第44頁(yè)（共44頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）拋擲同一枚硬幣兩次，若事件A＝“至少有一次正面朝上”，則事件A=A．兩次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．兩次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上2．（2025春?秦皇島月考）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(2，13)，若隨機(jī)變量Y滿足X+Y＝1A．-23 B．-13 C．13．（2025?安徽校級(jí)學(xué)業(yè)考試）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則下列說法正確的是（）A．A與B互斥 B．A與B互為對(duì)立 C．A與B相等 D．A與B相互獨(dú)立4．（2025?唐山一模）隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），σ＞0．若P（X＜μ+σ）＝p，則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝（）A．1﹣p B．2﹣2p C．p-12 D．25．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，則兩人拋出的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為（）A．16 B．112 C．118 6．（2025春?深圳校級(jí)月考）若隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234P0.10.4a0.3則P（|X﹣1|＞1）＝（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.77．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）某學(xué)校組隊(duì)參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是（）A．14 B．13 C．12 8．（2025?寶雞校級(jí)模擬）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個(gè)節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為（）A．16 B．320 C．110 二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pm0.40.12m0.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X+1，則（）A．m＝0.1 B．P（X+Y＞7）＝0.2 C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝8.2（多選）10．（2025春?深圳校級(jí)月考）藍(lán)牙耳機(jī)是基于藍(lán)牙技術(shù)的一種小型設(shè)備，只需要把這種輕巧的設(shè)備藏在耳邊而不需要直接使用通訊設(shè)備（手機(jī)、電腦等）就可以實(shí)現(xiàn)自由通話．藍(lán)牙耳機(jī)就是將藍(lán)牙技術(shù)應(yīng)用在免持耳機(jī)上，讓使用者可以免除惱人電線的牽絆，自在地以各種方式輕松通話．自從藍(lán)牙耳機(jī)問世以來(lái)，一直是行動(dòng)商務(wù)族提升效率的好工具．假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的藍(lán)牙耳機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下：品牌甲乙其他市場(chǎng)占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率80%90%70%在該市場(chǎng)中任意買一個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，用A1，A2，A3分別表示買到的藍(lán)牙耳機(jī)為甲品牌、乙品牌其他品牌，B表示可買到的優(yōu)質(zhì)品，則下列說法正確的是（）A．P（A1∪A3）＝0.7 B．P（BA3）＝0.70 C．P（B）＝0.81 D．P（A1|B）＝0.5（多選）11．（2025春?大連月考）已知隨機(jī)事件A、B滿足：P（A）=23，P（B）A．若P(AB)=19，則B．若A與B相互獨(dú)立，則P(C．若A與B互斥，則P(D．若P(A（多選）12．（2025春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考）隨機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（0?X?2）+P（X?t）＝0.5，隨機(jī)變量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），則（）A．t＝4 B．P(2C．p=12 D．D（4三．填空題（共4小題）13．（2025?河北區(qū)一模）第十五屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行．此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬(wàn)人次，簽約金額超2800億人民幣．為慶祝這一盛會(huì)的成功舉行，珠海某商場(chǎng)決定在航展期間舉行“購(gòu)物抽獎(jiǎng)送航?！被顒?dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲﹣20S”模型．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球．每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中；若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為．14．（2025春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考）排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為23，乙隊(duì)獲勝的概率為13，則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為15．（2025春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）“石頭、剪刀、布”是我們小時(shí)候常玩的游戲，游戲規(guī)則如下：①石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭；②兩人游戲時(shí)，出相同的手勢(shì)為平局；多人游戲時(shí)都出相同的手勢(shì)或者三種手勢(shì)都出現(xiàn)為平局．