2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市東北高考數(shù)學(xué)模擬試題（二模）一、單選題1．若M，N是U的非空子集，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)集合的交集結(jié)果可得集合的包含關(guān)系即可一一判斷.【詳解】因為，所以，A正確，B錯誤；因為M，N是U的非空子集，所以，，C,D錯誤，故選:A.2．已知，且為實數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【正確答案】A【分析】先通過復(fù)數(shù)運算化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件建立a的方程求解【詳解】因為為實數(shù)，所以.故選：A3．石碾子是我國電氣化以前的重要糧食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脫殼或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如圖，石碾子主要由碾盤、碾滾和碾架等組成，一個直徑為60cm的圓柱形碾滾的最外側(cè)與碾柱的距離為100cm，碾滾最外側(cè)正上方為點，若人推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動一周，則點距碾盤的垂直距離約為（

）A．15cm B．cmC．cm D．45cm【正確答案】A【分析】根據(jù)題意求出人推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動一周，點所轉(zhuǎn)過的角度進而確定點所在位置，利用角度和半徑即可求出點到碾盤的垂直距離.【詳解】由題意碾滾最外側(cè)滾過的距離為，碾滾的周長為，所以碾滾滾過圈，即滾過了，所以點距碾盤的垂直距離為.故選：A.4．在中，是的外心，若，則（

）A． B．3 C．6 D．6【正確答案】C【分析】取中點H，連接，由已知及正弦定理可求，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算求解即可．【詳解】如圖，取中點H，連接，則，，所以，在中，，，由正弦定理得，所以，所以，故選：C．5．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【正確答案】C【分析】化簡已知式可得，因為，由基本不等式求解即可.【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.6．“m=0是“直線與直線之間的距離為2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)平行線間的距離公式可得或，進而根據(jù)充分與不必要條件的定義判斷即可.【詳解】兩條平行線間的距離，即，解得或，即“”是“兩直線間距離為2”的充分不必要條件.故選：A.7．已知點是拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點和，且，則四邊形面積的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【正確答案】B【分析】首先根據(jù)焦半徑公式表示條件，再利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示條件，可求得，再利用弦長公式表示四邊形的面積，利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，所以，即，①設(shè)直線:，聯(lián)立拋物線方程，得，得，，②，將②代入①得，所以，因為直線與垂足，則，則四邊形面積，當(dāng)時，等號成立，所以四邊形面積的最小值是8.故選：B8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，得到，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間得到，得到答案.【詳解】設(shè)，，則，，，，故，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時，恒成立，令，則，即；設(shè)，，則，又，故在上單調(diào)遞減，，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，故當(dāng)時，恒成立，令，則，即，綜上所述.故選：C關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．一批產(chǎn)品中有3個正品，2個次品.現(xiàn)從中任意取出2件產(chǎn)品，記事件：“2個產(chǎn)品中至少有一個正品”，事件：“2個產(chǎn)品中至少有一個次品”，事件：“2個產(chǎn)品中有正品也有次品”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件為互斥事件 B．事件與事件是相互獨立事件C． D．【正確答案】CD【分析】根據(jù)事件的相關(guān)概念可判斷ABC，計算出可判斷D.【詳解】因為事件與事件可以同時發(fā)生，故A錯誤；事件包含事件，所以事件與事件不是相互獨立事件，故B錯誤；因為，所以，故C正確；，故D正確；故選：CD10．在△ABC中，已知a＝2b，且，則（

）A．a(chǎn)，c，b成等比數(shù)列B．C．若a＝4，則D．A，B，C成等差數(shù)列【正確答案】ABC【分析】首先根據(jù)三角恒等變換，將已知條件化簡得，再結(jié)合條件，再依次判斷選項即可得到答案.【詳解】因為，所以，即，即.對選項A，因為，所以、、成等比數(shù)列，故A正確；對選項B，因為，，即，所以，即，故B正確；對選項C，若，則，，則，因為，所以.故，故C正確.對選項D，若、、成等差數(shù)列，則.又因為，則.因為，設(shè)，，，，則，故D錯誤.故選：ABC11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項和為B．?dāng)?shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【正確答案】CD【分析】確定得到是首項為，公差為的等差數(shù)列，得到即的通項公式，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，則，即，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，即，，.對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，正確；對選項D：，故數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；故選：CD.12．在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為線段，CD，CB上的動點（E，F(xiàn)，G均不與點C重合），則下列說法正確的是（

