專題14比例線段、分割、平行線分線段成比例【考點導航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一成比例線段】 1【考點二比例的性質(zhì)】 2【考點三利用分割求線段的長】 3【考點四與分割有關的證明】 5【考點五由平行判斷成比例的線段】 9【考點六由平行截線求相關線段的?；虮戎怠?11【過關檢測】 14【典型例題】【考點一成比例線段】例題：（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【變式訓練】1．（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，2．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則（）A． B． C． D．【考點二比例的性質(zhì)】例題：（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，則．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）已知，則．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．【考點三利用分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）點P是長度為10的線段上的分割點，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習）在長度為1的線段上有一點P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）“分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的分割點．如圖（2），點分別是線段的分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【考點四與分割有關的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）中，D是上一點，若，則稱為的分割線．(1)求證：若為的分割線，則D是的分割點；(2)若，求的面積．（結果保留根號）【變式訓練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以AF為邊作正方形，點M在上．(1)求的長；(2)點M是的分割點嗎？為什么？2．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為分割，這個比值稱為比，點P叫做線段AB的分割點．采用如下方法可以得到分割點：如圖2，設AB是已知線段，經(jīng)過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的分割點．任務：（1）求證：C是線段AB的分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【考點五由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點六由平行截線求相關線段的常或比值】例題：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，、相交于點，點、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長是．

2．（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）下列各組種的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、2．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考開學考試）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建莆田·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，點D在邊上，，若，則的值是(

)

A． B． C． D．4．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，是葉脈的分割點，則（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是平行四邊形對角線上的點，若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題6．（2023·上海嘉定·模擬預測）已知：，則．7．（2023春·安徽·九年級專題練習）已知三條線段a、b、c，其中，c是a、b的比例中項，則cm．8．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

9．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，D為邊的中點，點E在線段上，的延長線交邊于點F，若，，則線段的長為．

10．（2023春·安徽·九年級專題練習）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的分割點（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結果保留根號）三、解答題11．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，，，，，求、的長．12．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．13．（2022秋·九年級單元測試）與在網(wǎng)格中的位置如圖所示，且每個小正方形的邊長都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，這六條線段中，指出其中三組成比例的線段．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學習角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖，在中，的平分線交于點，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗證這個結論．

證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結論應用：已知在中，，，邊上有一動點，連接，點關于的對稱點為點，連接交于點．(1)如圖2，當，，求的值．(2)如圖3，當，與的邊垂直時，求的值．

15．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)【操作判斷】操作一：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在上的點E處，折痕為，把紙片展平，連接；操作二：如圖2，將矩形紙片再次折疊，使點A與點E重合，得到折痕為，把紙片展平；操作三：如圖3，連接，并把折到上