提高專題1函數(shù)背景下的解不等式問題探究一數(shù)形結合法解不等式探究一數(shù)形結合法解不等式數(shù)形結合思想解不等式的思路：=1\*GB2⑴將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何式，如9-x2≤kx+2=2\*GB2⑵解不等式fx>0：=1\*GB3①作出fx的圖象，則圖象上在x軸上方的圖象在x軸上覆蓋的范圍即為不等式的解集；=2\*GB3②將fx>0轉(zhuǎn)化為gx>hx,則gx的圖象在hx=3\*GB2⑶形如ffx,fgx結構的復合函數(shù)，通常采用換元法來解決，例如解不等式ffx<1，可令t=f(x)，則t=f(x)且f(t)<1；結合f(x)的圖象由f(t)<1得到t∈(a,b)，即a<f(x)<b，再結合【典例精講】例1.(2023·江蘇省徐州市聯(lián)考)已知f(x)是定義在-5,5上的偶函數(shù)，當-5≤x≤0時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)sinx<0的解集為(

)

A.(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5] B.(-π,-2)∪(π,5]

C.[-5,-2)∪(0,π)∪(π,5] D.[-5,-2)∪(π,5]例2.(2023·浙江省杭州市期末)已知二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移2個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則不等式g(x)>log2x的解集是(

)

A.(0,1) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2)例3.(2023·湖北省宜昌市月考)（多選）已知函數(shù)f(x)=(3x-1)ex-a(x-2),若關于x的不等式f(x)<0恰好有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的值不可能為(

)A.74e2 B.43e C.【拓展提升】練11(2023·湖北省荊門市月考)已知f(x)=x2+x?,x?≥?0?,-x2練12(2023·陜西省高考數(shù)學質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為2π，f(0)=1.則下列選項正確的是A.ω=π2

B.f(x)的圖象的對稱軸方程為x=kπ-2π3(k∈Z)

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-練13(2023·河北省石家莊市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex-asinx,x>0-x2+(a-1)x+a,x≤0，若關于x的不等式f(x)≥0探究探究二單調(diào)性法解不等式【方法儲備】1.利用單調(diào)性解不等式的思路：確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和奇偶性；將不等式轉(zhuǎn)化為fa<fb的結構；2.常見問題：=1\*GB2⑴解fa<fb型不等式：利用函數(shù)的單調(diào)性，得到關于a,b的不等式（組）；=2\*GB2⑵解fa<m型不等式：結合題干得到fb=m,轉(zhuǎn)化為f=3\*GB2⑶fx為奇函數(shù)，解fa+fb<0型不等式=4\*GB2⑷構造函數(shù)解不等式：結合題干式子結構，利用導數(shù)四則運算，或同構思想等構造函數(shù)，利用構造的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式.【典例精講】

例4.(2023·湖北省武漢市月考)已知函數(shù)fx=log2x+a,x≥12x-2+A.-∞,-1 B.2,+∞ C.-1,2 D.-1,2例5.(2023·浙江省臺州市模擬)已知f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f'(x)，且f'(x)-2f(x)>0，f(12)=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則關于x的不等式f(lnx)<xA.(0,e2) B.(0,e)例6.(2023·重慶市市轄區(qū)月考)設函數(shù)f(x)=x-1x+1lnx，則不等式f(x)>f(2x+1A.(0,14) B.(0,33-1【拓展提升】練21(2023·江蘇省無錫市期中)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：f(2+x)-f(2-x)=(x+2)f(2)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則下列說法錯誤的是(

)A.當n∈Z時，f(2n+1)≠0

B.若f(x)=0，則x=2n(n∈Z)

C.若x1,x2∈-1,1，且x1+x2練22(2023·廣東省茂名市月考)已知函數(shù)f(x)=ln(9x2+1-3x)+sinA.{x|x<-1或x>1} B.{x|x>1}

