第07講增長(zhǎng)速度的比較課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)平均變化率的概念.2.知道函數(shù)平均變化率的幾何意義.3.會(huì)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.4.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義．1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)平均變化率的概念、幾何意義培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用函數(shù)的平均變化率比較函數(shù)的增長(zhǎng)速度培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)01平均變化率的概念函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時(shí))或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．說明：（1）實(shí)數(shù)x1，x2在定義域內(nèi)不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可負(fù)；Δy＝y(tǒng)2－y1是Δx＝x2－x1相應(yīng)的改變量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零，因此平均變化率可正、可負(fù)、也可為零．（2）平均變化率實(shí)質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，可用平均變化率來比較函數(shù)值變化的快慢．【即學(xué)即練1】函數(shù)f(x)＝3x在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為________．知識(shí)點(diǎn)02平均變化率的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2)上的平均變化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示函數(shù)y＝f(x)圖象上過點(diǎn)(x1，f(x1))和點(diǎn)(x2，f(x2))的直線的斜率．【即學(xué)即練2】已知函數(shù)f(x)＝2x2圖象上的兩點(diǎn)A，B，xA＝1，xB＝2，則直線AB的斜率為()A．－6 B．6C．－3 D．3知識(shí)點(diǎn)03增長(zhǎng)速度的比較1．幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝kx(k＞0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長(zhǎng)”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．(4)冪函數(shù)模型當(dāng)x＞0，n＞1時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)速度就越快．2．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異一般地，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增，且a越大，增長(zhǎng)越快.單調(diào)遞增，且a越小，增長(zhǎng)越快.單調(diào)遞增，且x＞1時(shí)，n越大增長(zhǎng)越快．增長(zhǎng)速度越來越快.越來越慢.越來越快．圖像的變化隨x的增大越來越陡.隨x的增大逐漸變緩.隨著n值的不同而不同.【即學(xué)即練3】下列函數(shù)增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x題型01求函數(shù)的平均變化率【典例1】函數(shù)，當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（

）A．2.1 B．1.1 C．2 D．1【變式1】函數(shù)y=1x【變式2】函數(shù)y=【變式3】函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．【變式4】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．4【變式5】函數(shù)，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．，的大小無法確定題型02同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化快慢的比較【典例2】已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，2]與[3，5]上的平均變化率，并比較函數(shù)在兩區(qū)間上變化的快慢．【變式1】已知函數(shù)f(x)＝x2，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，2]與[3，4]上的平均變化率，并比較函數(shù)在兩區(qū)間上變化的快慢．【變式2】某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示．比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較快？【變式3】若函數(shù)，，在上的平均變化率分別記為，則下面結(jié)論正確的是A． B．C． D．【變式4】（22-23高一上·遼寧錦州·期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．題型03不同函數(shù)在同一區(qū)間上變化快慢的比較【典例3】已知函數(shù)f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1.(1)分別求函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率；(2)比較兩函數(shù)在區(qū)間[－3，－1]上函數(shù)值變化的快慢．【變式1】已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝x3，分別計(jì)算這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[2，3]上的平均變化率，并比較這兩個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上函數(shù)值變化的快慢．【變式2】對(duì)于以下四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．在區(qū)間上函數(shù)的平均變化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④題型04函數(shù)變化快慢的應(yīng)用【典例4】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出示意圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象示意圖，判斷f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．【變式1】若x∈(0,+∞)，則使log2x<2x<【變式2】下面對(duì)函數(shù)f(x)=log12xA．fx的衰減速度逐漸變慢，gx的衰減速度逐漸變快，B．fx的衰減速度逐漸變快，gx的衰減速度逐漸變慢，C．fx的衰減速度逐漸變慢，gx的衰減速度逐漸變慢，D．fx的衰減速度逐漸變快，gx的衰減速度逐漸變快，【變式3】下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A．y=ex B．y=lnx 【變式5】如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)，路程的變化情況，下列說法正確的是________．①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度．1.函數(shù)從到的平均變化率為（）A．1B．C．D．2．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率等于()A．-1B．1C．-2D．23．某公司的盈利y（元）和時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系是，假設(shè)恒成立，且，，則這些數(shù)據(jù)說明后10天與前10天比較（

