第4章基本平面圖形章末（核心素養(yǎng)提升+中考能力提升+過關(guān)檢測）知識點一、線段、射線、直線1.線段的表示也有兩種：一個小寫字母或用端點的兩個大寫字母.但前面必須加“線段”兩字，如：線段a；線段AB.2.射線的表示同樣有兩種：一個小寫字母或端點的大寫字母和射線上的要給大寫字母，前面必須加“射線”兩字3.直線的表示有兩種：一個小寫字母或兩個大寫字母.但前面必須加“直線”兩字，如：直線；直線m，直線AB；直線CD基本概念：名稱直線射線線段圖形BABAABABBABA端點個數(shù)無一個兩個表示法直線直線AB（BA）射線射線AB線段線段AB（BA）作法敘述作直線作直線AB作射線作射線AB作線段作線段AB連接AB延長向兩端無限延長向一端無限延長不可延長（2）直線的性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡單地：兩點確定一條直線.兩條直線相交，只有一個交點.知識點二、比較線段的長短線段的兩種度量方法：(1)直接用刻度尺.(2)圓規(guī)和刻度尺結(jié)合使用.（1）兩點的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點之間，線段最短。連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。線段的中點：線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.知識點三、角的定義定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角.終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當它又和始邊重合時，所成的角叫做周角.1平角=180°，1周角=360°.單位轉(zhuǎn)換：1度=60分，符號表示：1°=60′.1分=60秒，符號表示：1′=60″知識點四、角的表示方法表示方法A圖例A記法適用范圍用三個大寫字母表示OBOBAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點的字母必須寫在中間.用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個.用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示知識點五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點六、方向角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．知識點七、角的大小比較角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．角平分線定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠余角和補角（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．知識點八、多邊形和圓的初步認識多邊形：三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形.連接多邊形不相鄰的兩個頂點之間的線段叫做多邊形的對角線.圓：如下圖，平面上，一條線段繞著它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點形成的圖形叫做圓.固定的端點O稱為圓心.線段OA稱為半徑.圓上任意兩點A，B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.由一條弧AB和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑OA、OB所組成的圖形叫做扇形；頂點在圓心的角叫做圓心角.考點1：線段、射線、直線【例題1】（23-24七年級上·全國·單元測試）下列說法中，錯誤的是（）A．過兩點有且只有一條直線B．兩點之間的線段的長度，叫做兩點之間的距離C．兩點之間，線段最短D．在線段、射線、直線中直線最長【答案】D【分析】本題主要考查了直線，射線，線段，根據(jù)直線，射線，線段的定義和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：因為過兩點有且只有一條直線，所以A正確；因為兩點之間的線段的長度，叫做兩點之間的距離，所以B正確；因為兩點之間，線段最短，所以C正確；因為直線是向兩方無限延伸的，沒有長度，所以D錯誤；故選：D【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．射線和射線是同一條射線 B．直線的長度是C．直線相交于點M D．線段與射線在同一條直線上【答案】D【分析】根據(jù)直線、射線、線段的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法．本題主要考查了直線、射線、線段的特性，是基礎(chǔ)題，需熟練掌握．本題考查了直線、射線的定義及表示方法：直線可用一個小寫字母表示，如：直線，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線（或直線．