專題02一元一次不等式考點(diǎn)類型知識一遍過（一）一元一次不等式概念不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式為：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。（二）解一元一次不等式的步驟①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1注意：去分母與系數(shù)化為一要特別小心，因?yàn)橐诓坏仁絻啥送瑫r乘或除以某一個數(shù)，要考慮不等號的方向是否發(fā)生改變的問題。（三）解方程與解不等式的區(qū)別一元一次方程一元一次不等式解法的依據(jù)方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變解法的步驟①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負(fù)數(shù)，不等號要改變方向解得情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式可以有無數(shù)多個解考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)1：一元一次不等式的概念典例1：（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式：①x2+2>5；②a+b；③x3≥2x?15；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1】（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式：①x2+2>5；②a+b；③x3≥2x?15；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式2】（2023下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期末）下列各式：（1）?x≥5；（2）y?3x<0；（3）xπ+5<0；（4）x2A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【變式3】（2023下·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列式子：①?2<0；②3x?5>0；③x2?x>1；④x>1；⑤1xA．2 B．3 C．4 D．5考點(diǎn)2：解一元一次不等式典例2：（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)25x+3(2)1+x【變式1】（2023下·七年級課時練習(xí)）解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來：(1)4x?2>3x?1(2)2x?13(3)5x?32x?1【變式2】（2023下·北京東城·七年級北京市文匯中學(xué)?？计谀┙獠坏仁統(tǒng)+13【變式3】（2023上·浙江湖州·八年級長興縣古城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x,y的方程組x+2y=?7+m2x+y=2m+4，若此方程組的解滿足x+y≥2，求m考點(diǎn)3：方程組與不等式綜合典例3：（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期中）若關(guān)于x、y的方程組ax+y=3x+2y=1有整數(shù)解，且關(guān)于z的一元一次不等式3z+4>a有負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為【變式1】（2022下·陜西西安·八年級校考期末）關(guān)于x、y的方程組x+y=4x?y=2a的解滿足x<2y，則a的取值范圍為【變式2】（2023下·福建泉州·七年級?？计谥校╆P(guān)于x、y的方程組2x+y=k?1x+2y=3k?2的解x、y滿足x?y≥?3，那么k的取值范圍是【變式3】（2023下·江西吉安·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x+y=4m?5x+2y=3m的解滿足不等式x?y>0，則m的取值范圍是考點(diǎn)4：不等式的整數(shù)解問題典例4：（2023下·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組x+y=?7?mx?y=1+3m的解滿足x為非正數(shù)，y(1)m的取值范圍是______；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時，不等式2mx+x<2m+1的解為x>1？【變式1】（2023下·河北石家莊·九年級校考開學(xué)考試）整式13x?1

(1)當(dāng)x=6時，求M的值；(2)若M的取值范圍如圖所示，求x的最大整數(shù)值．【變式2】（2023下·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x?5y=4m,(1)若方程組的解滿足x?y=6，求m的值．(2)若方程組的解滿足x+y<0，求滿足條件的整數(shù)m的最小值．【變式3】（2023下·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）已知不等式3x?2+5<4x?1+6的最小整數(shù)解為關(guān)于x的方程【變式4】（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若方程組3x+2y=m+12x+y=m?1的解滿足x<y，求滿足條件的正整數(shù)m考點(diǎn)5：一元一次不等式解集應(yīng)用典例5：（2022下·廣東汕頭·七年級統(tǒng)考期末）已知x=?2y=5是不等式kx+2y≤4的一個解，則整數(shù)k的最小值為（

