1第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布第1頁2統(tǒng)計(jì)物理:關(guān)于熱現(xiàn)象微觀理論。

研究對象:大量微觀粒子組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。

(微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等)統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為:宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)集體表現(xiàn)。宏觀物理量是對應(yīng)微觀物理量統(tǒng)計(jì)平均值。經(jīng)典統(tǒng)計(jì):粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)典描述)量子統(tǒng)計(jì):粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述)在一定條件下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是一個(gè)極好近似。

本章內(nèi)容:經(jīng)典描述;量子描述;三種分布函數(shù)及對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)。第2頁3§6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)典描述

恪守經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律粒子，稱為經(jīng)典粒子。

1.含有“顆粒性”：有一定質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。

2.軌道運(yùn)動(dòng)：滿足牛頓定律.給定初時(shí)刻、，可確定其運(yùn)動(dòng)軌跡(確定性描述)。經(jīng)典粒子能夠被“跟蹤”。

3.能夠分辨：經(jīng)典全同粒子能夠分辨。含有完全相同屬性（質(zhì)量、電荷、自旋等）同類粒子稱為全同粒子。

4.能量是連續(xù)：按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，在允許能量范圍內(nèi)，粒子能量可取任何值。第3頁4一μ空間（相空間）：粒子位置和動(dòng)量組成空間

經(jīng)典力學(xué):確定一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用和。

自由度

r=1（曲線上運(yùn)動(dòng)):x

和px描述其狀態(tài)；

r=3（3D空間中運(yùn)動(dòng)):x,y,z

和px,py,pz

描述狀態(tài)。

若粒子有內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則r更大。如雙原子分子

,φ,p

,pφ

普通地，設(shè)粒子自由度為r，

其力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子r個(gè)廣義坐標(biāo)q1、q2、…qr和對應(yīng)r個(gè)廣義動(dòng)量p1、p2、…pr共2r個(gè)量值確定。粒子能量ε：

ε=ε(q1、q2、…qr

，p1、p2、…pr

)。

總之，微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)典描述是采取粒子坐標(biāo)和動(dòng)量共同描述方法。第4頁5

用單粒子廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量

q1,q2,…qr,p1,p2,…pr

為直角坐標(biāo)組成2r維空間,稱為粒子相空間(即μ空間).

比如：單原子分子r=3，μ空間是6維。

剛性雙原子分子r=5，μ空間是10維。

粒子在某時(shí)刻力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(q1、…pr)可用μ空間中一個(gè)點(diǎn)表示，稱為粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)。（1）代表點(diǎn):粒子一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，（2）相軌道:粒子狀態(tài)改變,代表點(diǎn)在μ空間中移動(dòng)。（3）N粒子系統(tǒng),需N個(gè)代表點(diǎn)描述系統(tǒng)一個(gè)微觀狀態(tài).

（4）體積元：各軸上截取dq1,dq2,…,dqr

,dp1,dp2,…,dpr,則圍成μ空間中體積元：

d

=dq1dq2…dqr

·dp1dp2…dpr第5頁6二經(jīng)典描述方法例子

1自由粒子

不受外力作用粒子（如理想氣體分子、金屬自由電子等），其能量①1D自由粒子:限制在長L范圍內(nèi)(線狀材料等)；相互正交x、px軸組成2Dμ空間。相軌道“——”等能面是一條直線.②3D自由粒子：r=3,設(shè)粒子處于體積V中。狀態(tài)由x、y、z、px、py、pz確定，μ空間是6維。粒子能量ε=(px2+py2+pz2)/2m動(dòng)量子空間半徑第6頁7等能面（在動(dòng)量子空間中）是半徑為球面。相空間體積（動(dòng)量小于p時(shí)）第7頁第8頁第9頁第10頁第11頁12