射線是直線的一部分，可用一個小寫字母表示，如：射線；或用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．直線與射線都是無限長，不能度量．也考查了直線的性質(zhì)公理．【詳解】解：A、射線和射線不是同一條射線，故本選項說法是錯誤；B、直線是無限長的，測量不了長度，故本選項說法是錯誤；C、直線不能用兩個小寫字母表示，故本選項說法是錯誤；D、兩點確定一條直線，線段與射線在同一條直線上是正確的．故選：D．【變式2】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）“世界橋梁看中國，中國橋梁看貴州”．右圖是貴州一座橫跨峽谷的大橋，天塹變通途，徑直的大橋極大程度地縮短了大橋兩端的路程，其中“徑直的大橋縮短了大橋兩端的路程”所蘊含的數(shù)學(xué)原理是．【答案】兩點之間線段最短【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，根據(jù)兩點之間線段最短解答即可．【詳解】解：“徑直的大橋縮短了大橋兩端的路程”所蘊含的數(shù)學(xué)原理是兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短．【變式3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，有下列結(jié)論：①以C為端點的射線共有4條；②射線和射線是同一條射線；③直線和直線是同一條直線；④射線的端點相同．其中正確的結(jié)論是（填序號）．【答案】③④【分析】本題考查了直線、射線、線段，熟記概念以及表示方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線、射線、線段的定義，對結(jié)論分析判斷即可得解．【詳解】解：以C為端點的射線共有3條，故①錯誤；因為射線和射線的端點不同，方向也不同，所以不是同一條射線，故②錯誤；直線和直線是同一條直線，故③正確；射線的端點相同，都為點A，故④正確．綜上所述，其中正確的結(jié)論是：③④．故答案為：③④考點2：線段的相關(guān)計算與作圖【例題2】（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，線段，點C在線段AB上，P，Q是線段的三等分點，M，N是線段的三等分點，則線段的長為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】本題考查了兩點間的距離，n等分點的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．由三等分點的定義得，，然后由兩點間的距離求解即可．【詳解】解：∵P，Q是線段的三等分點，M，N是線段的三等分點，∴，，∴．故選C．【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，C是線段上一點，D為的中點，且．若點E在直線上，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查線段中點的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點的性質(zhì)及和差關(guān)系；由題意易得，則有，然后分當點E在點A右側(cè)時和當點E在點A左側(cè)時，進而求解即可【詳解】解：因為D為的中點，，所以．因為，所以．如圖①，當點E在點A右側(cè)時．因為，所以，所以；如圖②，當點E在點A左側(cè)時因為，所以．綜上所述，的長為或；故選D．【變式2】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）如圖線段，要求尺規(guī)作圖，在直線上找一點，作，則_______．【答案】圖形見解析，或【分析】本題主要考查線段和尺規(guī)作圖，分兩種情況：點位于點的左側(cè)和點位于點的右側(cè)．【詳解】分兩種情況：點位于點的左側(cè)和點位于點的右側(cè)，如圖所示．點位于點的左側(cè)時，．點位于點的右側(cè)時，．故答案為：或【變式3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）尺規(guī)作圖：已知線段（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)作線段，使；(2)作線段，使．【答案】(1)圖見詳解(2)圖見詳解【分析】本題考查了畫線段的和差，熟練掌握線段的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．（1）先畫一條射線，再以點A為圓心，在射線上順次截取，即可得；（2）先畫一條直線m，在直線m上截取,在線段上，順次截取即可得．【詳解】（1）解：畫一條射線，以點A為圓心，線段a的長為半徑畫弧，交射線于點E，在射線上順次截取，線段，即為所求作的；（2）解：畫一條直線m，在直線m上任取一點C,截取,在線段上，順次截取，線段即為所求作的．考點3：角及角的相關(guān)計算【例題3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于角的說法中，正確的個數(shù)為（

