8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系？性別是否喜歡數(shù)學(xué)課程吸煙患肺癌例：反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。

X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表

練習(xí)：下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a、b的值分別為(

)A．94、96B．52、50C．52、54D．54、52C

一般來說，若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對值也會較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對值也會較小.

(1)認(rèn)清分類變量，提出零假設(shè)H0：X和Y獨(dú)立，即…與…無關(guān)聯(lián)(無差異)；(2)列表：列出2×2列聯(lián)表.(3)求值：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算χ2的值.(4)推斷：將χ2值與臨界值xα比較，根據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則，得出結(jié)論利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)歸納：(卡方)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟若χ2≥xα，則推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；若χ2<xα，則我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認(rèn)為X和Y獨(dú)立.P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828如：若假設(shè)H0成立，對于小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則如下：(1)當(dāng)χ2≥3.841=x0.05時(shí)，∵P(χ2≥3.841)=0.05，可推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05；(2)當(dāng)χ2<3.841=x0.05時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認(rèn)為X和Y獨(dú)立.思考：例１和例２都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎？例１只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分。在例２中，我們用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)對零假設(shè)H０進(jìn)行了檢驗(yàn)．通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α＝0.1所對應(yīng)的臨界值2.706，因此認(rèn)為沒有充分證據(jù)推斷H０不成立，所以接受H０，推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論．這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的．因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的．相對于簡單比較兩個(gè)頻率的推斷，用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分．例3

某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈

15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名,其中未治愈6名,治愈63名.試根據(jù)小概

率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解:零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136

(1)認(rèn)清分類變量，提出零假設(shè)H0：X和Y獨(dú)立，即…與…無關(guān)聯(lián)(無差異)；(2)列表：列出2×2列聯(lián)表.(3)求值：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算χ2的值.(4)推斷：將χ2值與臨界值xα比較，根據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則，得出結(jié)論利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)課堂小結(jié)若χ2≥xα，則推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；若χ2<xα，則我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可認(rèn)為X和Y獨(dú)立.P(χ2≥xα)=α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

0.1%把握認(rèn)為X與Y無關(guān)1%把握認(rèn)為X與Y無關(guān)99.9%把握認(rèn)為X與Y有關(guān)99%把握認(rèn)為X與Y有關(guān)90%把握認(rèn)為X與Y有關(guān)10%把握認(rèn)為X與Y無關(guān)臨界值表10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445

k00.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50

根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：零假設(shè)為H0:“…與…沒有關(guān)系”.獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題過程：

總計(jì)aba+bcdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d所以,有…%的把握認(rèn)為“…與…有關(guān)系”.或：在犯錯(cuò)誤的概率不超過…的前提下認(rèn)為“…與…有關(guān)系”獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題過程：

所以,沒有…%的把握認(rèn)為“…與…有關(guān)系”.或:不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過…的前提下認(rèn)為“…與…有關(guān)系”根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：零假設(shè)為H0:“…與…沒有關(guān)系”.總計(jì)aba+bcdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d當(dāng)堂練習(xí)1．對分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，說法正確的是(

)A．k越大，“

X與Y有關(guān)系”可信程度越小B．k越小，“

X與Y有關(guān)系”可信程度越小C．k越接近于0，“X與Y無關(guān)”程度越小D．k越大，“X與Y無關(guān)”程度越大B則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱A.8

B.9

C.14

D.19y1y2x11018x2m26在列聯(lián)表中|ad-bc|越小,說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越弱

;

|ad-bc|越大，

說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).2.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1

，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為C解析由10×26≈18m

，解得m

≈14.4

，所以當(dāng)m

＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱.XY合計(jì)Y

=0Y=1X

=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb

+dn

=a+b

+c+d因?yàn)閨ad－bc|的值越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大，故選A.3.在2×2列聯(lián)表中，兩個(gè)比值相差越大

，

兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大

，那么這兩個(gè)比值為√4.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得如下列聯(lián)表：

男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)60501100.0500.0100.001k3.8416.63510.828由算得，附表：

參照附表，得到的正確結(jié)論是()A有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”A5.“初中數(shù)學(xué)靠練，高中數(shù)學(xué)靠悟”.總結(jié)反思自己已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分，為了了解總結(jié)反思對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響，某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生，抽到不善于總結(jié)反思的學(xué)生概率是0.6.（1）完成2×2列聯(lián)表；（2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與善于總結(jié)反思有關(guān).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