現(xiàn)有n（n≥3）人玩游戲．若3人玩一輪游戲，平局的概率P（3）＝；若求n（n≥3）人玩一輪游戲，平局的概率P（n）＝．（結(jié)果用n表示）16．（2025?承德模擬）已知隨機(jī)變量Ⅹ服從正態(tài)分布N（5，σ2），且P（X≥3）＝3P（X≥7），則P（5＜X＜7）＝．四．解答題（共4小題）17．（2025?海南模擬）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人，它結(jié)合了人工智能、語(yǔ)音識(shí)別、互動(dòng)娛樂和教育等內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新，旨在通過趣味性和互動(dòng)性幫助孩子學(xué)習(xí)和發(fā)展．萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎，為了更好的服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司對(duì)萌寵機(jī)器人的某個(gè)性能指數(shù)x（0＜x≤10）與孩子的喜愛程度y（0≤y≤1）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)表：x56789y0.550.500.600.650.70（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算變量x，y的相關(guān)系數(shù)r，回答是否可以認(rèn)為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強(qiáng)．（當(dāng)|r|∈[0.75，1]時(shí)，x與y相關(guān)性很強(qiáng)）（2）機(jī)器人的交互性很強(qiáng)，孩子可以通過輸入語(yǔ)音給機(jī)器人發(fā)布執(zhí)行指令．機(jī)器人執(zhí)行命令的正確率為90%，出錯(cuò)率為10%．當(dāng)機(jī)器人正確執(zhí)行命令時(shí)，使用者滿意的概率為80%；當(dāng)機(jī)器人執(zhí)行出錯(cuò)時(shí)，使用者滿意的概率為30%．如果使用者對(duì)某次命令執(zhí)行結(jié)果表示不滿意，求機(jī)器人實(shí)際正確執(zhí)行命令的概率是多少？（3）該公司科技人員小李想挑戰(zhàn)萌寵機(jī)器人，他和機(jī)器人比賽答題，他們每人答4個(gè)題，若小李答對(duì)題數(shù)不小于3，則挑戰(zhàn)成功．已知小李答對(duì)前兩道題的概率均為p1，答對(duì)后兩道題的概率均為p2.假設(shè)每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．當(dāng)p1參考公式：相關(guān)系數(shù)r=18．（2025?二模擬）一只貓和一只老鼠在兩個(gè)房間內(nèi)游走．每經(jīng)過1分鐘，貓和老鼠都可以選擇進(jìn)行一次移動(dòng)．貓從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間的概率為0.6，留在該房間的概率為0.4；若上一分鐘貓和老鼠都在一個(gè)房間，那么下一分鐘老鼠必定移動(dòng)到另一個(gè)房間，否則老鼠從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間或留在當(dāng)前房間的概率均為0.5．已知在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間．設(shè)在第n分鐘時(shí)，貓和老鼠在0號(hào)房間的概率分別為pn，qn．（1）求第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率；（2）求證：{pn-（3）在第幾分鐘時(shí)，老鼠在0號(hào)房間的概率最大？19．（2025春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）（1）數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，數(shù)據(jù)y1，y2，?，yn的平均數(shù)為y，a，b為常數(shù)，如果滿足y1＝ax1+b，y2＝ax2+b，…，yn＝axn+b，證明：y=（2）證明：如果兩個(gè)事件A與B獨(dú)立，那么事件A與B也獨(dú)立．（3）設(shè)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的均值為a，方差為σ2，請(qǐng)利用已經(jīng)學(xué)過的方差公式：σ2=120．（2025?射陽(yáng)縣校級(jí)模擬）小明和小王兩名同學(xué)組成詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)參加市相關(guān)部門組建的猜詩(shī)詞大會(huì)，每輪挑戰(zhàn)由小明、小王各猜一句詩(shī)詞，已知小明每輪猜對(duì)的概率為45，小王每輪猜對(duì)的概率為5（1）求小明在兩輪活動(dòng)中恰好猜對(duì)1句詩(shī)詞的概率；（2）求詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3句詩(shī)詞的概率．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CCDDBBAA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACACACDABC一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）拋擲同一枚硬幣兩次，若事件A＝“至少有一次正面朝上”，則事件A=A．兩次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．兩次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上【考點(diǎn)】事件的互為對(duì)立及對(duì)立事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用對(duì)立事件的定義求解即可．【解答】解：因?yàn)槭录嗀＝“至少有一次正面朝上”，所以事件A=“兩次均反面朝上”，故C正確，ABD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?秦皇島月考）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(2，13)，若隨機(jī)變量Y滿足X+Y＝1A．-23 B．-13 C．1【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式及性質(zhì)計(jì)算得解．