）①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查角的知識，首先正確理解角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，注意不要忽略“公共端點”，還應(yīng)注意角的大小與邊的長短無關(guān)，與度數(shù)的大小一致；然后結(jié)合角的定義的理解，對選項進行一一分析，排除錯誤答案即可．【詳解】解：角是由有公共端點的兩條射線所構(gòu)成的圖形，故①②③正確；角的大小與邊的長短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，故④錯誤．故選D．【變式1】（23-24七年級上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，是平角，，分別是的平分線，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平角的定義，角平分線的性質(zhì)，求一個角度數(shù)可以看成兩個或者多個角度的和求解是解題的關(guān)鍵．、分別是、的平分線，結(jié)合，可得，再由平角的定義即可求得的度數(shù)．【詳解】解：、分別是、的平分線，，,,,．故選：B．【變式2】（23-24七年級上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，已知平分平分．則的度數(shù)為．【答案】/50度【分析】本題考查了有關(guān)角平分線的計算，求出，再根據(jù)角平分線的定義分別求出和的度數(shù)，由角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：，，，平分，平分．，，，故答案為：．【變式3】（22-23七年級上·北京·期末）已知：如圖，，在的外部引射線，使，再畫出的角平分線．(1)請借助直尺和量角器補全圖形；(2)求的度數(shù)．以下是求的度數(shù)的解題過程，請你補充完整．解：∵，，∴①_________．∵平分，∴②_________（③_________）（填寫推理依據(jù)）．∴④_________．∴⑤_________．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用量角器和直尺畫圖；（2）根據(jù)角平分線的定義和角的和差求解．【詳解】（1）解：如圖：射線，即為所求；（2），，．平分，（角平分線的定義）．．．【點睛】本題考查了作圖和角平分線的定義，角的和差是解題的關(guān)鍵．考點4：探究線段、角的數(shù)量【例題4】（23-24七年級上·河北秦皇島·期中）如圖，圖中以為一個端點的線段共有（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【分析】根據(jù)線段的定義即可判斷．本題主要考查線段的概念，關(guān)鍵是要牢記線段的定義．【詳解】解：以為端點的線段有、、，共三條，故選：B．【變式1】（23-24七年級上·安徽合肥·單元測試）如圖，是直線，O是上一點，，平分，則圖中與互補的角有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，補角的定義，先根據(jù)已知條件證明，再由平角的定義推出，，據(jù)此證明，進而利用角平分線的定義得到，則可證明，得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵，∴，∴，∵，∴；∵，∴，同理可得，∵平分，∴，∴∵，∴，∴，∴圖中與互補的角有，，共2個，故選：C．【變式2】（24-25七年級上·河北秦皇島·期中）如圖，圖中線段共有條．【答案】【分析】根據(jù)線段和直線的性質(zhì)，熟練掌握線段和直線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)圖形結(jié)合線段的性質(zhì)求解即可；【詳解】本圖中的線段有：，，，，，，共條線段；故答案為：【變式3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）歸納與猜想：（1）觀察上圖填空：圖中有個角；圖中有個角；圖中有個角；（2）根據(jù)（1）題猜想：在一個角內(nèi)引條射線可組成個角．

