第09講空間幾何體的結(jié)構(gòu)與直觀圖（核心考點(diǎn)講與練）考點(diǎn)考點(diǎn)考向1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線(xiàn)互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3能力拓展能力拓展題型一：柱體一、單選題1．（2021·上海·位育中學(xué)高二期中）給定一個(gè)正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得到四面體?四棱柱等類(lèi)型的多面體以外，還能得到的多面體的類(lèi)型可以含有（

）A．五棱柱?七面體 B．五棱柱?六棱錐C．六棱錐?七面體 D．以上答案都不正確【答案】A【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，分別取的中點(diǎn)，即可得到一個(gè)直五棱柱，即可求解.【詳解】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，分別連接，可得幾何體為一個(gè)直五棱柱，且為七面體.故選：A.2．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列命題是假命題的是（

）A．棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形B．將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；C．正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；D．將直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.【答案】D【分析】由棱柱、圓柱、正棱錐、圓錐的定義逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A：由棱柱的定義得棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；對(duì)于B：由圓柱的定義得將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱，故B正確；對(duì)于C：由正棱錐的定義得正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心，故C正確；對(duì)于D：將直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不是圓錐，故D不正確，所以假命題的是D選項(xiàng)，故選：D.3．（2021·上海市建平中學(xué)高二期中）以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體【答案】A【分析】直接利用正棱柱和正棱錐體的定義判定A、B、C、D即可得出答案．【詳解】解：對(duì)于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；對(duì)于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯(cuò)誤．故選：A．4．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列四種說(shuō)法中：①有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；②相等的線(xiàn)段在直觀圖中仍然相等；③一個(gè)直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐.正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】直接根據(jù)棱柱的定義，平面圖形和直觀圖的應(yīng)用，圓錐的定義即可判斷出正誤.【詳解】對(duì)于①，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱；如圖，該幾何體滿(mǎn)足①中條件，卻不是棱柱；故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，相等的線(xiàn)段在直觀圖中不一定相等，例如正方形在直觀圖中是鄰邊不等的平行四邊形，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，一個(gè)直角三角形繞其一直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐，故③錯(cuò)誤.故選：A.5．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線(xiàn)垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（

）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值【答案】B【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展開(kāi)在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，考查的位置，確定【詳解】解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展開(kāi)在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，如圖所示而多邊形的周界展開(kāi)后便成為一條與平行的線(xiàn)段（如圖中），顯然，，所以為定值，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱(chēng)到時(shí)，為正三角形，則當(dāng)周長(zhǎng)這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B6．（2021·上海市第三女子中學(xué)高二期末）《九章算術(shù)》中，稱(chēng)底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)是正四棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正四棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】先找出包含的底面矩形，再根據(jù)圖形特征，逐個(gè)計(jì)數(shù)即可.【詳解】如圖，若包含的底面矩形為，則頂點(diǎn)可以從，，，中選取，故有四個(gè)不同的陽(yáng)馬；若包含的底面矩形為，則頂點(diǎn)可以從，，，中選取，故有四個(gè)不同的陽(yáng)馬；若包含的底面矩形為，則從，，，中任取一個(gè)作為頂點(diǎn)，都不符合陽(yáng)馬，故舍去.綜上可知，以為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是8個(gè).故選：B.7．（2021·上海·曹楊二中高二期末）在如圖所示的棱長(zhǎng)為20的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過(guò)點(diǎn)且與垂直的正方體截面的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，以及正方體的截面的性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，因?yàn)?