自由度為1,某時(shí)刻粒子狀態(tài)為（x,px）。μ空間為二維。若給定振子能量ε,運(yùn)動(dòng)軌跡由以下方程確定：2線性諧振子

質(zhì)量為m粒子在力f=-kx

作用下一維簡諧振動(dòng)（如雙原子分子;晶體中格點(diǎn)上原子、離子等）。兩個(gè)半軸長度第12頁13即相空間中等能面為橢圓。其面積為能量不一樣橢圓也不相同。第13頁14描述質(zhì)點(diǎn)位置考慮r不變：與共軛動(dòng)量質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(設(shè)半徑不變),3轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)能量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

第14頁15兩體或多體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子廣義動(dòng)量pθ和pφ是轉(zhuǎn)子角動(dòng)量兩個(gè)分量。pφ是沿Z軸分量，Pθ是沿變軸分量，這個(gè)變軸垂直于Z軸和OA所在平面。因?yàn)槲皇竢垂直于角動(dòng)量L，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是在垂直于L平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。A第15頁16兩體或多體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子角動(dòng)量沿Z軸，質(zhì)點(diǎn)在X,Y平面上，平面轉(zhuǎn)子：

多體能量為第16頁17一粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述１波粒二象性德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都含有波粒二象性(中子衍射)。

、p與ω

、k存在德布羅意關(guān)系

h—普朗克常數(shù)，它量綱是

[時(shí)間]·[能量]=[長度]·[動(dòng)量]=[角動(dòng)量]２不確定關(guān)系(測不準(zhǔn)原理)

微觀粒子坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)含有確定值。用Δq表示粒子坐標(biāo)不確定值,Δp表示動(dòng)量不確定值,

§6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述第17頁18電子軌道——電子出現(xiàn)概率最大地方。４狀態(tài)分立性

量子力學(xué)中，微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。它由一組量子數(shù)來表征，其數(shù)目等于粒子自由度數(shù)。狀態(tài)所對應(yīng)力學(xué)量(如能量

等)不連續(xù)——狀態(tài)量子化。5全同性原理全同粒子不可分辨，任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài).３波函數(shù)描寫態(tài)微觀粒子和不能同時(shí)含有確定值——不是軌道運(yùn)動(dòng)。用波函數(shù)描述狀態(tài)：表示t時(shí)刻處粒子出現(xiàn)概率密度。第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁二量子描述例子（一）.線性諧振子能量本征值為（二）.轉(zhuǎn)子軌道角動(dòng)量本征值經(jīng)典轉(zhuǎn)子能量對于給定l，角動(dòng)量在Z軸投影Lz只能取分立值自旋角動(dòng)量情況與軌道角動(dòng)量類似。本征函數(shù)為厄米多項(xiàng)式。本征函數(shù)為球諧函數(shù)，勒讓德多項(xiàng)式。第25頁26１外場中電子自旋

電子自旋產(chǎn)生磁矩而所以（自旋方向取向量子化）即外場中電子自旋狀態(tài)只需要一個(gè)量子數(shù)即可描寫其狀態(tài)，它取兩個(gè)分立值沿磁場方向?yàn)樽孕莿?dòng)量第26頁272自由粒子

（1）一維自由粒子：自由運(yùn)動(dòng)粒子被限制在邊長為L一維容器中。波函數(shù)要滿足一定邊界條件，采取周期性條件，即由所以即動(dòng)量只能取分立值。負(fù)號(hào)表示反向傳輸量子數(shù)正號(hào)表示正向傳輸?shù)?7頁28能量

能量也是分立。表明：①用一個(gè)量子數(shù)就能夠確定粒子動(dòng)量、能量。②粒子狀態(tài)是分立——能級。③各能級簡并性：nx=±1是不一樣狀態(tài)——簡并。④能級間隔大小與L、m成反比，

顯然,若L

∞時(shí)，

0，即能量此時(shí)是連續(xù)。故粒子在宏觀尺度上量子效應(yīng)不顯著，可用經(jīng)典方法描述。第28頁29（2）三維自由粒子：

設(shè)自由粒子在邊長為L方盒子中運(yùn)動(dòng)。粒子運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程。由周期性邊界條件得量子態(tài)即由三個(gè)量子數(shù)來確定。狀態(tài)是量子化。對于一定能量ε