【答案】【分析】根據(jù)角的定義，固定一條射線，剩余射線的條數(shù)即為可以與這條固定射線組成的角的個數(shù)．【詳解】

如圖所示，射線可以與射線，組成個角，射線可以與射線組成個角，所以圖中共有個角．如圖所示，射線可以與射線，，組成個角，射線可以與射線，組成個角，射線可以與射線組成個角，所以圖中共有個角．如圖所示，射線可以與射線，，，組成個角，射線可以與射線，，組成個角，射線可以與射線，組成個角，射線可以與射線組成個角，所以圖中共有個角．在一個角內(nèi)引條射線，則共有條射線，可以組成的角的個數(shù)．故答案為：，，，．【點睛】本題主要考查角的定義，牢記角的定義（有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角）是解題的關(guān)鍵．考點5：多邊形與圓的初步認識【例題5】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查多邊形定義，根據(jù)多邊形定義，逐個驗證即可得到答案．【詳解】解：所示的圖形中，第一個是三角形、第二個是四邊形、第三個是圓、第四個是正六邊形、第五個是正方體，是多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個，故選：B．【變式1】（22-23七年級上·黑龍江大慶·期中）在一張長12厘米，寬6厘米的長方形紙中，最多可以剪（

）個直徑為3厘米的圓．A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】沿長方形的長可以剪出個，沿寬可以剪出個，據(jù)此解答【詳解】故選B【點睛】此題考查長方形，圓，抓住在長方形內(nèi)剪切圓的方法是解題關(guān)鍵【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知正六邊形的周長是，則這個多邊形的邊長等于．【答案】6【分析】本題考查正多邊形的定義，根據(jù)每條邊都相等，每個內(nèi)角都相等的多邊形叫正多邊形求解即可得到答案，熟知在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正六邊形的周長是，∴這個多邊形的邊長為，故答案為：6．【變式3】（21-22七年級上·湖北孝感·階段練習(xí)）求出下圖陰影部分的周長和面積．單位：厘米（圓周率用π表示）【答案】陰影部分的周長為（6π+16）厘米，面積為（48-9π）平方厘米【分析】根據(jù)陰影部分的周長＝一個圓的周長+矩形長的2倍，陰影部分的面積＝矩形的面積﹣一個圓面積計算即可．【詳解】解：由題意知，周長＝π×6+2×8＝6π+16（厘米）；面積＝8×6﹣π×＝48﹣9π（平方厘米），答：陰影部分的周長為（6π+16）厘米，面積為（48-9π）平方厘米．【點睛】本題主要考查圓的周長和面積公式，熟練掌握圓的周長和面積公式是解題的關(guān)鍵．考點6：三種思想思想1：方程思想【例題6】（23-24七年級上·福建龍巖·期末）如圖，點依次在同一條直線上，點分別是的中點，若，則的長為（

）A．32 B．24 C．21 D．19【答案】B【分析】本題主要考查線段和差關(guān)系和中點，設(shè)，根據(jù)已知可求得和，以及和，利用給定即可求得．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，，則，∵點M、N分別是AB、CD的中點，∴，，∴，解得k=1，∴．故選：B．【變式1】（22-23七年級上·四川綿陽·期末）已知線段，點在線段上，，反向延長線段至，使，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段的和與差，正確畫出圖形，熟練掌握線段之間的運算是解題關(guān)鍵．先畫出圖形，設(shè)，則，，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：設(shè)，∵，，∴，，∵，即，∴，∴，∵，∴，故選：D．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，一條線段，E，F(xiàn)分別是線段的中點，且，則線段的長為．【答案】/8厘米【分析】本題考查了兩點之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)線段關(guān)系設(shè)未知數(shù)求解．設(shè)，由點，分別是，的中點可得的長，已知，可列方程解得的值，可得的長．【詳解】解：，可設(shè)，點，分別是，的中點，，，又，，解得，（），即線段的長為．故答案為：．【變式3】（24-25七年級上·全國·單元測試）如圖，是線段的中點，點在線段上，是線段的中點．(1)若，，求的長；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了與線段中點有關(guān)的計算、線段的和差，熟練掌握以上知識點，找準線段之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）由線段中點的定義得出，再結(jié)合計算即可得解；（2）設(shè)，則．由線段中點的定義得出，根據(jù)求出，再結(jié)合即可得解．【詳解】（1）解：是線段的中點，，．，∴．（2）解：∵，∴設(shè)，則．是線段的中點，∴．∵，即，解得．∵，．思想2：數(shù)形結(jié)合思想【例題7】（24-25七年級上·山東青島·期中）如圖，直線交于點O，平分，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，平角結(jié)合角平分線的定義，求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴；故選：C【變式1】（23-24七年級上·陜西漢中·期末）如圖，在數(shù)軸上有A、B、C、D四個整數(shù)點（即各點均表示整數(shù)），且，，若A，D兩點表示的數(shù)分別為和5，E為線段的中點，則點E表示的數(shù)為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點之間的距離，線段中點的含義，根據(jù)A、D兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)，求得的長度，然后根據(jù)，，求得、的長度，從而找到的中點E所表示的數(shù)．【詳解】解：如圖，∵，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵E為線段的中點，∴，∴點E所表示的數(shù)是：．故選：D．【變式2】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，是平角，是射線，、分別是、的平分線，若，則的度數(shù)為．【答案】/62度【分析】本題考查角平分線的定義，平角的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．根據(jù)角平分線的定義求出，推出，再根據(jù)角平分線的定義求解即可．【詳解】解：平分，．．平分，．故答案為：．【變式3】（24-25七年級上·全國·單元測試）已知點M在數(shù)軸右側(cè)，到原點的距離等于4．將點M向左平移7個單位長度后得到點N．