C.{x|x<-1} D.{x|-1<x<1}練23(2023·河南省開封市期中)已知函數(shù)f(x)=(x+1)sinx+cosx，，若對于任意的x1，x2∈[0,π2探究三同構法解探究三同構法解不等式1.同構的思想：將不等式兩邊構造成具有相同結構的代數(shù)式，然后用函數(shù)單調(diào)性去求解不等式.2.在不等式中的應用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系,可比較大小或解不等式.3.常見變形方式：=1\*GB3①結合已知條件，對不等式進行移項、添項、拆項等變形，使不等式兩側(cè)呈現(xiàn)相同結構，構造函數(shù).=2\*GB3②通過恒等式b=alogab和b=loga=3\*GB3③通過放縮變形，對一些指對混合不等式問題，可能要借助已知條件或切線不等式，合理放縮（在函數(shù)與導數(shù)部分闡述）.擴展：同構式的應用：1.方程：若方程fa=0fb=0,結構一致，則2.平面解析幾何：若

A(x1,y1),B(x3.數(shù)列：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于(an+1，n+1)

和(【典例精講】例7.(2023·廣東省江門市月考)已知正實數(shù)a,b滿足8(b+1)3+6b+1≤a例8.(2023·河南省鄭州市期末)已知函數(shù)f(x)=(a-1)lnx+xaex，當a<0時，?x∈(1,+∞)，都有f(x)≥0，則實數(shù)【拓展提升】練31(2023·廣東省梅州市模擬)若?x∈(0,+∞)，函數(shù)f(x)=ex-ax的圖象恒在函數(shù)g(x)=ln(ax)-x的圖象上方(無公共點)，則實數(shù)A.(0,e) B.(0,2e) C.0,1e練32(2023·陜西省渭南市模擬)已知實數(shù)a，b滿足4a+2a=3，log233b+1【答案解析】例1.解：由題意得f(x)>0,sinx<0或f(x)<0,sinx>0,

得-5≤x<-2或2<x≤5,-π<x<0或π<x≤5或-2<x<2,-5≤x<-π或例2.解：設fx=ax2+bx+c，

結合圖象可知f0=1,f-2=0，

可得4a-2b+c=0c=1，且a<0，

所以f(x)=ax2+(2a+12)x+1，

將f(x)的圖象向右平移2個單位長度得到函數(shù)g(x)=a(x-2)2+(2a+12)(x-2)+1的圖象，如圖，例3.解：由f(x)=(3x-1)ex-a(x-2)<0，得(3x-1)ex<a(x-2)，

設g(x)=(3x-1)ex，h(x)=a(x-2)，

則g'(x)=(3x+2)ex，

當x>-23時，g'(x)>0；當x<-23時，g'(x)<0，

所以g(x)在(-∞,-23)上單調(diào)遞減，在(-23,+∞)上單調(diào)遞增，

當x→-∞時，g(x)→0，當x→+∞若關于x的不等式f(x)<0恰好有兩個整數(shù)解，

這兩個整數(shù)解為0，-1，

此時g(0)<h(0),g(-1)<h(-1),g(-2)≥練11．解：令t=f(x)，

當t≥0時，f(t)=t2+t<6，解得0≤t<2;

當t<0時，f(t)=-t2+t<6，解得t<0，

則0≤f(x)<2或f(x)<0，即f(x)<2．

作出函數(shù)f(x)的圖象如下：

f(x)在R上遞增，且f(1)=2，

所以不等式ff(x)練12.解：∵函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為12∴ω=12，故A錯誤；

∵f(0)=2cosφ=1，∴cosφ=12，

又φ∈(0,π2)，∴φ=π3，f(x)=2cos(12x+π3).