）A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，增加的幅度變小4．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一·上?！ふn堂例題）若某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年元月份產(chǎn)值的m倍，則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（

）A．m B． C． D．6．某人騎自行車沿直線勻速行駛，先前進(jìn)了，休息了一段時(shí)間，又沿原路返回，再前進(jìn)，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖是（

）．A． B． C．D．7．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是（

）A． B．C． D．8．（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度有時(shí)快于9．（多選題）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)率為1B．野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過1.5個(gè)月C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到，，所需的時(shí)間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間曼延的平均速度10.（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)減小的速度越來越慢B．在指數(shù)函數(shù)中，當(dāng)x>0時(shí)，底數(shù)越大，其增長(zhǎng)速度越快C．不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間內(nèi)，對(duì)任意的，總有成立11．函數(shù)在[2,6]內(nèi)的平均變化率為________．12.汽車行駛的路程和時(shí)間之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為______.10．已知，函數(shù)，則下面結(jié)論中正確的有__________.（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）①函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率總是大于；②函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率總是小于；③函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率隨著的增大而增大；④函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率隨著的增大而減小.13．函數(shù)與在區(qū)間上增長(zhǎng)較快的是________．第07講增長(zhǎng)速度的比較課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)平均變化率的概念.2.知道函數(shù)平均變化率的幾何意義.3.會(huì)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.4.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義．1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)平均變化率的概念、幾何意義培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用函數(shù)的平均變化率比較函數(shù)的增長(zhǎng)速度培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)01平均變化率的概念函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時(shí))或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．說明：（1）實(shí)數(shù)x1，x2在定義域內(nèi)不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可負(fù)；Δy＝y(tǒng)2－y1是Δx＝x2－x1相應(yīng)的改變量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零，因此平均變化率可正、可負(fù)、也可為零．（2）平均變化率實(shí)質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，可用平均變化率來比較函數(shù)值變化的快慢．【即學(xué)即練1】函數(shù)f(x)＝3x在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為________．【答案】18【解析】因?yàn)閑q\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，所以f(x)＝3x在[2，3]上的平均變化率為eq\f(33－32,3－2)＝18.知識(shí)點(diǎn)02平均變化率的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2)上的平均變化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示函數(shù)y＝f(x)圖象上過點(diǎn)(x1，f(x1))和點(diǎn)(x2，f(x2))的直線的斜率．【即學(xué)即練2】已知函數(shù)f(x)＝2x2圖象上的兩點(diǎn)A，B，xA＝1，xB＝2，則直線AB的斜率為()A．－6 B．6C．－3 D．3【答案】B【解析】直線AB的斜率為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的平均變化率，故k=eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)=6，故選B.知識(shí)點(diǎn)03增長(zhǎng)速度的比較1．幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y＝kx(k＞0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長(zhǎng)”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．(4)冪函數(shù)模型當(dāng)x＞0，n＞1時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當(dāng)x＞1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)速度就越快．2．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異一般地，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增，且a越大，增長(zhǎng)越快.單調(diào)遞增，且a越小，增長(zhǎng)越快.單調(diào)遞增，且x＞1時(shí)，n越大增長(zhǎng)越快．增長(zhǎng)速度越來越快.越來越慢.越來越快．圖像的變化隨x的增大越來越陡.隨x的增大逐漸變緩.隨著n值的不同而不同.【即學(xué)即練3】下列函數(shù)增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x【答案】A【解析】結(jié)合函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝x3，y＝3x的圖像可知，隨著x的增大，函數(shù)y＝3x的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝x3的增長(zhǎng)速度，而y＝log3x的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢，y＝3x的增長(zhǎng)速度不變，故本題選A.題型01求函數(shù)的平均變化率【典例1】函數(shù)，當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（

