專題05線段和角的動態(tài)問題（兩種技巧精講精練+過關(guān)檢測）類型一：線段中的動態(tài)問題題型01與線段中點有關(guān)的動點問題【典例分析】【例1-1】（22-23七年級上·重慶梁平·期末）已知線段，點是線段上的一個動點，點分別是和的中點．則的長為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【例1-2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖，已知，點為線段上的一個動點，分別是的中點；①若點恰為的中點，則；②若，則；（2）如圖，點為線段上的一個動點，分別是的中點；若，則；【例1-3】（23-24七年級上·陜西寶雞·期末）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示，請按要求回答下列問題：

(1)線段的中點D表示的數(shù)是幾？(2)線段的中點E與點D的距離是多少？(3)如果點B是線段上的動點，的長度有變化嗎？為什么？【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級上·河南平頂山·期末）已知線段，點C是線段上的動點，且P是的中點，Q是的中點，則線段的長是（

）A．20cm B．13cm C．10cm D．無法確定【變式1-2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖，已知，點C為線段上的一個動點，D、E分別是、的中點；①若點C恰為的中點，則cm；②若，則cm；（2）如圖，點C為線段上的一個動點，D、E分別是的中點；若，則；

【變式1-3】（23-24七年級上·全國·期末）已知a、b滿足，，且有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A、B、C．(1)則，，；(2)點D是數(shù)軸上A點右側(cè)一動點，點E、點F分別為中點，當(dāng)點D運動時，線段的長度是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變，請求出其值．題型02線段和差倍分關(guān)系中的動線段問題【典例分析】【例2-1】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【例2-2】（22-23七年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．

(1)如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．【例2-3】（23-24七年級上·安徽蚌埠）已知點C在線段上，，點D、E在直線上，點D在點E的左側(cè)，(1)若，，線段DE在線段上移動，①如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；②當(dāng)點C是線段的三等分點時，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）如圖，點C在線段上，，．(1)；．(2)若點D、E在過線上，點D在點E的左側(cè)，線段DE在線段上移動，．①如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；②點F（異于A，B，C點）在線段上，，，畫出圖形，求的長；【變式2-2】（22-23七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點C在線段上，，點D、E在直線上，點D在點E的左側(cè)，若，線段在線段上移動，(1)如圖1，當(dāng)E為中點時，求的長；(2)當(dāng)點C是線段的三等分點時，求的長．【變式2-3】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期中）已知點C在線段上，，線段在直線上移動（點D，E不與點A，B重合）．(1)若，，線段在線段上移動，且點D在點E的左側(cè)，①如圖，當(dāng)點E為中點時，求的長；②點F（不與點A，B，C重合）在線段上，，，求的長；(2)若，，請直接寫出與存在的數(shù)量關(guān)系．題型03線段中的存在性探究問題【典例分析】【例3-1】（23-24七年級上·廣東肇慶·期末）點Ａ，在數(shù)軸上的位置如圖所示，點是數(shù)軸上的一動點．(1)若，則點表示的是什么數(shù)？(2)若，且點是的中點，求線段的長．(3)是否存在點，使的值最?。咳舸嬖?，則點在數(shù)軸上的什么位置？的最小值是多少？【例3-2】（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．已知結(jié)論：數(shù)軸上點表示的數(shù)分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數(shù)為．【知識運用】（）點表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數(shù)為______．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，點是線段的中點．①點表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；③線段的長度隨時間的變化而變化，當(dāng)點在點左側(cè)時，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請說明理由．【例3-3】（21-22七年級上·陜西西安·期末）如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點P以0.5cm/s的速度從點A沿線段AC向點C運動；同時點Q以1cm/s從點C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運動（即沿C→B→C→B→…運動），當(dāng)點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．(1)當(dāng)t＝1時，PQ＝cm；(2)當(dāng)t為何值時，點C為線段PQ的中點？(3)若點M是線段CQ的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．【變式演練】【變式3-1】（23-24七年級上·廣東深圳·期中）在數(shù)軸上，如果A點表示的數(shù)記為a，點B表示的數(shù)記為b，則A、B兩點間的距離可以記作或．我們把數(shù)軸上兩點之間的距離，用兩點的大寫字母表示，如：點A與點B之間的距離表示為．如圖，在數(shù)軸上，點A，O，B表示的數(shù)為，0，．(1)直接寫出結(jié)果，，；(2)設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x．①若點P為線段的中點，則；②若點P為線段上的一個動點，則的化簡結(jié)果是；(3)動點M從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸在A，B之間向右運動，同時動點N從B出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿數(shù)軸在A，B之間往返運動，當(dāng)點M運動到B時，M和N兩點停止運動．設(shè)運動時間為t秒，是否存在t值，使得？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由．【變式3-2】（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖1，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別是和3，將這兩點在數(shù)軸上以相同的速度同時相向運動，若A，B分別到達M，N兩點（我們用表示以點A、點B為端點的線段的長，、表示的含義以此類推），且滿足（k為正整數(shù)），我們稱兩點完成了一次“準(zhǔn)相向運動”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續(xù)運動，分別到達，兩點，且滿足（k為正整數(shù)）我們稱兩點完成了二次“準(zhǔn)相向運動”…．(1)若A，B兩點完成了一次“準(zhǔn)相向運動”．①當(dāng)時，M，N兩點表示的數(shù)分別為、；②當(dāng)k為任意正整數(shù)時，求M，N兩點表示的數(shù)；(2)如圖2所示，若A，B兩點完成了兩次“準(zhǔn)相向運動”，并分別到達，兩點，若k不變，求，兩點所表示的數(shù)（用含k的式子表示）；(3)若A，B兩點完成了n次“準(zhǔn)相向運動”，并分別到達兩點，當(dāng)時是否存在點，使其表示的數(shù)為65？如果存在，求完成的次數(shù)n和此時點所表示的數(shù)；如果不存在，說明理由．【變式3-3】（23-24七年級上·遼寧丹東·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出如下問題：如圖1，在長方形的邊AB上存在一動點G，點P、Q分別是、的中點，連接、．當(dāng)點G在線段AB邊上移動時，試探究三角形的面積是否發(fā)生變化？設(shè)，，且a、b滿足．①直接寫出__________，__________；②小明同學(xué)認為當(dāng)點G在線段AB邊上移動時，線段的長度并沒有發(fā)生變化，故三角形的面積也不發(fā)生變化．請你根據(jù)小明同學(xué)的解題思路，求出三角形的面積；【類比分析】（2）王老師在問題（1）的基礎(chǔ)上將圖1的長方形改成正方形．設(shè)點O是正方形的中心，并提出了下面的問題，請你解答．如圖2，在邊長為m的正方形中，動點G在AB邊上，點P、Q分別是、的中點，連接、．當(dāng)點G移動的過程中，三角形的面積是否發(fā)生變化？如果不變化，請求出這個三角形的面積（用含m的代數(shù)式表示），如果變化，請說明理由；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在正方形中，設(shè)點O是正方形的中心，點G、H分別在AD、AB邊上，點P是的中點，連接、．當(dāng)四邊形的面積為正方形面積的時，請寫出線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