令12x+π3=kπ，k∈Z，求得x=2kπ-2π3，k∈Z，

則f(x)的圖象的對稱軸方程為x=2kπ-2π3，k∈Z，故B錯誤；

令2kπ≤x2+π3≤2kπ+π，k∈Z，求得4kπ-2π3≤x≤4kπ+4π3，練13.解：由f(x)≥0的解集為[-1,+∞)，

即?x∈(0,+∞)，f(x)=ex-asinx≥0恒成立，且-x2+(a-1)x+a≥0在x≤0時的解集為[-1,0]，

(1)當x≤0時，f(x)=-x2+(a-1)x+a=-(x-a)(x+1)，

為滿足題意，其圖象應該如圖：

∴?a≥0；

(2)當x>0時，

=1\*GB3①?a=0時，f(?x)=ex≥0恒成立，滿足題意；

=2\*GB3②?a>0時，ex-asinx≥0恒成立?sinxex≤1a恒成立(?x>0)，

令g(x)=sinxex(x>0)，則g'(x)=cosx-sinxex=2cos(x+π4)ex，

由g'(x)>0得，-∴g(x)極大值=g(π4+2kπ)=22eπ4+2kπ，k∈Z，

∴k=0時，g(x)=

例4.解：當a≥1時，若f(a)=1，則log2a+a=1，解得a=1(滿足a≥1)；

當a<1時，若f(a)=1，則2a-2+12=1，解得a=1，不滿足a<1，

于是，可得a=1，故f(x)=log2x+1,x≥12x-2+12,x<1,

易知函數(shù)y=log2x+1(x?1)與函數(shù)y=2x-2+12x<1均為增函數(shù)，

又函數(shù)f(x)在x=1交接處兩邊的函數(shù)值均為1例5.解：構造函數(shù)F(x)=f(x)e2x，

F'(x)=f'(x)e2x-2f(x)e2x(e2x)2=f'(x)-2f(x)e2x，

由f'(x)>2f(x)，可得F'(x)>0，即有F(x)在R上遞增．

不等式f(lnx)<x2，即為f(lnx)x2<1，例6.解：設f(x)=x-1x+1lnx，定義域為(0,+∞)，

f(1x)=1x-11x故f'(x)=x2-1+2xlnxx(x+1)2>0，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，

0<x<1時，x2-1<0,2xlnx<0，故f'(x)=x2-1+2xlnxx(x+1)2<0，f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，

則f(x)在1處取得最小值f(1)=0，

又x<2x+12在(0,+∞)恒成立，

練21.解：因為f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)+f(x)=0，f(0)=0，令x=-2，則f(0)-f(4)=0，

所以f(4)=0，

令x=2，則f(4)-f(0)=4f(2)，

所以f(2)=0，則f(2+x)-f(2-x)=0，

所以f(2+x)=-f(x-2)

即f(4+x)=-f(x)，所以f(8+x)=-f(4+x)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，

作出函數(shù)大致圖像：

對于A，顯然n∈Z時，f(2n+1)≠0，故A正確；

對于B，若f(x)=0，因為沒有給出具體的解析式，所以不能判定x=2n(n∈Z)，故B錯誤；

對于C，若x1,x2∈-1,1，且x1+x2>0，不妨設x1>x2，則x1>x2，

又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則fx1>fx2，所以f(x1)+f(x2)>0，故C正確;

對于D，若2x-9>0，則f(x-4)>0練22.解：構造函數(shù)g(x)?=?f(x)-2=ln(9x2+1-3x)+sinx-x．

因為g(-x)+g(x)=0，

所以g(x)是奇函數(shù)．

因為ln(9x2+1-3x)=ln19x2+1+3x，

(sinx-x)'=cosx-1≤0，

所以練23.解：由題意，函數(shù)f(x)=xsinx+sinx+cosx，

求導得f'(x)=xcosx+cosx=(x+1)cosx，

則由x∈[0,π2]可知f'(x)≥0恒成立，故f(x)在x∈[0,π2]單調(diào)遞增，

不妨設x1<x2，則|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1),|ex1-ex例7.解：將不等式變形成

2b+13又因為

a,b

都是正數(shù)，所以

a>0,2b+1可構造函數(shù)

fx=由2b+13即

f2b+1≤fa

，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得則

2a+3b≥4b+1當且僅當

a=2b+1,4b+1=3因此

2a+3b

的最小值是

43故答案為：

4例8.解：∵?x∈(1,+∞)，都有f(x)≥0，

∴(a-1)lnx≥-xaex恒成立，即(a-1)lnxxa-1≥-xex恒成立，

∴x1-alnx1-a≤xex，即x1-alnx1-a≤ex·ln?ex，

設gx∵x>1，∴l(xiāng)nx>0，則記hx∵h'x=lnx-1lnx2，∴當x>e時，當1<x<e時，h'x<0，即hx∴hx≥he=e，即1-a≤e，解得1-e≤a．則實數(shù)a的最小值為1-e．故答案為1-e．練