，可得，在正方體中，平面，所以又,所以平面,平面,所以過(guò)作交于點(diǎn)，則,設(shè)則,所以，即,則所以在正方形中，取的中點(diǎn)，連接則與,則所以,即取的中點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，則又平面,所以,由所以平面，所以又，所以平面連接，過(guò)作,由，則，所以(且)連接，則四邊形為梯形，所以平面所以截面的形狀為四邊形邊形.故選：B.8．（2021·上海青浦·高二期末）如圖，正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、、的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)，，的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三棱錐，減去兩個(gè)小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則過(guò)點(diǎn)，，的截面下方體積為：，∴另一部分體積為，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的割補(bǔ)問(wèn)題，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.二、填空題9．（2021·上?！らh行中學(xué)高二期中）①直四棱柱一定是長(zhǎng)方體；②正方體一定是正四棱柱；③底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；④有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等；以上說(shuō)法中正確的命題有______（寫(xiě)出正確的命題序號(hào)）【答案】②④⑤【分析】根據(jù)直棱柱、正四棱柱、平行六面體的概念和結(jié)構(gòu)特征依次判斷①②③④⑤，即可得正確答案.【詳解】①側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是長(zhǎng)方形的直四棱柱才是長(zhǎng)方體.底面如果不是長(zhǎng)方形或正方形，則該直四棱柱不是長(zhǎng)方體，故①錯(cuò)誤；②上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方體，故②正確；③底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形且側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③錯(cuò)誤；④有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說(shuō)明側(cè)棱與底面兩條相交直線(xiàn)垂直，則側(cè)棱與底面垂直，所以有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正確；⑤直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，因此側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，故⑤正確.故答案為：②④⑤.10．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）在直三棱柱中，，點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_________.【答案】【分析】連接，沿將展開(kāi)與在同一個(gè)平面內(nèi)，在上取一點(diǎn)與構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知的最小值是的連線(xiàn)，再利用余弦定理可得解.【詳解】連接，沿將展開(kāi)與在同一個(gè)平面內(nèi)，在上取一點(diǎn)與構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知的最小值是的連線(xiàn)，因?yàn)橹比庵?，，，，所以矩形是邊長(zhǎng)為的正方形，則，又在矩形中，，則，又，所以，則，在中，利用余弦定理可得：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點(diǎn)之間的距離公式，其中將沿展開(kāi)，將一個(gè)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)求兩點(diǎn)之間的距離公式的問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.11．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，長(zhǎng)方體中，AB＝4，BC＝10，，P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PC的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】將半平面沿翻折到且平面與平面位于同一平面，連接與交于點(diǎn)，此時(shí)即為的最小值，再利用余弦定理求出即可；【詳解】解：如圖將半平面沿翻折到且平面與平面位于同一平面，截面圖如下所示：連接與交于點(diǎn)，此時(shí)即為的最小值，因?yàn)?，，，所以，，，所以所以所以故答案為?2．（2021·上海市控江中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)作正方體的截面，則該截面的面積是___________．【答案】【分析】先確定截面為等腰梯形，畫(huà)出平面圖形，計(jì)算即得解.【詳解】如圖，在正方體中，E是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)作正方體的截面為等腰梯形．畫(huà)出平面圖形，過(guò)點(diǎn)作,垂足為.因?yàn)椋?，，所以，所以截面的面積為.故答案為：13．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）向體積為的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為的液體，旋轉(zhuǎn)容器，若液面恰好經(jīng)過(guò)正方體的某條對(duì)角線(xiàn)，則液面邊界周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______________．【答案】【分析】根據(jù)正方體的截面性質(zhì)，將繞旋轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短求得即可.【詳解】解：當(dāng)液面過(guò)時(shí)，截面為四邊形，將繞旋轉(zhuǎn)，此時(shí)如圖所示：則，當(dāng)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，故周長(zhǎng)最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14．（2021·上?！の挥袑W(xué)高二期中）已知長(zhǎng)方體的表面積為24，過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為6，則它的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)出長(zhǎng)寬高，表示出表面積和棱長(zhǎng)之和，得到關(guān)系式即可求解.