不善于總結(jié)反思善于總結(jié)反思合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀40

學(xué)習(xí)成績一般

20

合計(jì)

200120808060100100所以有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與善于總結(jié)反思有關(guān).6.江蘇省將對入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)施高考綜合改革，不分文理科，實(shí)行新的學(xué)業(yè)水平考試制度．某校為研究高一學(xué)生選修物理與性別是否有關(guān)，隨機(jī)選取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：

男生女生總計(jì)選修物理363268不選修物理161632總計(jì)5248100（1）分析能否有90%的把握認(rèn)為性別與是否選修物理有關(guān)？解：（1）計(jì)算得所以沒有90%的把握認(rèn)為性別與是否選修物理有關(guān).附：（2）從選取的100名學(xué)生中任取一名，求該同學(xué)選修物理的概率；

男生女生總計(jì)選修物理363268不選修物理161632總計(jì)5248100解：由題知，樣本中的100名學(xué)生選修物理的有68名，故從選取的100名學(xué)生中任取一名，求該同學(xué)選修物理的概率為（3）將上述調(diào)查所得頻率視為概率，現(xiàn)從該校（該校高一學(xué)生很多）所有高一女生中隨機(jī)抽3人，記被抽取的女生中選修物理的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

所以X的分布列為：所以E(X)=np=2.7.2021年2月11日20:00整，中央電視臺辛丑牛年春節(jié)聯(lián)歡晚會隆重舉行.晚會中，華美的舞臺令觀眾沉醉，震撼的科技讓酷炫盡顯，飽含深情的歌曲、充滿感染力的舞蹈、笑中有思的相聲小品等一個(gè)個(gè)節(jié)目將過去一年來我國取得的舉世成就生動，形象、深刻地呈現(xiàn)出來，描繪出逐夢中國的萬千氣象，攜著吉祥的祝福與全國人民一同邁入新的春天.為了了解電視觀眾對晚會的整體評價(jià)，某調(diào)查機(jī)構(gòu)通過不同途徑調(diào)查了大量完整收看了春晚節(jié)目的電視觀眾的評分(滿分100分)，并對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，制作了如圖的頻率分布直方圖:（1）試估算春晚評分的平均值；解：根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得估計(jì)春晚評分的平均值為：

45歲以下45歲以上合計(jì)滿意

不滿意

合計(jì)

（2）假設(shè)評分在60分以上的，則認(rèn)為觀眾對春晚是滿意的；不足60分，則認(rèn)為觀眾對春晚是不滿意的.研究者從樣本中抽取了年齡在45歲以上和45歲以下的觀眾各100名，發(fā)現(xiàn)年齡在45歲以上的100名的觀眾中滿意的有60人，年齡在45歲以下的觀眾中滿意的有35人，請結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，完成下列列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾的滿意度與年齡分布有關(guān)?附：解：根據(jù)題意，可得2×2列聯(lián)表為

45歲以下45歲以上合計(jì)滿意356095不滿意65

40

105合計(jì)100

100

200所以有99.9%的把握認(rèn)為觀眾的滿意度與年齡分布有關(guān)．（3）由問題（2），現(xiàn)從45歲以上的觀眾中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，并從這10人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參與獎勵(lì)，設(shè)獲得參與獎勵(lì)的不滿意的觀眾人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：根據(jù)分層抽樣，可知抽取的10人中，滿意的觀眾有（人）不滿意的觀眾有（人）則X的所有可能取值為0，1，2，3，所以隨機(jī)變量X的分布列為：所以8.在最新公布的廣東新高考方案中，“3+1+2”模式要求學(xué)生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地，高校在招生時(shí)可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查，用數(shù)字1～6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：（1）雙超中學(xué)規(guī)定：每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班（當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，允許這門科目的1位老師只教1個(gè)班）.已知雙超中學(xué)高一年級現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人，用樣本估計(jì)總體，則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整？如果需要調(diào)整，各需增加或減少多少人？解：經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樣本40人中，選修化學(xué)、生物的人數(shù)分別為24，11，則可估計(jì)高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為720，330．根據(jù)每個(gè)選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15，7．現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人，根據(jù)每位教師執(zhí)教2個(gè)選修班，當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，允許這門科目的一位教師執(zhí)教一個(gè)班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學(xué)科目不需要調(diào)整．（2）請創(chuàng)建列聯(lián)表，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識進(jìn)