4.不等式

【命題分析】

（D不等式的性質(zhì)、利用基本不等式求最值、線性目標(biāo)函數(shù)的最值是考查的重點(diǎn)，通常與函

數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合；

（2）解決基本不等式問題時(shí)，常用到拼湊法、常數(shù)代換法、消元法，解決目標(biāo)函數(shù)的最值問題常

采用數(shù)形結(jié)合的方法，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；

（3）題型以選擇、填空為主，中低檔難度.

【研真題題組】

（x+y>4,

1.（2021?全國乙卷）若滿足約束條件卜-yW2,則z=3戶y的最小值為（）

（”3,

A.18B.10C.6D.4

【解析】選C.由約束條件可得可行域如圖所示，當(dāng)直線斤3代y過點(diǎn)以1,3）時(shí),z取得最小值

6.

2.（2021?全國乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.片V+2x+4

B.片|sin

|sinx|

C.片2'+22r

D?萬In*

【解析】選C.由題意可知A的最小值為3.B的最小值為5,D無最小值.

3.（2019?全國卷〃）若公力，則（）

A.lnGz-W>0B.3<3,

C.齊//〉0D.\a\>\b\

【解析】選C.當(dāng)小3,加2時(shí)，選項(xiàng)A錯(cuò).由于a>6,而產(chǎn)3、是增函數(shù)，所以393',故B錯(cuò).當(dāng)

產(chǎn)3,爐-5時(shí)，選項(xiàng)D錯(cuò).因?yàn)槭琕是增函數(shù)，故3>6,故C正確.

-2x+3y<3

4.(2023?全國甲卷)設(shè)x,y滿足約束條件kx-2y工3，設(shè)z=3x+2匕則的最大值為

%+y>1

【解析】作出可行域,如圖,

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)尸T肝;過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值，

喉瞪二可得憂或即用⑶，

所以z3=3X3+2X3=15.

答案：15

【練預(yù)測題組】

1.已知a力,。滿足。<從4且aKD,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()

A.ab>acB.c(b-a)<0

C.clf<ab~D.ac[a~c)>0

【解析】選A.由c〈伏a且ac<0,知c<0且a>0.

由b>c,得ab>ac一定成立，即A正確；

因?yàn)閏<0,b~a<0,故c(b-a)>0,故B錯(cuò)誤；

若加。時(shí)，顯然不滿足。欣",故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閍c<0,a-c〉0,故ac(a-c)<0,故D錯(cuò)誤.

2.設(shè)正實(shí)數(shù)創(chuàng)〃滿足研爐2,則下列說法正確的是()

A.工+工的最小值為1

mn

B.陽的最大值為1

C.訴i+傷的最大值為4

D.的最小值為三

4

【解析】選B.因?yàn)榱?,/?>0,研/尸2,

所以2+LJ■（加）■〃）（―-+—）=-（2+—+—）（2+2戶?出）=2,當(dāng)且僅當(dāng)巴佇，即爐爐1時(shí)等號成立,

mn2mn2mn2yjmnmn

故A錯(cuò)誤；

因?yàn)棰?/k222訴府,所以加〃W1,當(dāng)且僅當(dāng)/ZF/F1時(shí)，等號成立，故B正確；

因?yàn)椋?biāo)+迎）一<2［（標(biāo)）'+（gi）2］=4,所以標(biāo)+SiW2,當(dāng)且僅當(dāng)〃尸爐1時(shí)等號成立，最大值為

2,故C錯(cuò)誤；

序+〃2力絲/2,當(dāng)且僅當(dāng)獷上1時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤.

x+2y<1

3.若滿足約束條件2x4-y>-1,則不2尸3y的最小值為.

x-y<0

x+2y<1

【解析】由滿足約束條件2x+yN-l作出可行域，如圖：

x-y<0

由｛；格::，解得，（TD

由篇曾T1,解得嗎，

欣工了”解得嗚力,

將目標(biāo)函數(shù)z=2k3y化為片%:z,

（5*3

要求z的最小值，則需求直線產(chǎn)：片“在y軸上的截距的最大值.

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)加7,1）時(shí)，直線尸［尸套在y軸上的截距為最大值.

?5

此時(shí)z的最小值為2=2X（-D-3Xl=-5.

答案：-5

【加固訓(xùn)練】

1.某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，先投入本金a（a>0）元，得到的利潤是優(yōu)匕>0）元，收益率

為耨)，假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上，此機(jī)構(gòu)每次都定期追加投資彳(%>0)元，得到的利潤也

增加了X元，若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則()

A.ci^bB.aWb

C.ci>bD.a<b

【解析】選C.由題意，設(shè)定期追加了〃(〃￡N)次投資，則〃次投資后收益率為止(險(xiǎn)，若該項(xiàng)

a+nx

投資的總收益率是增加的，則絲三〉竺智，對V〃(〃￡N)成立，

a+nxa+(n-l)x

gpb4-nx_b+(n-l)x_(a-b}x

'a+nxa+(n-l)x(a+nx)[a+(n-l)x]>

由于x>0,a+/7^>0,a+(/7-l)x>0,所以a~b〉O,即a>b.

2.已知x,y￡R,滿足2'+2=4,給出下列四個(gè)結(jié)論：①戶yW2；②盯21；③2'+y<3；④4'+4'28.其

中一定成立的結(jié)論是(寫出所有成立結(jié)論的編號).

[解析J對于①,因?yàn)?'>0.2'>0.2,+2M,

所以4=2'+2>'22j2^^=2恬行,解得木j<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，等號成立，故①正確；

對于②，當(dāng)尸0,片log?3時(shí),2,+2=4成立，但犯。1不成立，故②不一定成立；

對于③，當(dāng)尸工時(shí)，由2斗2':4得，2=4_企，則2斗尸3二4一或+工一3二?一企>0,即2'+y>3,故③不一定

222

成立；

對于④，將2'+2'=4兩邊平方得444'+25=16,所以4*+4'=16-2切，由①可知，此性2,即戶產(chǎn)1

W3,

所以2號〈228,即16-25216-8=8,

所以4、+4,28,當(dāng)且僅當(dāng)尸尸1時(shí)，等號成立，故④一定成立.

答案:①④

【通解題技法】

求目標(biāo)函