類型二：角中的動態(tài)問題題型01求角度問題【典例分析】【例4-1】（21-22七年級上·湖南長沙·期末）如圖1，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂樂想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進行討論，如圖2，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為，兩點，兩腳腳跟位置分別為，兩點，定義，，，平面內(nèi)為定點，將手腳運動看作繞點進行旋轉(zhuǎn)：(1)填空：如圖2，，，三點共線，且，則______°(2)第三節(jié)腿部運動中，如圖3，歡歡發(fā)現(xiàn)，雖然，，三點共線，卻不在水平方向上，且．她經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，的值為定值，請判斷歡歡的發(fā)現(xiàn)是否正確，如果正確請求出這個定值，如果不正確，請說明理由；(3)第四節(jié)體側(cè)運動中，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開且，開始運動前、、三點在同一水平線上，、繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為，旋轉(zhuǎn)速度為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，運動停止，如圖4①運動停止時，直接寫出______；②請幫助樂樂求解運動過程中與的數(shù)量關(guān)系．【例4-2】（22-23七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）一套三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點P以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時停止運動，設(shè)三角尺的運動時間為t．(1)當(dāng)時，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)是___________度；(2)若在三角尺開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺也繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊平分．②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【例4-3】（22-23七年級上·貴州貴陽·期末）已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動，將繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．求的大小（用t的代數(shù)式表示）；(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大?。咀兪窖菥殹俊咀兪?-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，OB為內(nèi)一條射線，的余角等于它自身．(1)求的度數(shù)；(2)射線從開始，在內(nèi)以2°/s的速度繞著O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到停止，同時射線在內(nèi)從開始以3°/s的速度繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到停止，設(shè)運動時間為t秒．①若，運動的任一時刻，均有，求的度數(shù)；②為內(nèi)任一射線，在①的條件下，當(dāng)時，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為________．【變式4-2】（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，是直線上一點，射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，從出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從出發(fā)，射線與同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，都停止運動．(1)猜想：__________，并說明理由；(2)已知射線始終平分，射線在內(nèi)，且滿足與互余．①當(dāng)秒時，__________；②在運動過程中，試探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式4-3】（22-23七年級上·浙江臺州·期末）如圖1，點O是直線上一點，三角板（其中）的邊與射線重合，將它繞O點以每秒m°順時針方向旋轉(zhuǎn)到邊與重合；同時射線與重合的位置開始繞O點以每秒n°逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，兩者哪個先到終線則同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)若，，秒時，________°；(2)若，，當(dāng)在的左側(cè)且平分時，求t的值；(3)如圖2，在運動過程中，射線始終平分．①若，，當(dāng)射線，，中，其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線時，直接寫出________秒；②當(dāng)在的左側(cè)，且與始終互余，求m與n之間的數(shù)量關(guān)系．題型02定值問題【典例分析】【例5-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，點О在直線上，射線分別在兩側(cè)，，，分別平分和，下列四個結(jié)論：①；②為定值；③；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例5-2】（22-23七年級上·山東青島·期末）在數(shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組用三角尺拼出了如下圖案：(1)圖①中，將一副三角尺的直角頂點O疊放在一起．若，則______，______．(2)圖②中，將兩個同樣的三角尺角頂點O疊放在一起，試判斷與的和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【例5-3】（20-21七年級上·江蘇蘇州·期末）數(shù)學(xué)實踐課上，小明同學(xué)將直角三角板的直角頂點放在直尺的邊緣，將直角三角板繞著頂點旋轉(zhuǎn)．（1）若三角板在的上方，如圖1所示，在旋轉(zhuǎn)過程中，小明發(fā)現(xiàn)的大小發(fā)生了變化，但它們的和不變，即；（2）若分別位于的上方和下方，如圖所示，則之間的上述關(guān)系還成立嗎?若不成立，則它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明你的理由；（3）射線分別是的角平分線，若三角板始終在的上方，則旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是一個定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【變式演練】【變式5-1】（22-23七年級上·重慶開州·期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】（20-21七年級·四川成都·）已知，，平分，平分.（1）如圖，當(dāng)、重合時，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒（），在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.【變式5-3】（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）數(shù)學(xué)實踐課上，小明同學(xué)將直角三角板的直角頂點O放在直尺的邊緣，將直角三角板繞著頂點O旋轉(zhuǎn)．(1)若三角板在的上方，如圖1所示．在旋轉(zhuǎn)過程中，小明發(fā)現(xiàn)、的大小發(fā)生了變化，但它們的和不變，即______°．(2)若、分別位于的上方和下方，如圖2所示，則、之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，則它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由；(3)射線、分別是、的角平分線，若三角板始終在的上方，則旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是一個定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．題型03存在性探究問題【典例分析】【例6-1】（20-21七年級上·四川德陽·期末）已知為直線上的一點，是直角，平分．（1）如圖1，若，則；（2）當(dāng)射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，與之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在圖3中，若，在的內(nèi)部是否存在一條射線，使得？若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【例6-2】（21-22七年級上·全國·單元測試）如圖，直線SN與直線WE相交于點O，射線ON表示正北方向，射線OE表示正東方向，已知射線OB的方向是南偏東m°，射線OC的方向是北偏東n°，且m°的角與n°的角互余(1)①若m＝50，則射線OC的方向是；②圖中與∠BOE互余的角有與∠BOE互補的角有．(2)若射線OA是∠BON的角平分線，則∠BOS與∠AOC是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請寫出你的結(jié)論以及計算過程，請說明理由．【例6-3】（23-24七年級上·廣東廣州·期末）已知：，過點引兩條射線，，且平分．