）A．2.1 B．1.1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)平均變化率的求法即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的平均變化率為：.故選：A.【變式1】函數(shù)y=1x【答案】?12【分析】利用平均變化率的定義求解【詳解】函數(shù)y=1x在區(qū)間[?2,?1]上的平均變化率為【變式2】函數(shù)y=【答案】a【分析】利用平均變化率的定義求解即可【詳解】函數(shù)y=ax+b【變式3】函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【解析】由題意，解得m=2或-1【變式4】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)在間上的平均變化率，解方程即可得答案．【詳解】解;由已知得，∴，∴，故選B.【變式5】函數(shù)，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．，的大小無法確定【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算比較即可.【詳解】，，故.故選：A.題型02同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化快慢的比較【典例2】已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，2]與[3，5]上的平均變化率，并比較函數(shù)在兩區(qū)間上變化的快慢．【解析】在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq\f(1,2)，在區(qū)間[3，5]上，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在區(qū)間[3，5]上函數(shù)值變化的較快．【變式1】已知函數(shù)f(x)＝x2，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，2]與[3，4]上的平均變化率，并比較函數(shù)在兩區(qū)間上變化的快慢．【解析】在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(22－12,1)＝3，在區(qū)間[3，4]上，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（4）－f（3）,4－3)＝eq\f(42－32,1)＝7.因?yàn)?>3，所以函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[3，4]上函數(shù)值變化的較快．【變式2】某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示．比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較快？【解析】當(dāng)時(shí)間x從0min變到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為eq\f(38.5－39,20－0)＝eq\f(－0.5,20)＝－0.025(℃/min)；當(dāng)時(shí)間x從20min變到30min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為eq\f(38－38.5,30－20)＝eq\f(－0.5,10)＝－0.05(℃/min)．這里負(fù)號(hào)表示體溫下降，顯然，絕對(duì)值越大，下降得越快，又因?yàn)閨－0.025|<|－0.05|，故體溫從20min到30min這段時(shí)間下降得比從0min到20min這段時(shí)間要快．【變式3】若函數(shù)，，在上的平均變化率分別記為，則下面結(jié)論正確的是A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)在的平均變化率為：；函數(shù)在的平均變化率為：；函數(shù)在的平均變化率為：；∴故選A.【變式4】（22-23高一上·遼寧錦州·期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】如圖分別令、、、、、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：B題型03不同函數(shù)在同一區(qū)間上變化快慢的比較【典例3】已知函數(shù)f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1.(1)分別求函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率；(2)比較兩函數(shù)在區(qū)間[－3，－1]上函數(shù)值變化的快慢．【解析】(1)因?yàn)棣＝(－1)－(－3)＝2.對(duì)于函數(shù)f(x)，Δf＝f(－1)－f(－3)＝3×(－1)＋1－[3×(－3)＋1]＝6，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(6,2)＝3.對(duì)于函數(shù)g(x)，Δg＝g(－1)－g(－3)＝2×(－1)2＋1－[2×(－3)2＋1]＝－16，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率為eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(－16,2)＝－8.(2)因?yàn)閨3|<|－8|，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[－3，－1]上函數(shù)值變化的較快．【變式1】已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝x3，分別計(jì)算這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[2，3]上的平均變化率，并比較這兩個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上函數(shù)值變化的快慢．【解析】函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)＝eq\f(33－32,3－2)＝18，函數(shù)g(x)在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(g（3）－g（2）,3－2)＝eq\f(33－23,3－2)＝19，因?yàn)?9>18，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[2，3]上函數(shù)值變化的較快．【變式2】對(duì)于以下四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．在區(qū)間上函數(shù)的平均變化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】分析求出四個(gè)函數(shù)的平均變化率，然后比較即可.【詳解】①，②，③，④．故選：C．題型04函數(shù)變化快慢的應(yīng)用【典例4】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出示意圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象示意圖，判斷f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．【解析】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2024>x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)；當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x)，所以f(2024)>g(2024)．又因?yàn)間(2024)>g(6)，所以f(2024)>g(2024)>g(6)>f(6)．【變式1】若x∈(0,+∞)，則使log2x<2x<【答案】

(2,4)