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則由圖可得，可得，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為.故答案為：.15．（2021·上海徐匯·高二期末）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】將平面與平面延展至同一平面，由、、三點(diǎn)共線(xiàn)可求得的最小值.【詳解】如下圖所示，將平面與平面延展至同一平面，，延展后，，由勾股定理可得.由圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中折線(xiàn)長(zhǎng)度的最值問(wèn)題的求解，一般要求將兩個(gè)平面延展至同一平面，利用三點(diǎn)共線(xiàn)來(lái)處理，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題16．（2021·上海寶山·高二期末）如圖，在正四棱柱中，，，M為棱的中點(diǎn)（1）求三棱錐的體積；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)在正四棱柱中求出點(diǎn)M到平面的距離即可作答；(2)連，證得是直線(xiàn)與平面所成角，再經(jīng)計(jì)算即得.【詳解】（1）在正四棱柱中，連，如圖，平面，平面，則棱的中點(diǎn)到平面的距離就是，所以；（2）在正四棱柱中，平面，連，則是在平面內(nèi)射影，是直線(xiàn)與平面所成的角，而，，則，因此，在中，，于是得，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.題型二：棱錐一、單選題1．（2021·上?！とA師大二附中高二期中）幾何體的表面上有三條線(xiàn)段，有所在直線(xiàn)兩兩異面，則在①棱柱；②棱錐；③圓柱；④圓錐；⑤球中，有可能是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤【答案】A【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)的定義以及幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可求解.【詳解】由圖可知，有可能是棱柱，由圖可知，有可能是棱錐，由圖可知，有可能是圓柱，由于圓錐側(cè)面上的直線(xiàn)都相交于一點(diǎn)，所以不可能存在三條兩兩異面的直線(xiàn)，故不可能為圓錐；球的表面不存在直線(xiàn)，故故不可能為球.故選：A2．（2021·上海市延安中學(xué)高二期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐不可能是正六棱錐D．一個(gè)直角三角形繞一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐【答案】C【分析】對(duì)于A、B、D舉出反例即可判斷，C選項(xiàng)假設(shè)正六棱錐，推出矛盾即可.【詳解】A：如圖，各個(gè)面均是三角形，但不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；B：球不能展開(kāi)為平面圖形，故B錯(cuò)誤；C：若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面是正六邊形，由過(guò)中心和頂點(diǎn)的截面可知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然大于底面的邊長(zhǎng)，所以該棱錐不可能是正六棱錐，故C正確；D：直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)由兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體，故D錯(cuò)誤,故選：C.3．（2021·上?！らh行中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)均為的正四面體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正四面體中,由平面,找出在平面上的射影,再沿展開(kāi)平面,使之與平面重合,此時(shí),的最小值即為點(diǎn)到的距離,最后,結(jié)合數(shù)據(jù)解三角形即可.【詳解】由題知,在正四面體中,為中點(diǎn),,平面,設(shè)中點(diǎn)為,連,為中點(diǎn),,且,平面,即為在平面上的射影,沿展開(kāi)平面,使之與平面重合,此時(shí),的最小值即為點(diǎn)到的距離,故過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),又,,,,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體中的距離最值問(wèn)題,需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象和思維能力,綜合性較強(qiáng).在解決此類(lèi)最值問(wèn)題時(shí),一般采用側(cè)面展開(kāi)的形式,將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.二、填空題4．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）將一段長(zhǎng)12的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段，使三段長(zhǎng)分別為3?4?5，則原鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__________.【答案】【分析】將所折鐵絲用空間幾何體表示，可得各側(cè)面均為直角三角形的三棱錐，進(jìn)而求原鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離.【詳解】由題意，三段分別為，如下圖示，∴，又，即面，又面，故，∴.故答案為：5．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期中）已知在正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，棱錐的高為，則該四棱錐的側(cè)面積等于______．【答案】【分析】由正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，可知其側(cè)面為等邊三角形，從而求得側(cè)面積.【詳解】如圖，由正四棱錐的性質(zhì)知，平面在直角中，，，則所以該正四棱錐的側(cè)面為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以側(cè)面積故答案為：6．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）在正四棱錐PABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱BP與底面所成角的大小為60°，則該四棱錐的高等于___________.【答案】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，將求高轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形內(nèi)求.【詳解】設(shè)點(diǎn)在P在底面ABCD的投影為O.根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，O為AC和BD的交點(diǎn)，為直角三角形，由題意可知，，.