(1)在數(shù)軸上標出點M和點N．(2)求線段的長度．(3)如果點A到點M和點N的距離相等，寫出點A所表示數(shù)的相反數(shù)．【答案】(1)M表示數(shù)為4，N表示數(shù)為，數(shù)軸見詳解(2)7(3)【分析】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的加減法；（1）根據(jù)題意可知M、N在數(shù)軸上表示的數(shù)，在數(shù)軸上標出即可；（2）由點M向左平移7個單位長度后得到點N，可知的長度；（3）點A到點M和點N的距離相等，可知點A在的正中間，在數(shù)軸上標出點A，可知點A表示的數(shù)，再寫出其相反數(shù)即可．【詳解】（1）點M在數(shù)軸右側(cè)，到原點的距離等于4，即點M表示的數(shù)是4；將點M向左平移7個單位長度后得到點N，則點N表示的數(shù)是；在數(shù)軸上標出點M和點N，如圖：

（2）點M向左平移7個單位長度后得到點N，則點M到點N的距離為7，線段的長度為7；（3）∵點A到點M和點N的距離相等，∴，∴點M向左平移個單位長度得到點A，∴A表示的數(shù)為，∴0.5的相反數(shù)為．思想3：分類討論思想【例題8】（24-25七年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知線段，點C是的中點，點D在線段上且，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查線段中點的定義，理解題意，考慮問題要全面是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出，根據(jù)題意求出，分點在線段上，點在線段上兩種情況計算即可．【詳解】∵，點C是的中點，∴，∵，∴，如圖，當點在線段上時，∴，如圖，當點在線段上時，∴，故選：D．【變式1】（22-23七年級上·江西撫州·階段練習(xí)）若，是不同于的射線，平分，平分，則的大小為．【答案】/45度【分析】本題主要考查了角平分線的定義，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想在解題過程中的應(yīng)用．當射線在的內(nèi)部時，根據(jù)角平分線的定義求得，，然后根據(jù)圖形中的角與角間的和差關(guān)系來求的度數(shù)．當射線在的外部時，同理可求的度數(shù)．【詳解】解：當射線在的內(nèi)部時，如圖所示：∵平分，∴，又∵平分，∴，又∵，∴；當射線在的外部時，如圖所示∵平分，∴，又∵平分，∴，又∵，∴．故答案為：．【變式2】（22-23七年級上·河南南陽·期末）已知，，平分，平分，則．【答案】或【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的角的運算．分類討論是解答此題的關(guān)鍵．分射線在內(nèi)部和外部兩種可能來解答．【詳解】解：當射線在內(nèi)部時，如圖，，平分，，∵，平分，∴，；當射線在外部時，如圖，，平分，，∵，平分，∴，，故答案為：或．【變式3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知線段，在直線AB上作線段，使得．若D是線段的中點，求線段AD的長．【答案】3或1【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點C在線段上，可計算出的長，再由D是線段的中點，即可得出答案；②在線段的延長線上，可計算出的長，再由D是線段的中點，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵，，∴，∵D是線段的中點，∴；②如圖2，∵，，∴，∵D是線段的中點，∴．∴線段的長為1或3．故答案為：3或1一、單選題1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【答案】C【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧．【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，故選：C．2．（2023·山東臨沂·中考真題）下圖中用量角器測得的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖形可直接得出．【詳解】解：由題意，可得，故選：C．【點睛】本題考查角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西百色·中考真題）已知∠α＝25°30′，則它的余角為（

