高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1寧夏銀川市、石嘴山市2025屆高三學(xué)科教學(xué)質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則當(dāng)時，，故，所以.故選：A4.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令，解得，所以其單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5.已知函數(shù)，若函數(shù)與圖象有三個交點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)與的圖象有三個交點，所以，當(dāng)時，方程必然成立，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，則與有兩個交點，若，則，若，則，如圖所示，結(jié)合圖像，要與有兩個交點，需滿足.故選：C6.如圖所示，質(zhì)點P從點A出發(fā)，沿AB，BC，CD運動至點D，已知，，則質(zhì)點P位移的大小是（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得質(zhì)點P位移為，所以因為，，所以，設(shè)的夾角為，所以，因為所以，所以.故選：D7.已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點D．若，則（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】令，則，可設(shè)，若，即，聯(lián)立拋物線和直線，可得，則，，而，即，故，，所以，則，可得，故，，所以，則，，由上，聯(lián)立，可得，即，所以，可得，故，所以.故選：B8.現(xiàn)有編號為A，B，C的三盞燈和三個開關(guān)，每個開關(guān)單獨控制一盞燈，每按一次開關(guān)相應(yīng)的燈都按紅、黃、藍的順序變換一次顏色．假設(shè)三盞燈初始顏色均為紅色，如果三個開關(guān)總共按90次，則三盞燈的顏色不可能是（）A.紅、紅、紅 B.紅、藍、黃 C.紅、黃、黃 D.黃、黃、黃【答案】C【解析】由題意可知，按次后燈為黃色，按次后燈為藍色，按次后燈為紅色，其中，設(shè)分別與A，B，C三盞燈對應(yīng)，A：若最后為紅、紅、紅，則共按次，即，故A可實現(xiàn)；B：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故B可實現(xiàn)；C：若最后為紅、黃、黃，則共按次，即，故C不可能實現(xiàn)；D：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故D可實現(xiàn)；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圓柱內(nèi)有一個棱長為2的正方體，正方體的各個頂點在圓柱的上、下底面圓周上，則（）A.圓柱的軸截面為正方形B.過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分C.圓柱的表面積為D.若圓柱的上下底面是一個球的兩個平行截面，則該球的體積是【答案】BCD【解析】如圖所示，對于正方體和圓柱，正方體的中心為，對于選項A：由題意可知：，所以圓柱的軸截面不為正方形，故A錯誤；對于選項B：因為正方體的中心也為圓柱的中心，根據(jù)對稱性可知過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分，故B正確；對于選項C：可知圓柱的底面半徑為，母線長為2，所以圓柱的表面積為，故C正確；對于選項D：可知該球的球心為，則，即球的半徑為，所以該球的體積是，故D正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象位于直線與之間C.若是函數(shù)的極值點，則曲線在處的切線方程為或D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】對于A，，故A正確；對于B，由正弦函數(shù)的值域可得，即函數(shù)的圖象位于直線與之間，故B正確；對于C，若是函數(shù)的極值點，則，又，所以，且，所以由點斜式可得曲線在處的切線方程為或，故C正確；對于D，舉反例，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故D錯誤.故選：ABC11.雙曲線的左、右焦點分別為，過作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點M，且M，N都在x軸上方，，點在E上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率C.直線與的斜率之積是2

D.雙曲線在點P處的切線與x軸交于點I，則【答案】AD【解析】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，，可得，同理得，由，則，整理得，可得，B錯，所以，故漸近線方程為，A對，在雙曲線上，則，則，所以，則，C錯；點P處的切線為，聯(lián)立，得，所以，則，所以，則，故切線為，令，則，故，D對.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)舉辦知識競賽，題庫中共有1000道試題，其中有500道A類題，300道B類題，200道C類題．根據(jù)以往經(jīng)驗，某同學(xué)答對A，B，C三類試題的概率分別為．若該同學(xué)從題庫中隨機選一道試題作答，則他答對的概率是________．【答案】【解析】設(shè)學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，設(shè)學(xué)生答對試題為事件，則，，，，，，所以.故答案為：.13.在中，點D在邊BC上，，則________．【答案】【解析】不妨設(shè)，因，由正弦定理可得，則，即，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象與直線交于A，B兩點，且在處取得極值．設(shè)，若，則的面積為________．【答案】【解析】令，顯然定義域為，由，故為偶函數(shù)，由，在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，且、上，上，在區(qū)間內(nèi)趨向時趨向正無窮，在、內(nèi)趨向時趨向負無窮，顯然在處取得極小值，為，故的大致圖象如下，根據(jù)與的平移關(guān)系，若與的交點，則，極值點，當(dāng)，結(jié)合對稱性易知，，又，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為/片．