【解答】解：因?yàn)閄～B(2所以E（X）＝2×1因?yàn)閄+Y＝1，所以Y＝1﹣X，所以E(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望公式，考查了期望的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?安徽校級(jí)學(xué)業(yè)考試）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則下列說法正確的是（）A．A與B互斥 B．A與B互為對(duì)立 C．A與B相等 D．A與B相互獨(dú)立【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的定義判斷即可．【解答】解：事件A與B能同時(shí)發(fā)生，如第一枚的點(diǎn)數(shù)2，第二枚的點(diǎn)數(shù)為1，故事件A與B既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；P(A)=3×66×6=1因?yàn)镻（A）?P（B）＝P（AB），所以A與B獨(dú)立，故選項(xiàng)D正確；事件A與B不相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互斥事件，對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?唐山一模）隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），σ＞0．若P（X＜μ+σ）＝p，則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝（）A．1﹣p B．2﹣2p C．p-12 D．2【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【解答】解：因?yàn)閄～N（μ，σ2），σ＞0且P（X＜μ+σ）＝p，所以P（X≥μ+σ）＝1﹣p，所以P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ）＝1﹣p，所以P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝1﹣P（X≤μ﹣σ）﹣P（X≥μ+σ）＝1﹣2（1﹣p）＝2p﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，則兩人拋出的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為（）A．16 B．112 C．118 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出總事件數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，最后利用古典概型概率公式求解概率即可．【解答】解：因?yàn)榧?、乙兩人各拋擲一枚骰子，所以共有6×6＝36種情況，點(diǎn)數(shù)之和為4的有（1，3），（2，2），（3，1），共3種，所以所求概率P=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025春?深圳校級(jí)月考）若隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234P0.10.4a0.3則P（|X﹣1|＞1）＝（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先求出a的值，而P（|X﹣1|＞1）＝P（X＝3）+P（X＝4），計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由X的分布列，a＝1﹣0.1﹣0.4﹣0.3＝0.2；P（|X﹣1|＞1）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝0.2+0.3＝0.5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列，涉及概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025?洮北區(qū)校級(jí)一模）某學(xué)校組隊(duì)參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是（）A．14 B．13 C．12 【考點(diǎn)】條件概率；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用條件概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件A表示“男生入選”，事件B表示“男生擔(dān)任一辯”，則P（A）=C43A44A所以P（B|A）=P故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2025?寶雞校級(jí)模擬）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個(gè)節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為（）A．16 B．320 C．110 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】通過器樂在第三個(gè)位置或第四個(gè)位置或第五個(gè)位置或第六個(gè)位置演出，確定演出順序總數(shù)，再結(jié)合古典概型概率公式即可求解．【解答】解：六個(gè)節(jié)目總的排序有A6當(dāng)器樂在第三個(gè)位置演出時(shí)，共有A2當(dāng)器樂在第四個(gè)位置演出時(shí)，共有A2當(dāng)器樂在第五個(gè)位置演出時(shí)，共有A3當(dāng)器樂在第六個(gè)位置演出時(shí)，共有A4所以共有120種不同的演出順序，則根據(jù)古典概率公式可得，P=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pm0.40.12m0.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X+1，則（）A．m＝0.1 B．P（X+Y＞7）＝0.2 C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝8.2【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)列方程來(lái)求得m，根據(jù)概率、期望、方差的知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X+1，對(duì)于A，由分布列性質(zhì)可得m+0.4+0.1+2m+0.2＝1，所以m＝0.1，故A正確；對(duì)于B，由X+Y＞7得3X+1＞7，即X＞2，所以P（X+Y＞7）＝0.2+0.2＝0.4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，又E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閅＝2X+1，所以E（Y）＝2E（X）+1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分布列的性質(zhì)以及離散型隨機(jī)變量期望，方差等知識(shí)，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?