）A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′【答案】B【分析】根據(jù)互為余角相加等于以及度分秒的進率計算即可．【詳解】解：∵∠α＝25°30′，∴它的余角為，故選：B．【點睛】本題主要考查余角的性質(zhì)以及度分秒的計算，熟知度分秒的進率為60是解題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）已知線段，在直線AB上作線段BC，使得．若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【分析】先分C在AB上和C在AB的延長線上兩種情況，分別畫出圖形，然后運用中點的定義和線段的和差進行計算即可．【詳解】解：如圖：當C在AB上時，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1

如圖：當C在AB的延長線上時，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3

故選C．【點睛】本題主要考查了線段的和差、中點的定義以及分類討論思想，靈活運用分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，，位于數(shù)軸上原點兩側(cè)，且．若點表示的數(shù)是6，則點表示的數(shù)是（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5【答案】B【分析】根據(jù)，點表示的數(shù)是6，先求解再根據(jù)A的位置求解A對應(yīng)的數(shù)即可．【詳解】解：由題意可得：點表示的數(shù)是6，且B在原點的右側(cè)，，在原點的左側(cè)，表示的數(shù)為故選B【點睛】本題考查的是線段的和差倍分關(guān)系，數(shù)軸上的點所對應(yīng)的數(shù)的表示，熟悉數(shù)軸的組成與數(shù)軸上數(shù)的分布是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇南京·中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成．【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可．二、填空題7．（2024·吉林·中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】兩點之間，線段最短【分析】本題考查了兩點之間線段最短，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】從長春站去往勝利公園，走人民大街路程最近，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是：兩點之間，線段最短故答案為：兩點之間，線段最短．8．（2024·四川巴中·中考真題）過五邊形的一個頂點有條對角線．【答案】2【分析】根據(jù)多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，得出n邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線．【詳解】從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以向與這個頂點不相鄰的2個頂點引對角線，即能引出2條對角線，故答案為：2．【點睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個頂點出發(fā)，能引出條對角線．9．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，點O在直線AB上，是的平分線，若，則的度數(shù)為．

【答案】/20度【分析】根據(jù)鄰補角得出，再由角平分線求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，∴，故答案為：．【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（2023·湖北十堰·中考真題）一副三角板按如圖所示放置，點A在上，點F在上，若，則．

【答案】/100度【分析】根據(jù)直角三角板的性質(zhì)，得到，，結(jié)合得到，利用平角的定義計算即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)直角三角板的性質(zhì)，得到，，∵，∴，．

故答案為：．【點睛】本題考查了三角板的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握三角板的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵一、單選題1．（22-23七年級上·河南鄭州·期末）下列說法錯誤的是（

）A．經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線B．經(jīng)過兩點的直線有且只有一條C．射線和射線是同一條射線D．連接兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離【答案】C【分析】此題考查直線、線段、射線，根據(jù)直線、射線、線段的定義以及兩點間的距離的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線，說法正確，故本選項不符合題意；B、根據(jù)直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線可知經(jīng)過兩點的直線有且只有一條，說法正確，故本選項不符合題意；C．射線和射線不是同一條射線，原說法錯誤，故本選項符合題意；D、連接兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離，故本選項不符合題意．故選：C．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列式子中錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了度分秒的換算，根據(jù)“1度分，即，1分秒，即”進行度分秒的換算和度分秒間的加減計算．【詳解】解：A、，計算正確，故本選項不符合題意．B、，計算正確，故本選項不符題意．C、，計算正確，故本選項不符合題意．D、，計算錯誤，故本選項符合題意．故選：D．3．（24-25七年級上·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（）A．角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形B．周角的一半叫平角C．可轉(zhuǎn)化為D．直線是平角【答案】D【分析】本題考查了角的相關(guān)概念及度分秒的換算，熟練掌握角的相關(guān)概念及度分秒的換算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角的相關(guān)概念及度分秒的換算逐項分析判斷，即可判斷答案．【詳解】A、角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形，此說法正確，不符合題意；B、周角的一半是平角，此說法正確，不符合題意；C、，所以此說法正確，不符合題意；D、直線不是平角，此說法不正確，符合題意．故選D．4．（23-24七年級上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，是的平分線，，則的度數(shù)為（