，可包含多個(gè)量子態(tài)——能級簡并。簡并性討論：第29頁30

經(jīng)典粒子動(dòng)量和能量是連續(xù),而在量子描述中,動(dòng)量和能量是分立,這是局域在有限空間范圍粒子特征。六狀態(tài)能量同為3線性諧振子

用一個(gè)量子數(shù)n描述狀態(tài)；各能級都是非簡并，即每個(gè)能級只有一個(gè)量子態(tài)；能級間隔相同：；存在零點(diǎn)能，即n=0時(shí)能量非零。第30頁31三、粒子狀態(tài)與

空間體積元對應(yīng)關(guān)系

空間中體積元為:

d=dq1·dq2…dqr·dp1·dp2…dpr

如：1D：相體積若對坐標(biāo)不加限制，則成為3D：相體積若對坐標(biāo)不加限制，則成為第31頁32由有故在V

中，粒子動(dòng)量在間隔，范圍內(nèi)量子態(tài)數(shù)為

在宏觀大小容器內(nèi)，粒子動(dòng)量、能量已變得準(zhǔn)連續(xù)。但標(biāo)準(zhǔn)上仍有量子數(shù)概念。這時(shí)怎樣考慮自由粒子量子態(tài)數(shù)？第32頁33利用不確定關(guān)系解釋相格：表示粒子一個(gè)狀態(tài)在

空間中占有體積。則上式可了解為：相體積Vdpxdpydpz內(nèi)含有量子態(tài)數(shù)為相體積Vdpxdpydpz比上相格。在

空間體積元d

內(nèi)粒子可能狀態(tài)數(shù)為第33頁34由，量子化軌道把

空間分成許多體積元，例1

一維自由粒子

空間是二維，

一定時(shí)，相軌道是一條線段。

驗(yàn)證了上面結(jié)論。其體積為例2

線性諧振子

空間等能面是橢圓，面積為

能級為，相鄰兩個(gè)狀態(tài)之間所夾面積為第34頁35推廣之：粒子一個(gè)狀態(tài)在

空間中占有體積為相格四.三維自由粒子態(tài)密度1D：相體積dxdpx,若對坐標(biāo)不限制，相體積Ldpx

其中狀態(tài)數(shù)3D：

空間為6維,相格大小為h3,下面分幾個(gè)情況討論.1直角坐標(biāo)組成體積元內(nèi)粒子狀態(tài)數(shù)為第35頁363若動(dòng)量空間中采取球坐標(biāo)，

在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p+dp,動(dòng)量方向在

到

+d

，φ

到φ

+dφ內(nèi)，自由粒子可能狀態(tài)數(shù)為：2若對坐標(biāo)不加限制,內(nèi)狀態(tài)數(shù)為則在V

中,動(dòng)量范圍描述質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量則動(dòng)量空間體積元：qjp第36頁374若對動(dòng)量方向不加限制，則在體積V

內(nèi)，動(dòng)量絕對值在p到p+dp范圍內(nèi)，自由粒子可能狀態(tài)數(shù)為：5以能量形式表示第37頁38D(

)表示

附近單位能量間隔內(nèi)狀態(tài)數(shù),稱為態(tài)密度。以上計(jì)算沒有考慮粒子自旋，假如粒子自旋不等于零，還要考慮自旋貢獻(xiàn)。表示：在V內(nèi)，在

到

+d

范圍內(nèi)自由粒子可能狀態(tài)數(shù)。定義：P188習(xí)題6.1第38頁有限大小體積內(nèi)態(tài)密度:BalianandBloch:Ann.Phys.60,401-447(1970)qjp第39頁40§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述

全同粒子系統(tǒng)

