專題07一元二次方程【母題來源】2021年中考廣東廣州卷【母題題文1】（2021·廣東廣州·中考真題）方程x2-4x=0的實數(shù)解是____．【母題來源】2021年中考廣東廣州卷【母題題文2】（2021·廣東廣州·中考真題）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，點、是反比例函數(shù)上的兩個點，若，則________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【母題來源】2021年中考廣東深圳卷【母題題文3】（2021·廣東深圳·中考真題）已知方程的一個根是1，則m的值為________．【母題來源】2021年中考廣東深圳卷【母題題文4】（2021·廣東深圳·中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學(xué)們有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達；③請直接寫出當結(jié)論成立時k的取值范圍：．一、一元二次方程1.一元二次方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項.3.一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數(shù)根.（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.5.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.6.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.7.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當△≥0且時，兩根同號．當△≥0且，時，兩根同為正數(shù)；當△≥0且，時，兩根同為負數(shù)．②當△＞0且時，兩根異號．當△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當△＞0且，時，兩根異號且負根的絕對值較大．8、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.（2）解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).要點：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.9、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.2.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)3.利息問題(1)概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)4.利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：利潤=售價-進價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)5.形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.6.傳播問題設(shè)平均一個人傳染了x個人．則第一輪后共有（1+x）個人患了流感，第二輪后共有[1+x+x(1+x)]個人患了流感.7.計數(shù)（握手問題）例：要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排15場比賽，應(yīng)邀請多少個球隊參加比賽？設(shè)應(yīng)邀請x個球隊參加比賽，可得到方程可化為x2－x－30=0解得x1=6,x2=－5(舍去)所以應(yīng)邀請6個球隊參加比賽.8.除了上述實際問題還有以下問題（例題分析）1．如圖，某學(xué)校有一塊長35米、寬20米的長方形試驗田，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為600平方米．設(shè)小道的寬為米，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．2．參加商品交易會的每兩家公司之間都簽訂一份合同，共簽署了45分合同，則有（）家公司參加了商品交易會．A．8 B．9 C．10 D．113．某一航空公司有若干個機場，每兩個機場之間都開辟一條航線，一共開辟了6條航線，則這個航空公司共有飛機場（）個．A．3 B．4 C．5 D．64．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人5．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（）A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝10566．在一次同學(xué)聚會時，大家一見面就相互握手（每兩人只握一次），大家一共握了21次手，設(shè)參加這次聚會的同學(xué)共有人，根據(jù)題意得方程（）A． B． C． D．7．某樹主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、支干和小分支總數(shù)共91．若設(shè)主干長出x個支干，則可列方程正確的是（）A．（1＋x）2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝918．一個容器盛滿純藥液千克，第一次倒出一部分藥液后加滿水，第二次又倒出同樣多的藥液，再加滿水，此時容器內(nèi)的純藥液利下千克，那么每次倒出的藥液是（）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克9．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人10．一個兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積大，已知十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大．則這個兩位數(shù)是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或7511．某商場將進貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降價（）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元一、單選題1．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝22．下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣23．用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A．化為 B．化為C．化為 D．化為4．若x1、x2是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（）A．2020 B．2019 C．2029 D．20285．某工廠第一季度的產(chǎn)值為1000萬元，第二季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長了，第三季度的產(chǎn)值為1210萬元，則根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．6．一個小組共有x人，端午節(jié)互送荷包，若全組共送72個，下面所列方程正確的是（）A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．＝727．關(guān)于的方程的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負根C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根8．關(guān)于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列說法中正確的是（）A．當a＝時，方程的兩根互為相反數(shù)B．當a＝0時，方程的根是x＝﹣1C．若方程有實數(shù)根，則a≠0且a≤D．若方程有實數(shù)根，則a≤9．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的有（）A．個 B．個 C．個 D．個10．若關(guān)于x的不等式組的解集為x≤﹣2，關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)a有（）個．A．3 B．4 C．5 D．611．如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面是修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為540平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（）A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝54012．對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值等于0，則稱為這個函數(shù)的零點．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個不相等的零點，關(guān)于的方程有兩個不相等的非零實數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題13．方程是關(guān)于x的一元二次方程，則_________．14．若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．15．已知是一元二次方程x2－4x－7＝0的兩個實數(shù)根，則的值是________．16．若關(guān)于x的一元二次方程的根都是整數(shù)，則整數(shù)m的最大值是________．17．若x＝3是一元二次方程x2＋mx＋6＝0的一個解，則方程的另一個解是________．18．要組織一次足球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃共計持續(xù)7天，每天安排4場比賽．則比賽組織者共邀請了______支球隊；19．有一人感染了傳染性很強的病毒，經(jīng)過兩輪傳染后共有625人患病，每輪傳染中平均一人傳染______人．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)的圖象交于A，B（-2，a）兩點，過原點O的另一條直線l與雙曲線y＝交于P，Q兩點（Q點在第四象限），若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標是_______．21．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是__________①方程是倍根方程；②若是倍根方程，則或；③若點在雙曲線的圖像上，則關(guān)于x的方程是倍根方程22．對于一元二次方程，有下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中說法正確的有______（填序號）．三、解答題23．解方程：（1）4（x﹣1）2＝9；（2）x2+8x+15＝0；（3）25x2+10x+1＝0；（4）x2﹣3x+1＝0．24．解方程：（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；（2）x2﹣10x+16＝0；（3）2x2﹣x﹣2＝0．25．關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根為負數(shù)，求m的取值范圍．26．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根大于3，求的取值范圍．27．（1）解方程；（2）若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰有點在函數(shù)的圖象上，求滿足條件的k的值．28．關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范圍．29．關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍：（2）是否存在實數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于1？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．30．某網(wǎng)店銷售一種商品，進價為每件30元，市場調(diào)查中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量（件）與每件商品的銷售價元（）滿足一次函數(shù)關(guān)系式．當銷售價為32元時，每天銷售280個；銷售價為40元時，每天銷售200個．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果要保證網(wǎng)店每天銷售這種商品獲利2000元，為使顧客得到更大實惠，那么這種商品的銷售單價應(yīng)定為多少元？31