）A． B． C．60° D．【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義，角的計算，根據(jù)角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴是的平分線，又∵是的平分線，∴，∴，故選：D5．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）有下列三種說法：①因為，所以是的中點；②在線段的延長線上取一點，如果，那么是的中點；③因為是的中點，所以．其中正確的是（

）A．①③ B．① C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查線段中點定義，根據(jù)中點定義，數(shù)形結(jié)合理解即可得到答案，熟記線段中點定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：若三點不在一條直線上，即使，也不一定是的中點，故①錯誤，不符合題意；線段的延長分兩種情況：在線段的延長線上取一點，如圖所示：如果，那么是的中點，故②正確，符合題意；因為是的中點，所以，故③說法正確，符合題意；綜上所述，正確的說法是②③，故選：C．6．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列圖形中，是四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了四邊形的判斷，根據(jù)四邊形的定義解答即可．即由四條線段首位順次相接，就組成了四邊形．【詳解】解：圖B是四邊形，符合題意．故選：B．7．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）點，，在直線上的位置如圖所示，下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了比較線段的長短，根據(jù)直線上，，的位置，判斷即可．【詳解】解：A、由圖可知，故A選項正確，不符合題意；B、由圖可知，故B選項正確，不符合題意；C、由圖可知，故C選項正確，不符合題意；D、由圖可知，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．8．（24-25七年級上·全國·單元測試）過2個點可以畫出1條線段，過3個點可以畫3條線段，過10個點可以畫（

）條線段．A．10 B．54 C．45 D．無數(shù)條【答案】C【分析】本題主要考查線段的數(shù)量問題，根據(jù)題意已知條件找到對應(yīng)的規(guī)律，將所求點代入即可；【詳解】解：過2個點可以畫：；過3個點可以畫：；過n個點可以畫：；則過10個點可以畫；故選：C．9．（2023七年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖，點C是線段的中點，點N是線段的三等分點．若線段的長為12，則線段的長度是（）A．10 B．8 C．7或9 D．8或10【答案】D【分析】本題主要考查了線段和差倍分的計算，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段與線段之間的和差倍分關(guān)系．先根據(jù)已知條件求出和的長，然后根據(jù)點的位置，分兩種情況討論，畫出圖形，利用已知條件，求出的值即可．【詳解】解：，點是中點，，分兩種情況討論：①點的位置如圖所示：點是線段的三等分點，，；②點位置如圖所示：點是線段的三等分點，，；綜上可知：的長度為8或10，故選：D．10．（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知線段，延長至點C，使，點D、E均為線段延長線上兩點，且、N分別是線段、的中點，當點C是線段的三等分點時，的長為（