所以正四棱錐PABCD的高，.故答案為：.7．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖所示，在側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐中，，過(guò)作截面，周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】將三棱錐沿著剪開(kāi)，將側(cè)面、、延展至同一平面，計(jì)算出的長(zhǎng)，即為周長(zhǎng)的最小值.【詳解】如圖，將三棱錐沿側(cè)棱剪開(kāi)，并將其側(cè)面展開(kāi)平鋪在一個(gè)平面上，則線(xiàn)段的長(zhǎng)即為所求的周長(zhǎng)的最小值．取的中點(diǎn)，連接，則，.在中，，則，即周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€(xiàn)或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題．三、解答題8．（2021·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)是3，是在底面上的射影，，是上的一點(diǎn)，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形．（1）在圖中作出截面，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；（2）求該截面面積的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）9.【解析】（1）根據(jù)題意，作輔助線(xiàn)，過(guò)作，且過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

即可得出截面；（2）由題意可知，截面，截面，根據(jù)平面，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判定，可證出平面，則，進(jìn)而得出，所以截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，設(shè)，則，截面面積為，根據(jù)，代入計(jì)算，最后利用二次函數(shù)求得最大值.【詳解】解：（1）由題可知，是上的一點(diǎn)，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形，過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)作，交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，，，所以共面，平面，，平面，平面，同理平面.所以過(guò)且與、都平行的截面如下圖：（2）由題意可知，截面，截面，，，而是在底面上的射影，，平面，，，且，所以平面，則，，又，為正四棱錐，，故，于是，因此截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，因，則為等腰直角三角形，設(shè)，則，所以，，，同理得，，又因?yàn)?，設(shè)截面面積為，所以，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為9.所以截面的面積最大值為9.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線(xiàn)面平面的性質(zhì)進(jìn)行作圖和截面的面積最大值的求法，還涉及線(xiàn)面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理，考查空間想象能力和計(jì)算能力.題型三：棱臺(tái)一、單選題1．（2021·上?！らh行中學(xué)高二期中）兩個(gè)體積分別為，的幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間，任意一個(gè)平行于這兩個(gè)平面的平面截這兩個(gè)幾何體，截得的截面面積分別為，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由祖暅原理，再結(jié)合充分條件，必要條件的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)祖暅原理，①由，得到，必要性成立，②由，則，不一定相等，例如兩個(gè)完全相同的棱錐，分別正置和倒置，充分性不成立，是的必要不充分條件，故選：B．二、填空題2．（2021·上海市控江中學(xué)高二期中）若正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則它的側(cè)面積為_(kāi)__________.【答案】100【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，借助其高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成的直角梯形求出斜高即可計(jì)算得解.【詳解】因正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則該正四棱臺(tái)上底、下底面邊心距分別為1，4，而正四棱臺(tái)的高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成直角梯形，于是得斜高，因此，側(cè)面積，所以所求的側(cè)面積為100.故答案為：100三、解答題3．（2021·上?！げ軛疃懈叨A段練習(xí)）如圖，水平放置的正四棱臺(tái)玻璃容器的高為，兩底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為，水深為.(1)求正四棱臺(tái)的體積；(2)將一根長(zhǎng)的玻璃棒放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.（容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合臺(tái)體的體積公式，即可求出結(jié)果.（2）設(shè)玻璃棒在上的點(diǎn)為，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，推導(dǎo)出為等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度．(1)解：由題意可知，下底面正方形的邊長(zhǎng)為，上底面正方形的邊長(zhǎng)為，所以下底面面積為，上底面的面積，又臺(tái)體的高為，所以正四棱臺(tái)的體積(2)解：設(shè)玻璃棒在上的點(diǎn)為，則，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵為正四棱臺(tái)，∴，，∴為等腰梯形，畫(huà)出平面的平面圖，∵，∴，由勾股定理得：，，根據(jù)正弦定理得：，，，．∴玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為．題型四：圓柱一、填空題1．（2021·上海市松江二中高二期中）已知一個(gè)圓柱的底面直徑為，其表面積等于側(cè)面積的，則該圓柱的軸截面周長(zhǎng)為_(kāi)_____________.【答案】【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的等式，求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)圓柱的高為，該圓柱的表面積為，側(cè)面積為，由題意可得，解得，因此，該圓柱的軸截面周長(zhǎng)為.