A．3 B．-3 C．4 D．-4【變式1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的不等式組x?a<0,2x+3>0的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a的最小值為（

A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022下·八年級統(tǒng)考課時練習(xí)）若12≤a≤3，6≤b≤63，則baA．21 B．2 C．12 D．126【變式3】（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于xy的二元一次方程組x+2y=?3m+22x+y=4，給出下列說法：①若x與y互為相反數(shù)，則m=2；②若x+y>?32，則m的最大整數(shù)值為4；③若x=y，則m=?A．0個 B．1個 C．2個 D．3個考點(diǎn)6：不等式與幾何綜合典例6：（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）一根細(xì)鐵絲長20cm，小明想把它折成一個三角形，則他折成的三角形的最長的邊有可能是（

A．9cm B．10cm C．11cm【變式1】（2022下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），∠O=30°，若△AOP為鈍角三角形，則∠A的取值范圍是（）A．0°<∠A<60° B．90°<∠A<180°C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130° D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°【變式2】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊△ABC中，P是邊AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），則∠APC的度數(shù)可能是（

）A．130° B．50° C．60° D．70°【變式3】（2023上·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度AC=30m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A．0≤x≤5 B．x≥103 C．0≤x≤10考點(diǎn)7：含絕對值不等式的問題典例7：（2022上·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）不等式|x|<1的解集是．【變式1】（2022下·浙江·七年級期中）能夠使不等式x?x1+x<0成立的x【變式2】（2022下·浙江寧波·七年級?？计谀┮阎坏仁?2x?2?5?1>12a【變式3】（2022上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）當(dāng)x時，|x﹣2|＝2﹣x．考點(diǎn)8：一元一次不等式的應(yīng)用——銷售問題典例8：（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）電動平衡車運(yùn)動靈活，轉(zhuǎn)向穩(wěn)定，純電力驅(qū)動，零排放，環(huán)保無污染，是新型的短途出行工具．某網(wǎng)絡(luò)銷售平臺銷售A，B兩種純電動平衡車共60臺，兩種平衡車的進(jìn)價和售價如下表．進(jìn)價售價A型14002000B型21002400設(shè)該網(wǎng)絡(luò)平臺購進(jìn)A型平衡車x臺，這60臺平衡車可獲總利潤為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若A型平衡車的購進(jìn)數(shù)量不超過B型平衡車購進(jìn)數(shù)量的3倍，應(yīng)如何安排進(jìn)貨，才能使售完這批平衡車后獲利最大，并求出最大利潤．【變式1】（2023上·浙江溫州·八年級?？计谥校╇p十一購物節(jié)期間，某商場對A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備進(jìn)行促銷活動，這兩種教學(xué)設(shè)備的進(jìn)價和售價如下表所示：AB進(jìn)價（萬元/套）0.81.2售價（萬元/套）1.52A產(chǎn)品按原售價打8折出售，B產(chǎn)品按原售價打9.5折出售，促銷活動中A產(chǎn)品的銷售量是B產(chǎn)品的2倍，若使得促銷獲利不少于65萬元，則B產(chǎn)品至少購進(jìn)幾件？【變式2】（2023上·浙江寧波·八年級校考階段練習(xí)）“雙11”期間，某個體戶在淘寶網(wǎng)上購買某品牌A、B兩款羽絨服來銷售，若購買3件A，4件B，需支付2400元，若購買2件A，2件B，則需支付1400元．(1)求A、B兩款羽絨服在網(wǎng)上的售價分別是多少元?(2)若個體戶從淘寶網(wǎng)上購買A款羽絨服25件，按每件600元進(jìn)行零售，銷售一段時間后，把剩下的羽絨服全部6折銷售完，若總獲利不低于3800元，求個體戶讓利銷售的羽絨服最多是多少件？【變式3】（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）應(yīng)用題：哈爾濱經(jīng)緯手機(jī)賣場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機(jī)，這兩種手機(jī)的進(jìn)價和售價如下表所示，手機(jī)賣場計劃購進(jìn)兩種手機(jī)若干部，共需15.5萬元，預(yù)計全部售出后可獲利潤共2.1萬元．