(1)如圖，若，，且點在內(nèi)部．①請補全圖形；②求出的度數(shù)；(2)若，求出，，三者的等量關(guān)系．(3)若，是否存在與互余？若存在，求的度數(shù)（用表示）；若不存在，請說明理由．【變式演練】【變式6-1】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知O為直線AB上的一點，是直角，平分．(1)如圖1，若，則∠BOE＝___；若，則∠BOE＝___；與的數(shù)量關(guān)系為___．(2)在圖2中，若，在的內(nèi)部是否存在一條射線，使得2∠BOD與∠AOF的和等于與的差的三分之一？若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)射線OE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由，若不成立，求出與的數(shù)量關(guān)系．【變式6-2】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖①所示，，將直角三角板的直角頂點放置在O點，平分．(1)若，則______，______．(2)如果，，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得在的內(nèi)部，在的外部，若，，，是否還存在（2）中的數(shù)量關(guān)系，若存在，請說明理由，若不存在，請求出，的數(shù)量關(guān)系．【變式6-3】（23-24七年級上·陜西西安·期末）如圖1，點O是彈力墻上一點，魔法棒從的位置開始繞點O向的位置順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到位置時，則從位置彈回，繼續(xù)向位置旋轉(zhuǎn)．按照這種方式將魔法棒進行如下步驟的旋轉(zhuǎn)．第1步，從（在上）開始旋轉(zhuǎn)至；第2步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至；第3步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至，…．例如：當(dāng)時．，，，的位置如圖2所示，其中恰好落在上，；當(dāng)時，，，，，的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到后彈回，即，而恰好與重合．根據(jù)以上材料，解決如下問題：(1)若，則度數(shù)是；(2)若，恰好與重合，求的值；(3)若，是否存在對應(yīng)的值使？若存在，請求出對應(yīng)的α值，若不存在，請說明理由．一、解答題1．（23-24七年級上·全國·單元測試）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為，且．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時，的長為，點P表示的有理數(shù)為；(2)當(dāng)時，求t的值；(3)M為線段的中點，N為線段的中點．在點P運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．2．（23-24七年級上·河北廊坊·期末）三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若平分，平分，求的度數(shù)．3．（21-22七年級上·福建廈門·期末）如圖，射線繞點O從射線順時針向射線轉(zhuǎn)動，同時，點M從線段的端點E沿線段向端點F移動．如果當(dāng)射線轉(zhuǎn)動到的角平分線位置時，點M也恰好移動至線段的中點位置，我們稱點