深圳校級(jí)月考）藍(lán)牙耳機(jī)是基于藍(lán)牙技術(shù)的一種小型設(shè)備，只需要把這種輕巧的設(shè)備藏在耳邊而不需要直接使用通訊設(shè)備（手機(jī)、電腦等）就可以實(shí)現(xiàn)自由通話．藍(lán)牙耳機(jī)就是將藍(lán)牙技術(shù)應(yīng)用在免持耳機(jī)上，讓使用者可以免除惱人電線的牽絆，自在地以各種方式輕松通話．自從藍(lán)牙耳機(jī)問世以來(lái)，一直是行動(dòng)商務(wù)族提升效率的好工具．假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的藍(lán)牙耳機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下：品牌甲乙其他市場(chǎng)占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率80%90%70%在該市場(chǎng)中任意買一個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，用A1，A2，A3分別表示買到的藍(lán)牙耳機(jī)為甲品牌、乙品牌其他品牌，B表示可買到的優(yōu)質(zhì)品，則下列說法正確的是（）A．P（A1∪A3）＝0.7 B．P（BA3）＝0.70 C．P（B）＝0.81 D．P（A1|B）＝0.5【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用互斥事件的概率加法公式與條件概率公式求解可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤．【解答】解：A1，A2，A3分別表示買到的藍(lán)牙耳機(jī)為甲品牌、乙品牌其他品牌，B表示可買到的優(yōu)質(zhì)品，則P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.2，因?yàn)锳1與A3互斥，所以P（A1∪A3）＝0.5+0.2＝0.7，故A正確；P（BA3）＝P（A3）P（B|A3）＝0.2×0.7＝0.14，故B錯(cuò)誤；P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.5×0.8+0.3×0.9+0.2×0.7＝0.81，故C正確；P(A1故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率的求解，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2025春?大連月考）已知隨機(jī)事件A、B滿足：P（A）=23，P（B）A．若P(AB)=19，則B．若A與B相互獨(dú)立，則P(C．若A與B互斥，則P(D．若P(A【考點(diǎn)】求解條件概率；互斥事件的概率加法公式；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式可得A正確，B錯(cuò)誤；由互斥事件的加法公式可得C正確；由全概率公式可得D正確．【解答】解：隨機(jī)事件A、B滿足：P（A）=23，P（B）P(AB)=19=P對(duì)于B，若A與B相互獨(dú)立，則A與B也相互獨(dú)立，則P(AB)=1-對(duì)于C，若A與B互斥，則P（AB）＝0，P(B)=對(duì)于D，由全概率公式可得P(所以16=1故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求解，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考）隨機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（0?X?2）+P（X?t）＝0.5，隨機(jī)變量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），則（）A．t＝4 B．P(2C．p=12 D．D（4【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可得．【解答】解：對(duì)于A，∵X～N（2，σ2），則P（0?X?2）+P（X≤0）＝0.5，∵P（X≤0）＝P（X?4），又P（0?X?2）+P（X?t）＝0.5，∴t＝4，故A正確；對(duì)于C，∵E（X）＝2，∴E（Y）＝E（X）＝2，∵Y～B（4，p），∴E（Y）＝4p＝2，∴p=12對(duì)于B，∵Y～B(4，1對(duì)于D，∵D(Y)=4×12×(1-12)=1，∴D（4Y故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025?河北區(qū)一模）第十五屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行．此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬(wàn)人次，簽約金額超2800億人民幣．為慶祝這一盛會(huì)的成功舉行，珠海某商場(chǎng)決定在航展期間舉行“購(gòu)物抽獎(jiǎng)送航?！被顒?dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲﹣20S”模型．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球．每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中；若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為949；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為25【考點(diǎn)】條件概率；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】949；2【分析】利用古典概型的概率公式和獨(dú)立事件的概率公式求解第一空；利用條件概率公式求解第二空．【解答】解：由題意可知，某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為P=C設(shè)事件A表示“顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)”，事件B表示“第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”，則P（A）=C31?C41所以P（B|A）=P即該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為25故答案為：949；2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率公式，屬于中檔題．14．