）A．存在點E，F(xiàn)，G，使得平面EFGB．存在點E，F(xiàn)，G，使得C．當(dāng)平面EFG時，三棱錐與C-EFG體積之和的最大值為D．記CE，CF，CG與平面EFG所成的角分別為，，，則【正確答案】ACD【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，對于A，當(dāng)時，易證得，則要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出結(jié)論；對于B，要使，只需要即可，判斷和是否相等，即可；對于C，根據(jù)平面EFG，可得的關(guān)系，由，只要求出的最大值即可；對于D，利用等體積法求出到平面的距離，分別求出，即可判斷.【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，對于A，因為平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，當(dāng)時，，此時，要使平面EFG，只需即可，，則，則，即，當(dāng)時，，故存在點E，F(xiàn)，G，使得平面EFG，故A正確；對于B，，則，要使，只需要即可，，，，則，故，因為，所以，所以，所以不存在點E，F(xiàn)，G，使得，故B錯誤；對于C，因為平面EFG，所以，，則，則，所以，要使最大，則，此時，所以體積之和的最大值為，故C正確；對于D，由B，，則，因為，所以到平面的距離滿足，所以，所以，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知一組樣本數(shù)據(jù)，且，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________；【正確答案】2.5【分析】利用平均數(shù)求得所有數(shù)據(jù)的和，代入方差公式中，結(jié)合已知可得方差.【詳解】由題意知，又====18.5-32+16=2.5.故答案為2.5.本題考查了平均數(shù)與方差的定義及利用公式求值，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且傾斜角為的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則的離心率為______.【正確答案】【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，之后與雙曲線的漸近線聯(lián)立，分別求出A，B兩點的坐標(biāo)，之后根據(jù)題中條件，得出A是的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，得出其坐標(biāo)間的關(guān)系，借助雙曲線中的關(guān)系，求得該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)直線的方程為，兩條漸近線的方程分別為和，分別聯(lián)立方程組，求得，由，為的中點得A是的中點，所以有，整理得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，可以的到，故答案為.15．已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意作出如下圖形：由圓方程求出圓心連線斜率為：，計算出圓心距，再利用外公切線的斜率為7求出圓心連線與公切線的夾角，從而在直角三角形中列方程求得，聯(lián)立方程即可求出，，問題得解．【詳解】根據(jù)題意作出如下圖形：AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.當(dāng)公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即不妨設(shè)過作AB的平行線交于點E，則：，且,直線的斜率為：，所以直線AB與直線的夾角正切為.在直角三角形中，，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，，所以=.本題主要考查了圓的公切線特點及兩直線夾角公式，還考查了解三角形知識及計算能力、方程思想，屬于中檔題．16．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是______．【正確答案】【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，確定，排除的情況，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定，，，根據(jù)零點存在定理得到答案.【詳解】，，，設(shè)，，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，單調(diào)遞增，不滿足；故，即或，當(dāng)時，在上恒成立，單調(diào)遞增，不滿足，故，現(xiàn)證明時滿足條件：設(shè)方程的兩個解為，，不妨取，，，當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；，故，，當(dāng)趨近時，趨近，當(dāng)趨近時，趨近，故在和上分別有一個零點，滿足條件.綜上所述：實數(shù)m的取值范圍是.故答案為.關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，根據(jù)的大小分類討論的取值范圍是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要靈活掌握.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且，（為常數(shù)）．(1)若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；(2)若，，數(shù)列前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系求項之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義確定，代入，解得t的值；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)等比數(shù)列定義求得，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前項和取最小值等價于項且，代入得不等式，由此解得實數(shù)t的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得，則，因為數(shù)列為等比數(shù)列，則公比為，又，所以，又，所以，解得，所以.（2）由（1）得，所以數(shù)列是從第二項起，，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列，因為數(shù)列前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，所以且，即，所以且，所以，即，所以.18．已知平面向量，，記，(1)對于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，a，b，c成等比數(shù)列，求的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）化簡得到，確定得到，，得到最值.（2）計算得到，確定，化簡得到，根據(jù)正弦定理結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)得到答案.【詳解】（1），，則，故，，恒成立，故，，當(dāng)，時，有最大值為.（2），即，，，故，，，，成等比數(shù)列，則，.19．如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)直線BP與平面所成的角正弦值為時，求點D到平面的距離．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）確定平面，平面得到平面平面，得到證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個法向量為，得到，再確定法向量，再根據(jù)距離的向量公式計算得到答案.【詳解】（1），平面，平面，故平面；同理可得：平面；，且平面，故平面平面；，故平面；（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，BP與平面所成的角正弦值為：，解得或（舍），設(shè)平面的法向量為，則，取得到，則點D到平面的距離.20．甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內(nèi)甲進行了6次測試，乙進行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測試成績?nèi)缦卤恚捍螖?shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)從甲、乙兩名同學(xué)共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；(2)從甲同學(xué)進行的6次測試中隨機選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；(3)從乙同學(xué)進行的7次測試中隨機選取3次，設(shè)Y表示這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與（2）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）【正確答案】(1)(2)的分布列為所以.(3)【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入古典概型的概率計算公式即可求解；（2）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列并計算出期望即可求解；（3）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，計算出期望與（2）中期望即可求解；【詳解】（1）由題意可知：甲、乙兩名同學(xué)共進行的13次測試中，測試成績超過90分的共4次，由古典概型的概率計算公式可得，所以從甲、乙兩名同學(xué)共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率.（2）由題意可知：從甲同學(xué)進行的6次測試中隨機選取4次，這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為1，2，3，則；；，所以的分布列為所以.（3）由題意可知：從乙同學(xué)進行的7次測試中隨機選取3次，這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則；；；；所以的分布列為所以，.21．已知橢圓的一個焦點為，其左頂點為A，上頂點為B，且到直線的距離為（O為坐標(biāo)原點）．(1)求C的方程；(2)若橢圓，則稱橢圓E為橢圓C的倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線與橢圓C，E交于四點（依次為M，N，P，Q，如圖），且，證明：點在定曲線上．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的方程．（2）分別聯(lián)立直線與橢圓、橢圓的方程消元，可證明線段、中點相同，然后結(jié)合可得，由此可證明.【詳解】（1），直線的方程為，即，到直線的距離為，，又，解得，，橢圓的方程為：．（2）橢圓的3倍相似橢圓的方程為，設(shè)，，，各點坐標(biāo)依次為，，，，，，，，將代入橢圓方程，得：，，，，，將代