高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山西省太原市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（8小題，共32分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故.故選：C.2.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則的值為（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】D【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，則，因為，所以為奇函數(shù)，所以符合題意.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由題得，，由得，，解得．故選：B.4.已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量為.故選：D．5.若，則的值是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，①又因為，則，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以．故選：．6.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個單位長度得到，然后所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點且，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，且，而三點共線，則，即，所以，所以.故選：A.8.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題錯誤的是（）A.若，則為的重心B.若為的內(nèi)心，則C.若，為的外心，則D.若為的垂心，，則【答案】C【解析】對于A：取的中點D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B：由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對于C：由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯誤；對于D：如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確．故選：C．二、多選題（多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對的得6分，部分選對的得2，3，4分，有選錯的得0分，每題有兩個或兩個以上是符合題目要求）．9.設(shè)向量，則下列說法錯誤的是（）A.若與的夾角為鈍角，則B.的最小值為9C.與共線的單位向量只有一個，為D.若，則【答案】BC【解析】A選項，與的夾角為鈍角，故且不反向共線，則且，解得且，綜上，，A正確；B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為3，B錯誤；C選項，，與共線的單位向量有2個，為，C錯誤；D選項，若，則，解得，D正確.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.命題“，都有”的否定為“，使得”B.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是C.“”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件D.不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】對于A選項，命題“，都有”的否定為“，使得”，故A正確；對于B選項，函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成，由于函數(shù)單調(diào)遞增，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，故B錯誤；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則，可得，因為，所以，“”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故C正確；對于D選項，不等式對任意恒成立，當(dāng)時恒成立，合乎題意，當(dāng)時，則有，解得，因此，不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤，故選：AC.11.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為是正八邊形邊上任意一點，則（）A.與能構(gòu)成一組基底B.C.在向量上的投影向量為D.若在線段（包括端點）上，且，則取值范圍【答案】BCD【解析】連接AF，因為°，，因為，現(xiàn)，故.以AB所在直線為x軸，AF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，且，故，故，所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，錯誤；，，故，B正確；又，所以，即在向量上的投影向量為，C正確；若在線段（包括端點）上，設(shè)，所以，，，由，可得，則，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題（共3小題，每小題4分，共12分）．12.已知函數(shù)的圖象恒過定點．若點在冪函數(shù)的圖象上，則______．【答案】【解析】令，解得，此時，所以指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點；因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，所以．13.已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】設(shè)點為坐標(biāo)原點，點在線段的延長線上，且，，即，．點的坐標(biāo)為．14.已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】【解析】由，得，顯然上式都成立，所以函數(shù)定義域為．由，得，所以，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，，和在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又因為是奇函數(shù)，所以可得是上的增函數(shù)．所以可轉(zhuǎn)化為，即，所以，解得．故原不等式的解集是．四、解答題（共4小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．15.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．解：（1）由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故的最大值是3．（2）由，得，即．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．故的最小值為．16.已知為坐標(biāo)原點，，，.（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）若點滿足，求的最小值.解：（1）因為，，，所以，，又三點共線，所以，所以，解得.（2）因為，，所以，，所以，所以，所以當(dāng)時.17.已知向量，，．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)值域．解：（1）因為，，所以，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，所以，則，所以函數(shù)在上的值域為.18.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）求的最小值；（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，因為偶函數(shù)，所以，即，解得，此時函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，符合題意，所以.（2）由（1）可得，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；所以，即的最小值為，當(dāng)時取得最小值.（3）由（1）可得，則，由不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，令，則，，所以不等式對任意恒成立，所以對任意恒成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得最小值，所以，即實數(shù)的取值范圍為.山西省太原市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（8小題，共32分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故.故選：C.2.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則的值為（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】D【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，則，因為，所以為奇函數(shù)，所以符合題意.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由題得，，由得，，解得．故選：B.4.已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量為.故選：D．5.若，則的值是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，①又因為，則，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以．故選：．6.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個單位長度得到，然后所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點且，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，且，而三點共線，則，即，所以，所以.故選：A.8.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題錯誤的是（）A.若，則為的重心B.若為的內(nèi)心，則C.若，為的外心，則D.若為的垂心，，則【答案】C【解析】對于A：取的中點D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B：由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對于C：由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯誤；對于D：如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確．故選：C．二、多選題（多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對的得6分，部分選對的得2，3，4分，有選錯的得0分，每題有兩個或兩個以上是符合題目要求）．9.設(shè)向量，則下列說法錯誤的是（）A.若與的夾角為鈍角，則B.的最小值為9C.與共線的單位向量只有一個，為D.若，則【答案】BC【解析】A選項，與的夾角為鈍角，故且不反向共線，則且，解得且，綜上，，A正確；B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為3，B錯誤；C選項，，與共線的單位向量有2個，為，C錯誤；D選項，若，則，解得，D正確.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.命題“，都有”的否定為“，使得”B.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是C.“”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件D.不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】對于A選項，命題“，都有”的否定為“，使得”，故A正確；對于B選項，函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成，由于函數(shù)單調(diào)遞增，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，故B錯誤；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則，可得，因為，所以，“”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故C正確；對于D選項，不等式對任意恒成立，當(dāng)時恒成立，合乎題意，當(dāng)時，則有，解得，因此，不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤，故選：AC.11.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為是正八邊形邊上任意一點，則（）A.與能構(gòu)成一組基底B.C.在向量上的投影向量為D.若在線段（包括端點）上，且，則取值范圍【答案】BCD【解析】連接AF，因為°，，因為，現(xiàn)，故.以AB所在直線為x軸，AF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，且，故，故，所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，錯誤；，，故，B正確；又，所以，即在向量上的投影向量為，C正確；若在線段（包括端點）上，設(shè)，所以，，，由，可得，則，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題（共3小題，每小題4分，共12分）．12.已知函數(shù)的圖象恒過定點．若點在冪函數(shù)的圖象上，則______．【答案】【解析】令，解得，此時，所以指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點；因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，所以．13.已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】設(shè)點為坐標(biāo)原點，點在線段的延長線上，且，，即，．點的坐標(biāo)為．14.已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】【解析】由，得，顯然上式都成立，所以函數(shù)定義域為．由，得，所以，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，，和在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又因為是奇函數(shù)，所以可得是上的增函數(shù)．所以可轉(zhuǎn)化為，即，所以，解得．故原不等式的解集是．四、解答題（共4小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．15.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．解：（1）由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故的最大值是3．（2）由，得，即．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．故的最小值為．16.已知為坐標(biāo)原點，，，.（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）若點滿足，求的最小值.解：（1）因為，，，所以，，又三點共線，所以，所以，解得.（2）因為，，所以，，所以，所以，所以當(dāng)時.17.已知向量，，．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)值域．解：（1）因為，，所以，令，解得，所以的單