(0,2)∪(4,+∞)【分析】畫出指對(duì)冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷不等關(guān)系下對(duì)應(yīng)x的范圍即可.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2x，y=x由圖得，若log2x<2x<x2，則故答案為：(2,4)，(0,2)∪(4,+∞)【變式2】下面對(duì)函數(shù)f(x)=log12xA．fx的衰減速度逐漸變慢，gx的衰減速度逐漸變快，B．fx的衰減速度逐漸變快，gx的衰減速度逐漸變慢，C．fx的衰減速度逐漸變慢，gx的衰減速度逐漸變慢，D．fx的衰減速度逐漸變快，gx的衰減速度逐漸變快，【答案】C【分析】根據(jù)冪指對(duì)函數(shù)的圖象以及性質(zhì)即可求解.【詳解】由函數(shù)f(x)=log12x，g(x)=1【變式3】下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A．y=ex B．y=lnx 【答案】A【詳解】∵y=e?x又y=ex與y=lnx則隨x的增大而增大且速度最快的是y=【變式5】如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)，路程的變化情況，下列說法正確的是________．①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度．【答案】③【詳解】在0到t0范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為v=s0t0，故①②錯(cuò)誤；在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為s2?s0t1?t0，乙的平均速度為s1?s1.函數(shù)從到的平均變化率為（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由題意知函數(shù)從到的增量為，故從到的平均變化率為，故選D．2．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率等于()A．-1B．1C．-2D．2【答案】D【解析】易知，，因此，故選D3．某公司的盈利y（元）和時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系是，假設(shè)恒成立，且，，則這些數(shù)據(jù)說明后10天與前10天比較（

）A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，增加的幅度變小【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率與增長(zhǎng)幅度的關(guān)系說明．【詳解】平均變化率為正說明盈利是增加的，平均變化率變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平均變化率的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題．4．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，又，所以隨x的增大而減小，故D不正確；又與它們都是增函數(shù)，因?yàn)闉橹笖?shù)函數(shù)，為對(duì)數(shù)函數(shù)，則隨x的增大而增大且速度最快的是故選：A5．（24-25高一·上?！ふn堂例題）若某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年元月份產(chǎn)值的m倍，則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（

）A．m B． C． D．【答案】D【分析】該題為平均增長(zhǎng)率問題，設(shè)去年元月份產(chǎn)值為1，平均增長(zhǎng)率為，列出方程求解即可.【詳解】由題可知，設(shè)去年元月份產(chǎn)值為1，月平均增長(zhǎng)率為，則有，解得.故選：D6．某人騎自行車沿直線勻速行駛，先前進(jìn)了，休息了一段時(shí)間，又沿原路返回，再前進(jìn)，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖是（

）．A． B． C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象，勻速行駛一段后，休息一段時(shí)間路程無變化，應(yīng)排除A，又原路返回一段，排除D，繼續(xù)前進(jìn)，因?yàn)槭莿蛩偎赃xC.【詳解】因?yàn)樗菹⒘艘欢螘r(shí)間，那么在這段時(shí)間內(nèi)，時(shí)間在增長(zhǎng)，路程沒有變化，應(yīng)排除A；又按原路返回，說明隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，他離出發(fā)點(diǎn)近了點(diǎn)，排除D；C選項(xiàng)雖然離出發(fā)點(diǎn)近了，但時(shí)間沒有增長(zhǎng)，應(yīng)排除B故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)圖，辨析及實(shí)際問題的意義，屬于中檔題.7．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)血液藥物含量變化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性變化可判斷.【詳解】在2h內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C．能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是B．故選：B．8．（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度有時(shí)快于【答案】BD【分析】由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)逐一分析即可．【詳解】對(duì)于，從負(fù)無窮開始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，故隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來越快于，A錯(cuò)誤，BD正確；對(duì)于，由于的增長(zhǎng)速度是不變的，當(dāng)x∈0,1時(shí)，大于，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，大于，再也追不上，其中增長(zhǎng)速度有時(shí)快于，C錯(cuò)誤．故選：BD．9．（多選題）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)率為1B．野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過1.5個(gè)月C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到，，所需的時(shí)間分別為