故答案為：.2．（2021·上?！の挥袑W(xué)高二階段練習(xí)）已知圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，為母線(xiàn)，則繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的最短路程為_(kāi)______________【答案】【分析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)即可求得結(jié)果.【詳解】由圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖可知，繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的最短路程為.故答案為：.3．（2021·上海市中國(guó)中學(xué)高二階段練習(xí)）圓柱底面半徑為3，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，一只小蜘蛛從某條母線(xiàn)上的一端點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱表面爬行一周到該母線(xiàn)的另一個(gè)端點(diǎn)，則蜘蛛所走的最短路程為_(kāi)_____．【答案】【分析】把圓柱側(cè)面展開(kāi)后得一矩形，矩形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為所求最短距離．【詳解】沿這條母線(xiàn)展開(kāi)圓柱側(cè)面是一矩形，矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)為，矩形的寬為圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)5，矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，即為所求最短距離．故答案為：4．（2022·上海民辦南模中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）若一圓柱的側(cè)面積為，則經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面積為_(kāi)_____【答案】6【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式得關(guān)系式，再根據(jù)圓柱的軸的截面積求結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面面積半徑為，高為，則，即，因此圓柱的軸的截面積為故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積與軸截面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．（2019·上海市金山中學(xué)高二階段練習(xí)）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度是母線(xiàn)的長(zhǎng)度；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度是母線(xiàn)的長(zhǎng)度；③圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在直線(xiàn)互相平行；④過(guò)球上任意兩點(diǎn)有且只有一個(gè)大圓；其中正確命題的序號(hào)是_____【答案】②③【分析】根據(jù)圓柱母線(xiàn)垂直于底面的特點(diǎn)可知①錯(cuò)誤，③正確；由圓錐的特點(diǎn)可知②正確；當(dāng)兩點(diǎn)連線(xiàn)為球的直徑時(shí)，可知④錯(cuò)誤.【詳解】①若上下頂面兩點(diǎn)連線(xiàn)不垂直于底面，則兩點(diǎn)連線(xiàn)長(zhǎng)度不是母線(xiàn)的長(zhǎng)度，①錯(cuò)誤；②由圓錐的特點(diǎn)可知，圓錐頂點(diǎn)到底面圓周上任意一點(diǎn)長(zhǎng)度相等，均為母線(xiàn)長(zhǎng)度，②正確；③圓柱的母線(xiàn)均垂直于底面，所以任意兩條母線(xiàn)所在直線(xiàn)互相平行，③正確；④若兩點(diǎn)連線(xiàn)為球的直徑，則過(guò)兩點(diǎn)有兩個(gè)大圓，④錯(cuò)誤.故答案為②③【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.題型五：圓錐一、單選題1．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列命題是假命題的是（

）A．棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形B．將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；C．正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；D．將直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.【答案】D【分析】由棱柱、圓柱、正棱錐、圓錐的定義逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A：由棱柱的定義得棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；對(duì)于B：由圓柱的定義得將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱，故B正確；對(duì)于C：由正棱錐的定義得正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心，故C正確；對(duì)于D：將直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不是圓錐，故D不正確，所以假命題的是D選項(xiàng)，故選：D.2．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為??，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為??，，即為斜邊，分別求得??的值，可得結(jié)論.【詳解】設(shè)直角三角形的三邊分別為、、，，即為斜邊，則以邊所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則V1以邊所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則V2=1以邊所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則V3=1∴1故選：C.二、填空題3．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為_(kāi)___________【答案】2【分析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值．【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線(xiàn)，設(shè)軸截面頂角為，因?yàn)閳A錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為，則，截面的面積為，因?yàn)?