（2025春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考）排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為23，乙隊(duì)獲勝的概率為13，則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為1781【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】1781【分析】乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3：0或3：1或3：2的比分獲勝．然后分別求出各種情況的概率，由互斥事件概率的加法公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3：0或3：1或3：2的比分獲勝．若乙隊(duì)以3：0獲勝，即乙隊(duì)三場(chǎng)全勝，其概率P1＝（13）3=若乙隊(duì)以3：1獲勝，即乙隊(duì)前三場(chǎng)兩勝一負(fù)，第四場(chǎng)獲勝，其概率P2=C32（1-13）（乙隊(duì)以3：2獲勝，即乙隊(duì)前四場(chǎng)兩勝兩負(fù)，第五場(chǎng)獲勝，其概率P3=C42（1-13）2（所以，在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率P＝P1+P2+P3=1故答案為：1781【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件的概率計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）“石頭、剪刀、布”是我們小時(shí)候常玩的游戲，游戲規(guī)則如下：①石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭；②兩人游戲時(shí)，出相同的手勢(shì)為平局；多人游戲時(shí)都出相同的手勢(shì)或者三種手勢(shì)都出現(xiàn)為平局．現(xiàn)有n（n≥3）人玩游戲．若3人玩一輪游戲，平局的概率P（3）＝13；若求n（n≥3）人玩一輪游戲，平局的概率P（n）＝1-2n-【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】①13；②1【分析】應(yīng)用古典概型公式計(jì)算可得第一空；應(yīng)用古典概型及對(duì)立事件概率公式計(jì)算可得第二空．【解答】解：用坐標(biāo)（x，y，z）表示三人出的手勢(shì)順序，則三人所有可能手勢(shì)情況有：（布，布，布），（石頭，石頭，布），（石頭，布，石頭，），（布，石頭，石頭），（石頭，石頭，剪刀），（石頭，剪刀，石頭，），（剪刀，石頭，石頭），（布，布，石頭），（石頭，剪刀，布），（石頭，布，剪刀），（剪刀，石頭，布），（剪刀，布，石頭），（布，石頭，剪刀），（布，剪刀，石頭），（石頭，石頭，石頭），（剪刀，剪刀，剪刀），（布，石頭，布），（石頭，布，布），（剪刀，布，布），（布，剪刀，布），（布，布，剪刀），（剪刀，剪刀，布），（剪刀，布，剪刀），（布，剪刀，剪刀），（石頭，剪刀，剪刀），（剪刀，石頭，剪刀），（剪刀，剪刀，石頭），共27種，其中平局的情況有：（石頭，剪刀，布），（石頭，布，剪刀），（剪刀，石頭，布），（剪刀，布，石頭），（布，石頭，剪刀），（布，剪刀，石頭），（石頭，石頭，石頭），（剪刀，剪刀，剪刀），（布，布，布），共有9種，所以平局的概率P(3)=由于平局的情況比較多，我們可以考慮n（n≥3）人玩游戲分出勝負(fù)的概率P1，P1=C其中C3即n人只出了①石頭，剪刀；②石頭，布；③剪刀，布，此時(shí)分勝負(fù)，而分出勝負(fù)與平局是對(duì)立事件，故P=1故答案為：①13；②1【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及對(duì)立事件概率相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．16．（2025?承德模擬）已知隨機(jī)變量Ⅹ服從正態(tài)分布N（5，σ2），且P（X≥3）＝3P（X≥7），則P（5＜X＜7）＝14【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】14【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量Ⅹ服從正態(tài)分布N（5，σ2），設(shè)P（5＜X＜7）＝x，則P(X≥又由P（X≥3）＝3P（X≥7），則12解得x=14故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)和應(yīng)用，注意正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025?海南模擬）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人，它結(jié)合了人工智能、語(yǔ)音識(shí)別、互動(dòng)娛樂和教育等內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新，旨在通過趣味性和互動(dòng)性幫助孩子學(xué)習(xí)和發(fā)展．萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎，為了更好的服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司對(duì)萌寵機(jī)器人的某個(gè)性能指數(shù)x（0＜x≤10）與孩子的喜愛程度y（0≤y≤1）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)表：x56789y0.550.500.600.650.70（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算變量x，y的相關(guān)系數(shù)r，回答是否可以認(rèn)為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強(qiáng)．（當(dāng)|r|∈[0.75，1]時(shí)，x與y相關(guān)性很強(qiáng)）（2）機(jī)器人的交互性很強(qiáng)，孩子可以通過輸入語(yǔ)音給機(jī)器人發(fā)布執(zhí)行指令．機(jī)器人執(zhí)行命令的正確率為90%，出錯(cuò)率為10%．當(dāng)機(jī)器人正確執(zhí)行命令時(shí)，使用者滿意的概率為80%；當(dāng)機(jī)器人執(zhí)行出錯(cuò)時(shí)，使用者滿意的概率為30%．如果使用者對(duì)某次命令執(zhí)行結(jié)果表示不滿意，求機(jī)器人實(shí)際正確執(zhí)行命令的概率是多少？（3）該公司科技人員小李想挑戰(zhàn)萌寵機(jī)器人，他和機(jī)器人比賽答題，他們每人答4個(gè)題，若小李答對(duì)題數(shù)不小于3，則挑戰(zhàn)成功．已知小李答對(duì)前兩道題的概率均為p1，答對(duì)后兩道題的概率均為p2.