shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)（是互質(zhì)的正整數(shù)，）時(shí)，的意義分別是或冪函數(shù)的定義域分別是使或有意義的實(shí)數(shù)x的集合．3.冪函數(shù)的圖象4．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)n＞0時(shí)①圖象都通過(guò)（0，0）、（1，1）點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)是增函數(shù)．(2)當(dāng)n＜0時(shí)①圖象都過(guò)（1，1）點(diǎn)；②在第一象限內(nèi)是減函數(shù)；③在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無(wú)限地接近，向右與x軸無(wú)限地接近．（二）、指數(shù)函數(shù)1．定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù).2．函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限，2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸），3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.3．函數(shù)值的變化特征：①，②，③①，②，③，（三）、對(duì)數(shù)函數(shù)①1）定義：函數(shù)稱對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽，3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，4）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).②1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限，2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無(wú)限接近軸）.4）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.①，②，③.①，②，③.③函數(shù)值的變化特征：二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．熟練掌握冪函數(shù)y＝xa(a為有理數(shù))的性質(zhì)和圖象之間的關(guān)系；2．理解當(dāng)a>0與a<0時(shí)，冪函數(shù)在第一象限的圖象和增減性并運(yùn)用它進(jìn)一步分析解決有關(guān)冪函數(shù)的問(wèn)題；3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí).4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中的12個(gè)小點(diǎn)）是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問(wèn)題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析.5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問(wèn)題是重點(diǎn)題型，解決這類問(wèn)題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問(wèn)題等等.三、例題分析例1．一個(gè)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,),另一個(gè)冪函數(shù)y＝g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－8,－2),求不等式的解集。例2．（1）已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則m的值為_________。（2）．當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)的圖象恒在y=x的下方，則a的取值范圍是_________。（3）．函數(shù)的減區(qū)間_________。例3（1）若,則A．B．C．D．（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，則為A．B．C．D．（3）時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍A．B．C．D．（4）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的范圍是（）A．B．C．D．例4．比較大?。?）；（2）（3）其中例5．對(duì)于函數(shù)，解答下述問(wèn)題：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值；（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值；（6）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例6．若關(guān)于的方程有實(shí)根，求的取值范圍。變式1：設(shè)有兩個(gè)命題：①關(guān)于的方程有解；②函數(shù)是減函數(shù)。當(dāng)①與②至少有一個(gè)真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿變式2：方程的兩根均大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是＿＿＿＿＿。例7．已知函數(shù)，（1）討論的奇偶性與單調(diào)性；（2）若不等式的解集為的值；四、練習(xí)1．如圖中函數(shù)的圖象大致是()2．函數(shù)與的圖象（）。A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱D．關(guān)于直線y=x對(duì)稱3．，，的大小關(guān)系是A．c＜a＜bB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a4.函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則有A．B．C．D．5.函數(shù)（為常數(shù)），若時(shí)，恒成立，則A．B．C．D．6.若，當(dāng)時(shí)，的大小關(guān)系A(chǔ)．B．C．D．7.已知函數(shù) A．B．－C．2D．－28.函數(shù)的圖象A．與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B．與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C．與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 D．與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱9.在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 A．0 B．1 C．2 D．310.若函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)在(-∞,+∞)上是A．單調(diào)遞減無(wú)最小值B．單調(diào)遞減有最小值C．單調(diào)遞增無(wú)最大值D．單調(diào)遞增有最大值11.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椤?2.為奇函數(shù)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解析式為13.函數(shù)在上最大值比最小值大，則14.函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15.求的定義域。16.已知，，試比較與的大小關(guān)系。17.設(shè)，如果函數(shù)在上的最大值為，求的值。18.設(shè)集合，若函數(shù)，其中的，當(dāng)時(shí)，其值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值。（八）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)答案例1：．一個(gè)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,),另一個(gè)冪函數(shù)y＝g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－8,－2),求不等式f(x)<g(x)的解集。解：設(shè)f(x)＝xa,將x＝3,y＝代入，得a＝,設(shè)g(x)＝xb,將x＝－8,y＝－2代入，得b＝,由，解得0<x<1.例2：1．m=3；2．a(chǎn)＜1；3．[3，5]。例3（1）B（2）A（3）B（4）D例4、（1）（2）（3）例5.[解答]記，（1）恒成立，，的取值范圍是；（2）這是一個(gè)較難理解的問(wèn)題。從“的值域?yàn)镽”，這點(diǎn)思考，“的值域?yàn)镽”等價(jià)于“能取遍的一切值”，或理解為“的值域包含了區(qū)間”的值域?yàn)椤嗝}等價(jià)于，∴a的取值范圍是；（3）應(yīng)注意“在內(nèi)有意義”與定義域的概念是不同的，命題等價(jià)于“恒成立”，應(yīng)按的對(duì)稱軸分類，，的取值范圍是；（4）由定義域的概念知，命題等價(jià)于不等式的解集為，是方程的兩根，即a的值為2；（5）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易知：的值域?yàn)椋纱藢W(xué)生很容易得，但這是不正確的.因?yàn)椤啊迸c“的值域?yàn)椤辈⒉坏葍r(jià)，后者要求能取遍的一切值（而且不能多?。?∵的值域是，∴命題等價(jià)于；即a的值為±1；（6）命題等價(jià)于：，即，得a的取值范圍是.例6、變題1、變題2、例7．（1）定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)；，