，所以時(shí)，．故答案為：2．4．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）若一個(gè)圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為，則該圓錐的高為_(kāi)_________.【答案】【分析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由已知得，求得，由勾股定理可得解.【詳解】圓錐的底面半徑為1，故圓錐的底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)可得：，解得：所以圓錐的高故答案為：5．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的中心角為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】求出圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)和底面半徑后可得．【詳解】設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面半徑為，則，，又，，所以側(cè)面積為．故答案為：．6．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）如圖，一圓錐形物體的母線(xiàn)長(zhǎng)為，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處.若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于___________.【答案】【分析】沿圓錐的一條母線(xiàn)將圓錐剪開(kāi)，設(shè)小蟲(chóng)爬行的最短路程為，利用余弦定理結(jié)合的取值范圍求出的大小，再利用側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)可求得圓錐底面圓的半徑，即為所求.【詳解】由題意，沿圓錐的一條母線(xiàn)將圓錐剪開(kāi)，其側(cè)面如圖所示，設(shè)小蟲(chóng)爬行的最短路程為，在中，，，由余弦定理可得，，故，設(shè)圓錐底面圓半徑為，則，解得.故答案為：.三、解答題7．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖所示，一只小螞蟻正從圓錐底面上的點(diǎn)A沿圓錐體的表面勻速爬行一周，又繞回到點(diǎn)A，已知該圓錐體的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，試問(wèn)小螞蟻沿怎樣的路徑如何爬行，才能最快到達(dá)點(diǎn)A?并求出該路徑的長(zhǎng).【答案】沿線(xiàn)段爬行；.【分析】把圓錐沿過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)展成扇形，由題意得到螞蟻爬行的最短路徑為線(xiàn)段；利用扇形的弦長(zhǎng)與半徑即可求出，過(guò)作于點(diǎn)，通過(guò)在中求出的長(zhǎng)即可求線(xiàn)段的長(zhǎng).【詳解】把圓錐沿過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)展成如圖所示的扇形，則螞蟻爬行的最短路徑為線(xiàn)段，由題意知，圓錐的底面周長(zhǎng)為，，設(shè)，則，過(guò)作于點(diǎn)，則，在中，，，所以.所以小螞蟻沿線(xiàn)段爬行，才能最快到達(dá)點(diǎn)A，且該路徑的長(zhǎng)為.題型六：球一、填空題1．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）已知球的半徑為1，A、是球面上兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的長(zhǎng)為，則A、兩點(diǎn)間的球面距離為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可求得，從而可求得弧AB的長(zhǎng)度，即A、兩點(diǎn)間的球面距離.【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃綖?，A、是球面上兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的長(zhǎng)為，則，所以，所以弧AB長(zhǎng)度為，即A、兩點(diǎn)間的球面距離為.故答案為：.2．（2021·上海·格致中學(xué)高二階段練習(xí)）若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為，則球的體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】計(jì)算出球體的半徑，利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，球體的半徑為，故該球體的體積為.故答案為：.3．（2020·上海市金山中學(xué)高二期末）若一個(gè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為1，且其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____．【答案】.【分析】根據(jù)題意得到上下底面中心的連線(xiàn)的中點(diǎn)就是外接球的球心，結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，三棱柱是所有棱長(zhǎng)都是1的正三棱柱，設(shè)上下底面的中心連線(xiàn)的中點(diǎn)為，則即為外接球的球心，其中球的半徑為，如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，在直角中，可得，在直角中，可得，由勾股定理可得，所以外接球的表面積為.故答案為：.4．（2021·上海市金山中學(xué)高二期末）已知是體積為的球面上兩點(diǎn)，為球心，且的球面的距離是，則_______【答案】【分析】根據(jù)球的體積公式可得半徑，由球面距離可確定所對(duì)的球心張角，由此可得.【詳解】球的體積，球的半徑，的球面距離是，兩點(diǎn)所對(duì)球心的張角為，.故答案為：.5．（2021·上?！とA師大二附中高二期末）已知球O的半徑為1，A?B是球面上兩點(diǎn)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，則A?B兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)__________.【答案】【分析】由已知中球O的半徑為1，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，求得，求出弧AB的長(zhǎng)度，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)榍騉的半徑為1，A?B是球面上兩點(diǎn)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，在中，，又，則，所以A?B兩點(diǎn)的球面距離為.故答案為：.6．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二期中）某公司周年慶典活動(dòng)中，制作的“水晶球”工藝品如圖所示，底座是用一邊長(zhǎng)為2m的正方形鋼板，按各邊中點(diǎn)連線(xiàn)垂直折起四個(gè)小三角形制成，再將一個(gè)水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高點(diǎn)到底座底面的距離為(＋1)m，則水晶球的表面積為_(kāi)______m2.