就是由含有完全相同屬性（相同質(zhì)量、自旋、電荷等）同類粒子所組成系統(tǒng)。如自由電子氣體。

近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間相互作用很弱，相互作用平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子平均能量，因而能夠忽略粒子之間相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)能量表示為單個(gè)粒子能量之和。(如理想氣體：近獨(dú)立粒子組成系統(tǒng))一基本概念第40頁41任一粒子狀態(tài)發(fā)生改變,則整個(gè)系統(tǒng)微觀狀態(tài)發(fā)生改變

經(jīng)典描述單粒子狀態(tài)要r個(gè)廣義坐標(biāo)和r

個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要(i=1,2,…,N)共2N

個(gè)變量來確定。在μ

空間中要用N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)某時(shí)刻一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。qi1、qi2、…qir；pi1、pi2、…pir二系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)典描述

全同粒子是能夠分辨。在全同粒子系統(tǒng)中,將兩個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換,則系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不一樣。第41頁42B)粒子狀態(tài)是分立。粒子所處狀態(tài)叫量子態(tài)(單粒子態(tài))。量子態(tài)用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx,ny,nz）.

不一樣量子態(tài)量子數(shù)取值不一樣。量子描述單粒子狀態(tài)是確定單粒子量子態(tài)，對于

N個(gè)粒子系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)。三系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述A)全同粒子是不可分辨。交換任何一對粒子不改變整個(gè)系統(tǒng)微觀狀態(tài)。但定域系粒子可辨（定域系——粒子位置被限定）第42頁431玻耳茲曼系統(tǒng)由可分辨全同近獨(dú)立粒子組成，且處于一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制系統(tǒng)。確定了每個(gè)粒子所處量子態(tài)就確定了系統(tǒng)一個(gè)微觀狀態(tài)例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子個(gè)體量子態(tài)有3個(gè),討論系統(tǒng)有那些可能微觀狀態(tài)？

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨量子態(tài)1AB

ABAB

量子態(tài)2

ABBA

AB量子態(tài)3

ABBABA所以，對于定域系統(tǒng)可有9種不一樣微觀狀態(tài)，即32。普通地為.AB123ω是量子態(tài)數(shù)，a是粒子數(shù)。第43頁442不可分辨全同粒子系統(tǒng)對于不可分辨全同粒子，必須考慮全同性原理。

確定了每個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)微觀狀態(tài)（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)粒子組成系統(tǒng).

如光子自旋為1、π

介子自旋為0。由玻色子組成復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成復(fù)合粒子也是玻色子

粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制）第44頁45（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)粒子組成系統(tǒng)

如電子、質(zhì)子、中子等都是自旋為1/2費(fèi)米子。由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成復(fù)合粒子也是費(fèi)米子。

粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。

①②③④⑤⑥量子態(tài)1AA

AA量子態(tài)2

AAAA量子態(tài)3

AA

AA上例變?yōu)?A=B)兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式第45頁46

④⑤⑥量子態(tài)1AA量子態(tài)2

AA量子態(tài)3

AA仍為A=B兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式

對于不一樣統(tǒng)計(jì)性質(zhì)系統(tǒng)，即使它們有相同粒子數(shù)、相同量子態(tài)，系統(tǒng)包含微觀狀態(tài)數(shù)也是不一樣。上例僅為兩個(gè)粒子組成系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對于大量微觀粒子組成實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量。第46頁粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)ABABABABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)AAAAAAAAAAAA費(fèi)米系統(tǒng)AAAAAA分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出微觀狀態(tài)數(shù)第47頁

（以氣體自由膨脹為例）：一個(gè)被隔板分為A、B相等兩部分容器，裝有4個(gè)涂以不一樣顏色分子。開始時(shí)，4個(gè)分子都在A部，抽出隔板后分子將向B部擴(kuò)散并在整個(gè)容器內(nèi)無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。隔板被抽出后，4分子在容器中可能分布情形以下列圖所表示：§6.4等概率原理

