數(shù)學(xué)工具的有效應(yīng)用2024年試題及答案姓名：____________________

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,3)$，則下列哪個選項(xiàng)不可能是$a$的值？

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$-1$

2.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_5$的值為：

A.$9$

B.$11$

C.$13$

D.$15$

3.已知圓的方程為$x^2+y^2=4$，則該圓的半徑是：

A.$2$

B.$1$

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{3}$

4.若不等式$x^2-2x-3>0$的解集為$(a,b)$，則$a+b$的值為：

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

5.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的取值范圍是：

A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-1,1)$

D.$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$

6.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z+1|=|z-1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.軸

B.線段$[-2,2]$

C.線段$[1,3]$

D.線段$[3,1]$

7.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為：

A.$5$

B.$6$

C.$7$

D.$8$

8.已知函數(shù)$f(x)=\log_2x$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則下列哪個函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減？

A.$g(x)=\log_2x^2$

B.$h(x)=\log_2(x+1)$

C.$k(x)=\log_2(1-x)$

D.$m(x)=\log_2\sqrt{x}$

9.若$P(x,y)$是直線$x+y=1$上的動點(diǎn)，則$|OP|$的最大值為：

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$

C.$\frac{\sqrt{2}}{8}$

D.$\frac{\sqrt{2}}{16}$

10.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=1$，$a_3=8$，則$q$的值為：

A.$2$

B.$4$

C.$8$

D.$16$

二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共10題）

1.下列哪些函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)？

A.$f(x)=x^3$

B.$g(x)=\sinx$

C.$h(x)=\cosx$

D.$k(x)=\sqrt{x}$

2.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(1,-2)$，則下列哪些結(jié)論是正確的？

A.$\vec{a}+\vec=(4,2)$

B.$\vec{a}-\vec=(2,6)$

C.$2\vec{a}=(6,8)$

D.$-\vec{a}=(-3,-4)$

3.若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則下列哪些選項(xiàng)是正確的？

A.$\{a_n\}$是等差數(shù)列

B.$\{a_n\}$是等比數(shù)列

C.$\lim_{n\to\infty}a_n=2$

D.$\lim_{n\to\infty}a_n=1$

4.下列哪些方程表示的是直線？

A.$x+y=0$

B.$x^2+y^2=1$

C.$2x+3y+1=0$

D.$x^2+y^2+1=0$

5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象與$x$軸有兩個不同的交點(diǎn)，則下列哪些結(jié)論是正確的？

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$b^2-4ac>0$

D.$b^2-4ac<0$

6.下列哪些圖形的對稱中心是原點(diǎn)？

A.圓

B.正方形

C.菱形

D.等腰三角形

7.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是：

A.線段$[-2,2]$

B.軸

C.線段$[1,3]$

D.線段$[3,1]$

8.下列哪些數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？

A.$\frac{1}{3}$

B.$\sqrt{2}$

C.$\pi$

D.$\ln2$

9.若函數(shù)$f(x)=\log_2x$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則下列哪些函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減？

A.$g(x)=\log_2(x^2)$

B.$h(x)=\log_2(x+1)$

C.$k(x)=\log_2(1-x)$

D.$m(x)=\log_2\sqrt{x}$

10.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=1$，$a_3=8$，則下列哪些選項(xiàng)是正確的？

A.$q=2$

B.$q=4$

C.$q=8$

D.$q=16$

三、判斷題（每題2分，共10題）

1.如果一個二次方程的判別式$D=b^2-4ac$等于0，那么這個方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。（）

2.向量的模長是指向量與其自身點(diǎn)積的平方根。（）

3.在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)的和等于這兩項(xiàng)之間項(xiàng)數(shù)的和。（）

4.在等比數(shù)列中，任意兩項(xiàng)的積等于這兩項(xiàng)之間項(xiàng)數(shù)的乘積。（）

5.圓的周長與直徑的比值是一個常數(shù)，這個常數(shù)就是圓周率$\pi$。（）

6.如果兩個向量的點(diǎn)積等于0，那么這兩個向量一定是垂直的。（）

7.如果一個三角形的三個內(nèi)角都是直角，那么這個三角形是等邊三角形。（）

8.如果一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處為0，那么這個點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度。（）

10.在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是原點(diǎn)坐標(biāo)的相反數(shù)。（）

四、簡答題（每題5分，共6題）

1.簡述如何判斷一個一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。

2.給定兩個非零向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec=(-1,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=5$，公差$d=3$，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和。

4.如果函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處取得極值，求這個極值是極大值還是極小值，并求出極值的具體數(shù)值。