由于升級了生產(chǎn)工藝，需檢驗采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達標(biāo)，現(xiàn)隨機抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．（1）計算樣本的平均數(shù)和方差；（2）判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達標(biāo)（若，則認為采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分不達標(biāo)；反之認為達標(biāo)）．解：（1），.（2）因為，，所以，故采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分達標(biāo)．16.已知數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．（1）證明：因，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.（2）解：（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設(shè)的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.17.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，求a的值；（3）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，．（1）解：由題設(shè)且，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值；（2）解：由，則，故切線方程為，而，令，則，所以切點為，且在上，所以，可得；（3）證明：由，問題等價于當(dāng)，時，恒成立，令且，則，所以，對于且，則，所以，，即在上單調(diào)遞增，，，即在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以，故在上單調(diào)遞減，則，綜上，恒成立，結(jié)論得證.18.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為1和2的正方形，O為底面ABCD的中心，．（1）求證：平面ABCD；（2）設(shè)M為的中點，CM交于點P，點Q滿足．（i）求直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）求平面與平面APQ夾角的余弦值的取值范圍，并說明t取何值時，平面平面APQ．（1）證明：由題設(shè)，顯然，易知為直角三角形，即，連接，又，為公共邊，則，即，由題意為中點，則，由且都在面內(nèi)，則平面ABCD；（2）解：（i）由（1）知平面ABCD，而且，則，即為平行四邊形，故，故面ABCD，且為正方形，可構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，由M為的中點，CM交于點P，設(shè)，由，，則，所以，則，可得，則，而面的一個法向量為，所以，故直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）由，則，故，又，，若是面，即面的一個法向量，則，取，故，若是面APQ的一個法向量，則，取，故，所以，由，則，所以，當(dāng)時，，此時平面平面APQ．19.已知橢圓的右頂點為，上頂點為，離心率為，點在橢圓上，以原點為圓心的圓與直線相切．（1）求橢圓及圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的射線交橢圓于兩點．（i）證明：直線與圓相切；（ii）求面積的取值范圍．解：（1）由題意，橢圓離心率，點在橢圓上，則，解得所以橢圓的方程為則右頂點，上頂點，直線，圓心到直線的距離，即圓的半徑，所以圓的方程為.（2）（i）由題意，當(dāng)直線的斜率不存在時，，或.此時，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，由可得，設(shè)，則，即，化簡得.所以，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.綜上所述，直線與圓相切.（ii）由（i）可知，當(dāng)直線的斜率不存在時，當(dāng)直線的斜率存在時，，，則綜上，寧夏銀川市、石嘴山市2025屆高三學(xué)科教學(xué)質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則當(dāng)時，，故，所以.故選：A4.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令，解得，所以其單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5.已知函數(shù)，若函數(shù)與圖象有三個交點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)與的圖象有三個交點，所以，當(dāng)時，方程必然成立，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，則與有兩個交點，若，則，若，則，如圖所示，結(jié)合圖像，要與有兩個交點，需滿足.故選：C6.如圖所示，質(zhì)點P從點A出發(fā)，沿AB，BC，CD運動至點D，已知，，則質(zhì)點P位移的大小是（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得質(zhì)點P位移為，所以因為，，所以，設(shè)的夾角為，所以，因為所以，所以.故選：D7.已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點D．若，則（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】令，則，可設(shè)，若，即，聯(lián)立拋物線和直線，可得，則，，而，即，故，，所以，則，可得，故，，所以，則，，由上，聯(lián)立，可得，即，所以，可得，故，所以.故選：B8.現(xiàn)有編號為A，B，C的三盞燈和三個開關(guān)，每個開關(guān)單獨控制一盞燈，每按一次開關(guān)相應(yīng)的燈都按紅、黃、藍的順序變換一次顏色．