宏觀態(tài)與微觀態(tài)第48頁分布（宏觀態(tài)）詳細(xì)分布（微觀態(tài)）14641微觀態(tài)共有24=16種可能方式，而且4個(gè)分子全部退回到A部可能性即幾率為1/24=1/16。第49頁50宏觀態(tài)與微觀態(tài)關(guān)系：宏觀態(tài)：系統(tǒng)熱力學(xué)狀態(tài)。用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)力學(xué)狀態(tài)。確定方法：①可分辨全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))；②不可分辨全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系)

確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率就能用統(tǒng)計(jì)方法求出微觀量統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出對應(yīng)宏觀物理量，所以確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本問題。

宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)集體表現(xiàn)；宏觀物理量是對應(yīng)微觀物理量統(tǒng)計(jì)平均值。第50頁51

對于孤立系統(tǒng),會(huì)出現(xiàn)大量微觀狀態(tài)。這些微觀狀態(tài)都滿足含有確定N、E、V宏觀條件。從能量上講這些微觀狀態(tài)應(yīng)是平權(quán)。

等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)理論基礎(chǔ)。不能直接從試驗(yàn)上驗(yàn)證。它正確性在于從它推出各種結(jié)論上正確性。例①靜止容器中平衡態(tài)氣體——平動(dòng)動(dòng)能為零；②重力場中平衡態(tài)氣體——壓強(qiáng)按高度分布。

二.等概率原理：擲色子對于處于平衡狀態(tài)孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是相等！第51頁52§6.5分布和微觀狀態(tài)大量全同近獨(dú)立粒子組成系統(tǒng)，有確定N,E,V(孤立系)。一、分布若確定了各能級上粒子數(shù)，則確定了系統(tǒng)一個(gè)分布。簡并度粒子數(shù)N粒子系統(tǒng)能級即：能級

1上有a1個(gè)粒子，能級

2上有a2個(gè)粒子，……。這就給出一個(gè)分布，即數(shù)列{al}…………滿足約束條件

第52頁53

分布只表示每一個(gè)能級上有多少個(gè)粒子。一個(gè)分布包含大量微觀狀態(tài)。每一個(gè)不一樣占據(jù)方式都是不一樣微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對一個(gè)確定分布，它對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)是確定。二、分布{al}包含微觀狀態(tài)數(shù)（量子描述）1玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))：粒子能夠分辨(可編號(hào))，每個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不限。

(1)al個(gè)粒子占據(jù)

l上ωl個(gè)量子態(tài)占據(jù)方式數(shù):(2)各個(gè)能級都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總占據(jù)方式數(shù):(3)因?yàn)榱Ｗ涌煞直妫芗壷g粒子交換是新占據(jù)方式），能級之間粒子交換有種不一樣交換方式。（未改變分布）第53頁54例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級，

1=3，

2=4給定分布：a1=4,a2=2(4)系統(tǒng)分布{al}包含總微觀狀態(tài)數(shù)為能級之間粒子交換方式數(shù)目為第54頁552玻色系統(tǒng)分布{al

}包含微觀狀態(tài)數(shù)

粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制。(1)al個(gè)粒子占據(jù)能級

l上

l個(gè)量子態(tài)占據(jù)方式數(shù)：用表示量子態(tài)，表示粒子。比如：要求：粒子占據(jù)左邊量子態(tài)?！?/p>

這么就確定了每個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)，即確定了一個(gè)占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。改變排列，可得到新占據(jù)方式。第55頁56………………▲粒子和量子態(tài)之間交換會(huì)產(chǎn)生新占據(jù)方式：▲量子態(tài)和量子態(tài)之間交換不產(chǎn)生新占據(jù)方式：▲顯然，粒子和粒子之間交換不會(huì)產(chǎn)生新占據(jù)方式。