5.已知圓的方程為$x^2+y^2=16$，求圓心到直線$2x+3y-5=0$的距離。

6.設(shè)復(fù)數(shù)$z=a+bi$，其中$a$和$b$是實(shí)數(shù)，且$|z|=1$，求$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$。

試卷答案如下

一、單項(xiàng)選擇題

1.D

解析思路：由于開口向上，$a>0$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,3)$，則$a$不能為負(fù)數(shù)，排除選項(xiàng)A、B、C。

2.B

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=5$，得$a_5=3+4d=11$。

3.A

解析思路：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圓心坐標(biāo)，$r$是半徑。由$x^2+y^2=4$可知圓心在原點(diǎn)，半徑為$\sqrt{4}=2$。

4.D

解析思路：不等式$x^2-2x-3>0$可以分解為$(x-3)(x+1)>0$，解得$x<-1$或$x>3$，所以解集為$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$，$a+b=2$。

5.A

解析思路：直線與圓相切的條件是直線到圓心的距離等于圓的半徑。設(shè)直線$y=kx+b$到圓心$(0,0)$的距離為$d$，則$d=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=2$，解得$k^2+1=4$，即$k^2=3$，$k=\pm\sqrt{3}$，故$k$的取值范圍是$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},+\infty)$。

6.B

解析思路：由$|z+1|=|z-1|$可知$z$到點(diǎn)$(-1,0)$和$(1,0)$的距離相等，故$z$的軌跡是線段$[-2,2]$。

7.A

解析思路：向量點(diǎn)積的運(yùn)算是$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，代入$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，得$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times3=8$。

8.C

解析思路：函數(shù)$f(x)=\log_2x$在其定義域$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，因此其復(fù)合函數(shù)$g(x)=\log_2(x^2)$，$h(x)=\log_2(x+1)$，$k(x)=\log_2(1-x)$，$m(x)=\log_2\sqrt{x}$的單調(diào)性分別取決于內(nèi)部函數(shù)的單調(diào)性。$g(x)$和$m(x)$在其定義域上單調(diào)遞增，$h(x)$和$k(x)$在其定義域上單調(diào)遞減。

9.A

解析思路：點(diǎn)到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入$P(0,1)$和直線$x+y=1$，得$d=\frac{|0+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

10.B

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=1$，$a_3=8$，得$q^2=8$，$q=2$或$q=-2$，由于是等比數(shù)列，公比不能為負(fù)，所以$q=2$。

二、多項(xiàng)選擇題

1.AB

解析思路：奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，$f(x)=x^3$和$f(x)=\sinx$都是奇函數(shù)。

2.ABCD

解析思路：向量加減和數(shù)乘滿足分配律和結(jié)合律，故四個選項(xiàng)都是正確的。

3.BC

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=1$，$a_3=8$，得$q^2=8$，$q=2$或$q=-2$，由于是等比數(shù)列，公比不能為負(fù)，所以$q=2$。

4.AC

解析思路：$x^2+y^2=1$表示圓，$2x+3y+1=0$表示直線。

5.AC

解析思路：二次方程有兩個不同實(shí)數(shù)根的條件是判別式$D=b^2-4ac>0$。

6.AB

解析思路：圓和正方形的對稱中心是原點(diǎn)。

7.AB

解析思路：由$|z-1|=|z+1|$可知$z$到點(diǎn)$(-1,0)$和$(1,0)$的距離相等，故$z$的軌跡是線段$[-2,2]$。

8.ABC

解析思路：無限不循環(huán)小數(shù)包括無理數(shù)和某些分?jǐn)?shù)。

9.AC

解析思路：函數(shù)$f(x)=\log_2x$在其定義域$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，因此其復(fù)合函數(shù)$g(x)=\log_2(x^2)$，$h(x)=\log_2(x+1)$，$k(x)=\log_2(1-x)$，$m(x)=\log_2\sqrt{x}$的單調(diào)性分別取決于內(nèi)部函數(shù)的單調(diào)性。$g(x)$和$m(x)$在其定義域上單調(diào)遞增，$h(x)$和$k(x)$在其定義域上單調(diào)遞減。

10.AB

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=1$，$a_3=8$，得$q^2=8$，$q=2$或$q=-2$，由于是等比數(shù)列，公比不能為負(fù)，所以$q=2$。

三、判斷題

1.√

解析思路：一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根的條件是判別式$D=b^2-4ac=0$。

2.√

解析思路：向量點(diǎn)積的定義是$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，模長的定義是$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$，兩者關(guān)系為$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$。

3.√

解析思路：等差數(shù)列的性質(zhì)之一是任意兩項(xiàng)的和等于這兩項(xiàng)之間