甲乙進(jìn)價（元/部）40002500售價（元/部）43003000(1)經(jīng)緯手機(jī)賣場計劃購進(jìn)甲、乙兩種手機(jī)各多少部？(2)通過市場調(diào)研，手機(jī)賣場決定在原計劃的基礎(chǔ)上，減少甲種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量，增加乙種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量．已知乙種手機(jī)增加的數(shù)量是甲種手機(jī)減少的數(shù)量的2倍，而且用于購進(jìn)這兩種手機(jī)的總資金不超過16萬元，天耀手機(jī)賣場怎樣進(jìn)貨，才能在手機(jī)全部售出后獲得最大的利潤？并求出最大利潤．考點(diǎn)9：一元一次不等式的應(yīng)用——分配問題典例9：（2022上·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）近期各校都在開展藝術(shù)節(jié)活動，使得演出服需求量大增．(1)一套演出服由一件外套和兩個道具構(gòu)成，工人師傅每人每天平均生產(chǎn)外套12件或道具18個．車間臨時派7個工人師傅趕工，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套．應(yīng)該分配多少工人生產(chǎn)外套，多少工人生產(chǎn)道具？(2)704班需要演出服16套，如果租賃這批演出服x小時（x為正整數(shù)），有兩種付費(fèi)方式：方式一：當(dāng)0<x≤10時，每套演出服收取租金50元；當(dāng)x>10時，超時部分這批演出服整體按每小時30元收費(fèi)；方式二：當(dāng)0<x≤15時，每套演出服收取租金60元；當(dāng)x>15時，超時部分這批演出服整體按每小時20元收費(fèi)．請你幫704班謀劃一下，如果根據(jù)租賃時間選擇省錢的租賃方式？【變式1】（2022下·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）自發(fā)生新冠疫情以來，部分企業(yè)受到了不同程度的影響，為落實(shí)“保民生、促經(jīng)濟(jì)”政策，某玻璃制品銷售公司今年3月份調(diào)整了職工的月工資分配方案，調(diào)整后月工資由基本保障工資和計件獎勵工資兩部分組成（計件獎勵工資=銷售每件的獎勵金額×銷售的件數(shù)），下表是甲，乙兩位職工今年4月份的工資情況信息：職工甲乙月銷售件數(shù)（件）120160月工資60006400(1)求工資分配方案調(diào)整后職工的月基本保障工資和銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額各是多少元？(2)若職工丙今年5月份的工資不低于7000元，那么丙該月至少應(yīng)銷售多少件產(chǎn)品？【變式2】（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）我市在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明城市建設(shè)中，對城內(nèi)的部分河道進(jìn)行整治，現(xiàn)有一段長390米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊(duì)先后接力完成，甲工程隊(duì)每天整治18米，乙工程隊(duì)每天整治24米，共用時20天，求甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？(1)小明、小華兩位同學(xué)提出的解題思路如下：①小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后單工程隊(duì)整治河道x米，乙工程隊(duì)整治河道y米．根據(jù)題意，得x+y=____??②小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，m表示____，n表示___；則可列方程組為m+n=2018m+24n=390(2)請從①②中任選一個解題思路，寫出完整的解答過程；(3)若要使工程總時間少于20天，應(yīng)怎樣分配甲乙兩隊(duì)的工程量？【變式3】（2022上·安徽滁州·八年級?？计谥校┠彻居蠥型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完，兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤(元)如下表：A型利潤B型利潤甲店200170乙店160150（1）設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件，這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤為W(元)，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（2）若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設(shè)計出來同步一遍過一、單選題1．（2023下·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的不等式x+1<2a的解集是x<5，則a的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）不等式x+2≥1的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·七年級單元測試）如果2a?3x2+a>1是關(guān)于xA．