其中粒子與粒子交換、量子態(tài)與量子態(tài)交換不產(chǎn)生新微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換造成不一樣微觀態(tài)。量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數(shù)第56頁57量子態(tài)交換數(shù)粒子交換數(shù)各種交換共有種可能方式。（2）將各種能級結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布{al}對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)為：例：三個(gè)量子態(tài)，2個(gè)玻色子第57頁58

粒子不可分辨，每一個(gè)量子態(tài)最多能容納一個(gè)粒子。al

個(gè)粒子占據(jù)能級

l上

l個(gè)量子態(tài)，占據(jù)方式數(shù)為：從

l個(gè)量子態(tài)中選取al

個(gè)量子態(tài)讓al

個(gè)粒子占據(jù)，即3費(fèi)米系統(tǒng)分布{al}包含微觀狀態(tài)數(shù)：

將各能級結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布{al

}對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)為：第58頁59三、經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)關(guān)系若滿足,稱為經(jīng)典極限條件(或非簡并性條件)此時(shí)有即在經(jīng)典極限條件下

反應(yīng)粒子全同性原理第59頁60四經(jīng)典系統(tǒng)中分布和微觀狀態(tài)數(shù)

經(jīng)典粒子狀態(tài)由q1…qr

，p1…pr值確定。N粒子系統(tǒng)對應(yīng)μ空間中N個(gè)點(diǎn)。坐標(biāo)和動(dòng)量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數(shù)。處理以下第一步：

μ空間各軸上取間隔dq1…dqr

,dp1…dpr

圍成體積元

d

=dq1dq2…dqrdp1dp2…dpr

≈h0r

若體積元很小,其內(nèi)各點(diǎn)狀態(tài)都看作相同

——相格.

即：處于同一相格內(nèi)各代表點(diǎn)狀態(tài)都相同。不一樣相格內(nèi)代表點(diǎn)狀態(tài)不一樣。每個(gè)相格就是一個(gè)狀態(tài)。在一定相體積內(nèi)包含多少相格，則此體積中就有多少個(gè)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（微觀態(tài)）。經(jīng)典力學(xué)中h0能夠任意小；量子力學(xué)中h0最小為h

。第60頁61第二步：

再把μ空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分別為Δ

1、Δ

2

、···、Δ

l、···，每層內(nèi)包含許多相格。

同一能層內(nèi)各狀態(tài)(代表點(diǎn))能量相同.（能層很?。┎灰粯幽軐又懈鼽c(diǎn)能量則不一樣。某能量層體積為Δ

l

，則此層內(nèi)包含相格數(shù)為這些相格狀態(tài)不一樣，但含有相同能量，故相當(dāng)于量子描述中簡并度。于是有分布“簡并度”粒子數(shù)能級給定了一個(gè)分布{al}

第61頁62得到所以經(jīng)典系統(tǒng)分布{al}

對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)為可參考玻耳茲曼系統(tǒng)第62頁63§6.6玻耳茲曼分布一、玻爾茲曼分布推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）1寫出分布及對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)

微觀狀態(tài)數(shù)是分布{al

}函數(shù)，可能存在這么一個(gè)分布，它使系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)最多。依據(jù)等概率原理，對于處于平衡狀態(tài)孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是相等，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多分布，出現(xiàn)概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。玻耳茲曼系統(tǒng)粒子最概然分布——玻耳茲曼分布。

第63頁642取對數(shù)，用斯特令公式化簡

斯特林近似公式要求要求第64頁653拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零《高等數(shù)學(xué)》（下冊）第六版，同濟(jì)大學(xué)編P113第65頁66因?yàn)橄到y(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：對上兩式子做一次微分得到：

上兩式子乘以未定乘子得到：

第66頁67即稱為麥克斯韋—玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子最概然分布）。

任意，所以這里αβ物理意義見P227頁（8.1.9）式，對應(yīng)守恒量第67頁68拉氏乘子α、β

由約束條件決定：kB是玻爾茲曼常量μ是化學(xué)勢第68頁69二、粒子按量子