）A． B． C．或 D．m或【答案】C【分析】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．由點C是線段的三等分點，可知分兩種情況進行討論，畫出圖形，結(jié)合線段的比例關(guān)系，及線段中點的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵是線段的中點，，①若，如圖1所示：，，，，，∵是線段的中點，是線段的中點，∴．∴；②若，如圖：，，，，∵是線段的中點，是線段的中點，，，故選：C．二、填空題11．（24-25七年級上·河北保定·期中）下列四種實踐方式：①木匠彈墨線；②打靶瞄準；③彎曲公路改直；④拉繩插秧．其中可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有（填序號）．【答案】①②④【分析】此題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：①木匠彈墨線；②打靶瞄準；④拉繩插秧，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，③彎曲公路改直，利用的是“兩點之間，線段最短”的知識．故答案為：①②④．12．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：（1）；（2）．【答案】845360.15【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握單位之間的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，進行換算即可；（2）根據(jù)進行換算即可．【詳解】解：（1），，所以，故答案為：8，45，36；（2），故答案為：0.15．13．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫作多邊形的．【答案】對角線【分析】本題考查多邊形對角線的概念：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，據(jù)此解答即可【詳解】解：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，故答案為：對角線．14．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，A，B，C三點共線，M，N分別是的中點．若，則．【答案】13【分析】此題考查了線段的中點，線段的和差，根據(jù)題意可得，，由即可求出線段的長．【詳解】解：分別是的中點，，，∴，，∴，故答案為：．15．（24-25七年級上·河北秦皇島·期中）如圖，，，則的度數(shù)是．【答案】30°/30度【分析】本題考查了角的計算，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)即可選出正確答案．【詳解】解：，，，故答案為：16．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，若C為線段的中點，D在線段上，，則的長度是．【答案】1【分析】本題考查了兩點間的距離．利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的長短關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由已知條件知，，由即可求得結(jié)果．【詳解】∵線段，線段，∴，∵C為線段的中點，∴，∴．故答案為：1．17．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）從一個多邊形的任何一個頂點出發(fā)都只有5條對角線，則這個多邊形的對角線共有條．【答案】20【分析】本題主要考查了多邊形的對角線，根據(jù)多邊形邊數(shù)與過一個頂點的對角線的條數(shù)可知該多邊形為8邊形，再根據(jù)對角線的條數(shù)等于計算即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意，得，解得，所以這個多邊形的對角線共有（條）．故答案為：20．18．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知點都在同一條直線上，分別為的中點．若，則的長為．【答案】8或16/16或8【分析】本題主要考查與中點有關(guān)的線段和差計算，分兩種情況：點C在點B的左邊時，點C在點B的右邊時，再根據(jù)相應(yīng)線段的關(guān)系進行解答即可．【詳解】解：當點C在點B的左邊時，如圖所示．∵分別為的中點，∴，∵，∴，∴，即．∵，∴，∴；當點C在點B的右邊時，如圖所示．∵分別為的中點，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．綜上所述，的長為8或16，故答案為：8或16．三、解答題19．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，且，求：(1)的度數(shù)；(2)的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，角的和差，（1）根據(jù)角平分線的定義得，，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）結(jié)合圖形可得，代入數(shù)據(jù)計算即可；解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線．【詳解】（1）解：∵是的平分線，且，∴，，∵是的平分線，∴，∴的度數(shù)為；（2）由（1）知：，，∴，∴的度數(shù)為．20．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如下圖，為線段上一點，為的中點，為的中點，其中，．若為上一點，且滿足，試說明：是線段的中點．【答案】說明見解析【分析】本題考查線段的中點，線段的和差，由線段的中點定義及線段的和差得，再根據(jù)線段中點的定義及表示出，即可說明問題．解題的關(guān)鍵是理解線段的中點定義：一條線段的中點只有一個；某一點要成為一條線段的中點必須同時滿足兩個條件：點必須在這條線段上；它把這條線段分為相等的兩條線段．【詳解】解：∵為的中點，，∴，∴，∵，∴，∵為的中點，∴，∴，∴，由題意及圖形知：點在線段上，即是線段的中點．21．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知點O為直線上一點，，在內(nèi)部作射線，且恰好平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查角平分線的意義、互補、互余的意義，正確表示各個角，理清各個角之間的關(guān)系是得出正確結(jié)論的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)余角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)計算即可；（2）根據(jù)角的倍分關(guān)系以及角平分線的定義即可求解．【詳解】（1）解：如圖：，，平分，，；（2）解：，平分，，，，，，．22．（22-23七年級上·浙江杭州·期末）如圖，平分，三等分，已知，求的度數(shù)．【答案】90°【分析】本題考查了角平分線及三等分線的定義，角的和差，由角平分線及三等分線的定義可得，，進而得，據(jù)此即可求解，掌握角平分線及三等分線的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分，∴，又∵三等分，∴，∴，∴．23．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．