假設(shè)每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．當(dāng)p1參考公式：相關(guān)系數(shù)r=【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）r＝0.9，可以認(rèn)為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強(qiáng)；（2）0.72；（3）34【分析】（1）根據(jù)公式求出r的值，進(jìn)而判斷即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式求解；（3）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）由表知，x=5+6+7+8+95所以i=15(xi-x)(yi-y)=（﹣2）×（﹣0.05）+（﹣因?yàn)閕=15(x所以i=15所以r=i=1因?yàn)閨r|∈[0.75，1]，所以可以認(rèn)為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強(qiáng)；（2）記事件A：機(jī)器人正確執(zhí)行命令，則事件A：機(jī)器人執(zhí)行命令出錯(cuò)；事件B：使用者對(duì)結(jié)果滿意，則B表示使用者不滿意，依題意：P（A）＝0.9，P（A）＝0.1，P（B|A）＝1﹣0.8＝0.2，P(所以P(所以P(即如果使用者對(duì)某次命令執(zhí)行結(jié)果表示不滿意，機(jī)器人實(shí)際正確執(zhí)行命令的概率是0.72；（3）設(shè)小李挑戰(zhàn)成功為事件C，則P（C）=p12p22+2p1(1-p1)p22+2p12p2(1-p2)=p1p2[p1p2+2（1﹣p1）p2+2p1由p1+p2=32，得P（C）＝p1p2（3﹣3p1p2）＝3p1p2（令x=p1p2=p1(32-p1)，因?yàn)?所以x∈設(shè)f（x）＝3x（1﹣x），則f(當(dāng)x=12時(shí)，f（x所以，當(dāng)p1=12或p1＝【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和性質(zhì)，考查了全概率公式和條件概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2025?二模擬）一只貓和一只老鼠在兩個(gè)房間內(nèi)游走．每經(jīng)過1分鐘，貓和老鼠都可以選擇進(jìn)行一次移動(dòng)．貓從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間的概率為0.6，留在該房間的概率為0.4；若上一分鐘貓和老鼠都在一個(gè)房間，那么下一分鐘老鼠必定移動(dòng)到另一個(gè)房間，否則老鼠從當(dāng)前房間移動(dòng)到另一房間或留在當(dāng)前房間的概率均為0.5．已知在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間．設(shè)在第n分鐘時(shí)，貓和老鼠在0號(hào)房間的概率分別為pn，qn．（1）求第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率；（2）求證：{pn-（3）在第幾分鐘時(shí)，老鼠在0號(hào)房間的概率最大？【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）0.5；（2）證明見解析；（3）第2分鐘．【分析】（1）求出貓和老鼠分別在0與0、0與1、1與0、1與1號(hào)房間的概率，再利用全概率公式計(jì)算得解．（2）根據(jù)給定條件，求出Pn．qn的遞推關(guān)系，再利用等比數(shù)列的定義推理得證．（3）由（2）的通項(xiàng)公式，按n取奇數(shù)和偶數(shù)分類求出最大值．【解答】解：（1）在第0分鐘時(shí)，貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間，設(shè)ti，j為第1分鐘時(shí)，貓?jiān)趇號(hào)房間，老鼠在j號(hào)房間，則P（t0，0）＝0.4×0.5＝0.2，P（t0，1）＝0.4×0.5＝0.2，P（t1，0）＝0.6×0.5＝0.3，P（t1，1）＝0.6×0.5＝0.3，設(shè)第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為X，則P（X＝1）＝P（t0，1）+P（t1，0）＝0.5，所以第1分鐘時(shí)，貓和老鼠所在房間號(hào)之和為1的概率0.5．（2）證明：依題意，p0＝1，q0=0，p1=2貓?jiān)诘趎分鐘時(shí)位于0號(hào)房間包含兩種情況：上一分鐘在0號(hào)房間，繼續(xù)保持在0號(hào)房間的概率為25上一分鐘在1號(hào)房間，轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為35由全概率公式，得pn則pn-1因此數(shù)列{pn-12pn-12=(-1則pn=12(-15)n+老鼠轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為（1﹣pn﹣1）（1﹣qn﹣1），上一分鐘貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在1號(hào)房間，老鼠轉(zhuǎn)移到0號(hào)房間的概率為pn上一分鐘貓?jiān)?號(hào)房間，老鼠在0號(hào)房間，老鼠仍在0號(hào)房間的概率為qn由全概率公式，得qn則qn即qn而q1因此數(shù)列{qn-12-qn而q0＝0滿足上式也滿足題意，則qn又2q所以{q（3）由（2）知qn=12+1設(shè)an=(-15)當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)取等號(hào)，an最大值為0；當(dāng)n為偶數(shù)且n≥2時(shí)，a2當(dāng)n≥4時(shí)，an＜(12)3則qn的最大值為q2=12+【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，屬于中等題．19．（2025春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）（1）數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，數(shù)據(jù)y1，y2，?，yn的平均數(shù)為y，a，b為常數(shù)，如果滿足y1＝ax1+b，y2＝ax2+b，…，yn＝axn+b，證明：y=（2）證明：如果兩個(gè)事件A與B獨(dú)立，那么事件A與B也獨(dú)立．（3）設(shè)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的均值為a，方差為σ2，請(qǐng)利用已經(jīng)學(xué)過的方差公式：σ2=1【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；平均數(shù)；方差．