假設(shè)三盞燈初始顏色均為紅色，如果三個開關(guān)總共按90次，則三盞燈的顏色不可能是（）A.紅、紅、紅 B.紅、藍、黃 C.紅、黃、黃 D.黃、黃、黃【答案】C【解析】由題意可知，按次后燈為黃色，按次后燈為藍色，按次后燈為紅色，其中，設(shè)分別與A，B，C三盞燈對應(yīng)，A：若最后為紅、紅、紅，則共按次，即，故A可實現(xiàn)；B：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故B可實現(xiàn)；C：若最后為紅、黃、黃，則共按次，即，故C不可能實現(xiàn)；D：若最后為紅、藍、黃，則共按次，即，故D可實現(xiàn)；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圓柱內(nèi)有一個棱長為2的正方體，正方體的各個頂點在圓柱的上、下底面圓周上，則（）A.圓柱的軸截面為正方形B.過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分C.圓柱的表面積為D.若圓柱的上下底面是一個球的兩個平行截面，則該球的體積是【答案】BCD【解析】如圖所示，對于正方體和圓柱，正方體的中心為，對于選項A：由題意可知：，所以圓柱的軸截面不為正方形，故A錯誤；對于選項B：因為正方體的中心也為圓柱的中心，根據(jù)對稱性可知過正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分，故B正確；對于選項C：可知圓柱的底面半徑為，母線長為2，所以圓柱的表面積為，故C正確；對于選項D：可知該球的球心為，則，即球的半徑為，所以該球的體積是，故D正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象位于直線與之間C.若是函數(shù)的極值點，則曲線在處的切線方程為或D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】對于A，，故A正確；對于B，由正弦函數(shù)的值域可得，即函數(shù)的圖象位于直線與之間，故B正確；對于C，若是函數(shù)的極值點，則，又，所以，且，所以由點斜式可得曲線在處的切線方程為或，故C正確；對于D，舉反例，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故D錯誤.故選：ABC11.雙曲線的左、右焦點分別為，過作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點M，且M，N都在x軸上方，，點在E上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率C.直線與的斜率之積是2

D.雙曲線在點P處的切線與x軸交于點I，則【答案】AD【解析】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，，可得，同理得，由，則，整理得，可得，B錯，所以，故漸近線方程為，A對，在雙曲線上，則，則，所以，則，C錯；點P處的切線為，聯(lián)立，得，所以，則，所以，則，故切線為，令，則，故，D對.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)舉辦知識競賽，題庫中共有1000道試題，其中有500道A類題，300道B類題，200道C類題．根據(jù)以往經(jīng)驗，某同學(xué)答對A，B，C三類試題的概率分別為．若該同學(xué)從題庫中隨機選一道試題作答，則他答對的概率是________．【答案】【解析】設(shè)學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，設(shè)學(xué)生答對試題為事件，則，，，，，，所以.故答案為：.13.在中，點D在邊BC上，，則________．【答案】【解析】不妨設(shè)，因，由正弦定理可得，則，即，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象與直線交于A，B兩點，且在處取得極值．設(shè)，若，則的面積為________．【答案】【解析】令，顯然定義域為，由，故為偶函數(shù)，由，在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，且、上，上，在區(qū)間內(nèi)趨向時趨向正無窮，在、內(nèi)趨向時趨向負無窮，顯然在處取得極小值，為，故的大致圖象如下，根據(jù)與的平移關(guān)系，若與的交點，則，極值點，當(dāng)，結(jié)合對稱性易知，，又，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為/片．由于升級了生產(chǎn)工藝，需檢驗采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達標(biāo)，現(xiàn)隨機抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．（1）計算樣本的平均數(shù)和方差；（2）判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達標(biāo)（若，則認為采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分不達標(biāo)；反之認為達標(biāo)）．解：（1），.（2）因為，，所以，故采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分達標(biāo)．16.已知數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．（1）證明：因，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.（2）解：（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設(shè)的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.17.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，求a的值；（3）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，．（1）解：由題設(shè)且，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值；（2）解：由，則，故切線方程為，而，令，則，所以切點為，且在上，所以，可得；（3）證明：由，問題等價于當(dāng)，時，恒成立，令且，則，所以，對于且，則，所以，，即在上單調(diào)遞增，，，即在