x<?1 B．x>?1 C．x<?23 4．（2023下·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）把不等式?3x+9>0的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．5．（2023下·七年級課時練習(xí)）下列不等式中是一元一次不等式的是()．A．2(1＋y)＋y＞4y＋2 B．x2－2≥1C．1x+x≥3 D．6．（2023·江蘇宿遷·宿豫中學(xué)?？级＃┮阎P(guān)于x的二元一次方程組{3x+y=3m?5x?y=m?1，若x+y＞4，則A．m＞2 B．m＜4 C．m＞5 D．m＞67．（2023下·海南?？凇て吣昙壭？茧A段練習(xí)）某工程隊(duì)計劃在10天內(nèi)修路6km，施工前2天修完1.2km后，計劃發(fā)生變化，準(zhǔn)備提前2天完成修路任務(wù)，以后幾天內(nèi)平均每天至少要修路（

）A．0.6km B．0.8km C．0.9km D．1km8．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的周長為16cm且三邊均為整數(shù)，底邊可能的取值有（）個．A．1 B．2 C．3 D．49．（2023下·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）亮亮準(zhǔn)備用自己今年的零花錢買一臺價值300元的英語學(xué)習(xí)機(jī).現(xiàn)在他已存有45元,如果從現(xiàn)在起每月節(jié)省30元,設(shè)x個月后他存夠了所需錢數(shù),則x應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）A．30x?45≥300 B．30x+45≥300 C．30x?45≤300 D．30x+45≤30010．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成2160個零件的任務(wù)，于是安排15名工人每人每天加工a個零件（a為整數(shù)），開工若干天后，其中3人外出培訓(xùn)，若剩下的工人每人每天多加工2個零件，則不能按期完成這次任務(wù)，由此可知a的值至少為（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空題11．（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┤?x?y=1，且0<y<1，則x的取值范圍為．12．（2023下·山西長治·七年級長治市第六中學(xué)校?？计谀┮阎鰽BC是等腰三角形，它的底邊長為6cm，則它的腰長x的取值范圍是13．（2023上·廣東惠州·八年級惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果將長度為7、a+5和15的三根線段首尾順次相接可以得到一個三角形，那么a的取值范圍是14．（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級統(tǒng)考期末）不等式5x﹣1＞2x+5的解集為．15．（2023·內(nèi)蒙古通遼·七年級校聯(lián)考期末）某超市為了促銷一種定價為3元的商品，采取下列方式優(yōu)惠銷售：若一次性購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分按原價八折付款．如果小明有30元錢，那么他最多可以購件．16．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）若不等式(m?6)x>m?6，兩邊同除以(m?6)，得x<1，則m的取值范圍為．三、解答題17．（2023下·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）解不等式：x418．（2023上·浙江溫州·八年級校考期中）解下列不等式，并把他們的解表示在數(shù)軸上．（1）4x-3≤5(x-1)（2）x?1219．（2023下·江蘇·七年級階段練習(xí)）（1）解方程組（用加減消元法）：2x?5y=?3?4x+y=?3（2）解不等式組3x?x≥21+2x20．（2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）“五月楊梅已滿林，初疑一顆值千金．”每年公歷6月是人們品味楊梅鮮酸的美好季節(jié)，某水果店經(jīng)銷甲乙兩地楊梅，兩次購進(jìn)楊梅的情況如下表所示：進(jìn)貨批次甲地楊梅質(zhì)量（單位：千克）乙地楊梅質(zhì)量（單位：千克）總費(fèi)用（單位：元）第一次120801520第二次601001360(1)求甲乙兩地的楊梅進(jìn)價；(2)銷售完前兩次購進(jìn)的楊梅后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進(jìn)甲乙兩地楊梅共200千克，且投入的資金不超過1680元．將其中的m千克甲地楊梅和3m千克乙地楊梅按進(jìn)價品嘗銷售，剩余的甲地楊梅以每千克8元、乙地楊梅以每千克13元的價格銷售．若第三次購進(jìn)的200千克楊梅全部售出后，獲得的最大利潤不低于400元，求正整數(shù)m的最大值．21．（2023下·七年級課時練習(xí)）已知：|2x?8|+5x?（1）當(dāng)y>0時，求n的取值范圍；（2）當(dāng)y<0時，求n的取值范圍．22．（2023下·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組x+2y=3k2x+y=?2k+1的解滿足x+y＞3（1）求k的取值范圍；（2）化簡|5k+1|﹣|4﹣5k|．23．（2023上·浙江·七年級期末）野生動物園出售的一次性使用門票，每張180元，為了吸引更多游