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）由x1+x（2）根據(jù)A=(A∩B)∪(A∩B)和互斥事件的概率加法公式，得到P(A)=P（3）由i=1n【解答】證明：（1）由題意可知，x1+x所以y1+y2+?+yn＝（ax1+b）+（ax2+b）+?+（axn+b）＝a（x1+x2+?+xn）+nb，所以ny=a（2）因?yàn)锳=(A∩B)∪(A根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(因?yàn)閮蓚€(gè)事件A與B獨(dú)立，所以P（A∩B）＝P（A）P（B），所以P(所以事件A與B也獨(dú)立；（3）依題意，i=1所以σ2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)和方差的定義，考查了獨(dú)立事件的定義，屬于中檔題．20．（2025?射陽(yáng)縣校級(jí)模擬）小明和小王兩名同學(xué)組成詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)參加市相關(guān)部門組建的猜詩(shī)詞大會(huì)，每輪挑戰(zhàn)由小明、小王各猜一句詩(shī)詞，已知小明每輪猜對(duì)的概率為45，小王每輪猜對(duì)的概率為5（1）求小明在兩輪活動(dòng)中恰好猜對(duì)1句詩(shī)詞的概率；（2）求詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3句詩(shī)詞的概率．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）825（2）25【分析】（1）利用分類分步計(jì)數(shù)原理即可算出結(jié)果．（2）詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3句詩(shī)詞包括小王回答正確2句，小明回答正確1句；和小王回答正確1句，小明回答正確2句，分別計(jì)算概率再相加即可．【解答】解：（1）設(shè)A1表示小明兩輪猜對(duì)1句詩(shī)詞的事件，則P（2）設(shè)A1，A2分別表示小明兩輪猜對(duì)1句、2句詩(shī)詞的事件，B1，B2分別表示小王兩輪猜對(duì)1句、2句詩(shī)詞的事件，則P(B1P(A1設(shè)事件A＝“兩輪活動(dòng)中詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)猜對(duì)3句詩(shī)詞”，則A＝A1B2∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2，A2與B1分別相互獨(dú)立，所以P(即詩(shī)詞挑戰(zhàn)杯代表隊(duì)在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3句詩(shī)詞的概率是25【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小．分析：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．事件的互為對(duì)立及對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)立事件：事件A的對(duì)立事件是指A不發(fā)生的情況，記作A．﹣互為對(duì)立：如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，兩個(gè)事件A和B互為對(duì)立當(dāng)且僅當(dāng)A∪B=【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用對(duì)立事件的概率關(guān)系P(﹣判斷兩個(gè)事件是否互為對(duì)立，通常檢查它們的并集是否為樣本空間，交集是否為空．【命題方向】﹣主要考察對(duì)立事件的概率計(jì)算及事件的補(bǔ)集概念．3．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）4．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．5．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)（無(wú)限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ6．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．7．由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．【解題方法點(diǎn)撥】﹣判斷事件是否獨(dú)立，通過計(jì)算交事件的概率并與乘積概率進(jìn)行比較．【命題方向】﹣主要考察事件獨(dú)立性的判斷，涉及獨(dú)立事件的概率乘法公式．8．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算獨(dú)立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨(dú)立性．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察獨(dú)立事件的概率計(jì)算及獨(dú)立性證明．9．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P10．求解條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計(jì)算：P(A|B)=P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算條件概率時(shí)，確定事件B的發(fā)生對(duì)事件A的影響，通過交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計(jì)算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用問題．11．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．12．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．13．二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用二項(xiàng)分布的均值和方差公式來(lái)計(jì)算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察二項(xiàng)分布的期望和方差計(jì)算，常用于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)問題．14．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布