【答案】4π【解析】根據(jù)條件求得四個(gè)小三角形的項(xiàng)點(diǎn)所在平面截球面得小圓的半徑，由勾股定理求得球心到小圓圓心的距離、小圓面到底座的距離和球的的半徑和即為水晶球最高點(diǎn)到底座底面的距離可得答案.【詳解】如圖，原邊長(zhǎng)為2正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為，四個(gè)邊的中點(diǎn)分別是，且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，折起后正方形四個(gè)點(diǎn)在底面上的射影分別為，是正方形的中點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以，即則四個(gè)小三角形的項(xiàng)點(diǎn)所在平面截球面得小圓的半徑為，由勾股定理求得球心到小圓圓心的距離為，小圓面到底座的距離為，設(shè)球的半徑為R，由條件得R＋＋＝＋1，解得R＝1，所以水晶球的表面積4πm2.故答案為：4π.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題中的隱含條件，合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合法的合理運(yùn)用.7．（2022·上海交大附中高二開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是________．【答案】【分析】由題意，小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近變得切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，做出面積相減，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近變得切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為，所以幾何體的四個(gè)面永遠(yuǎn)不可能接觸到容器的內(nèi)壁的面積是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是看出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，得到一個(gè)正三角形，通過(guò)計(jì)算正三角形的面積之間的關(guān)系，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.題型七：旋轉(zhuǎn)體、多面體、組合體一、填空題1．（2021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）如圖，是邊長(zhǎng)為1的正方形，是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為_(kāi)_______________.【答案】【分析】幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)半球后剩余的部分，結(jié)合幾何特征，可得幾何體的表面積.【詳解】幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該幾何體的表面積為.故答案為：.2．（2016·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中（理））如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，，，分別以、為圓心，1為半徑作圓弧、（在線(xiàn)段上）．由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為_(kāi)_．【答案】.【分析】由旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉兩個(gè)半徑為1的半球,利用圓柱和球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓柱去掉兩個(gè)半徑為1的半球,兩個(gè)半球的體積為：.圓柱的底面半徑為1,高為2,∴圓柱的體積為,∴該幾何體的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合幾何體的面積、體積問(wèn)題.屬于基礎(chǔ)題型.3．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球與底面相切于，與側(cè)面相切于點(diǎn)B，利用相似三角形即可求出內(nèi)切球的半徑，從而求出內(nèi)切球的表面積.【詳解】如圖，由題意可知，，圓錐內(nèi)半徑最大的球滿(mǎn)足與底面相切于，與側(cè)面相切于點(diǎn)B，則，所以，設(shè)球的半徑為r，則，所以，解得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐內(nèi)切球的表面積的求法，屬于中檔題.4．（2021·上?！とA師大二附中高二期中）有一根高為，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線(xiàn)的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為_(kāi)_______.【答案】

【分析】考慮圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，將其延展一倍后矩形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度.【詳解】如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖再延展一倍，所以鐵絲的最短長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)，又，填.【點(diǎn)睛】幾何體表面路徑最短問(wèn)題，往往需要考慮幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)為平面問(wèn)題來(lái)處理.二、解答題5．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）一個(gè)幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示．（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點(diǎn)在直觀圖中所示位置，為所在母線(xiàn)中點(diǎn)，為母線(xiàn)與底面圓的交點(diǎn)，求在幾何體表面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)幾何體的組成，應(yīng)用圓錐、圓柱側(cè)面積及底面積的求法，求幾何體的表面積.（2）將所在的平面，延兩點(diǎn)所在的母線(xiàn)剪開(kāi)平展，應(yīng)用平面圖形的性質(zhì)及勾股定理求到的最短路徑長(zhǎng)．【詳解】（1）由題設(shè)，此幾何體是一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個(gè)底面積之和．圓錐側(cè)面積；圓柱側(cè)面積；圓柱底面積，∴幾何體表面積為．（2）沿點(diǎn)與點(diǎn)所在母線(xiàn)剪開(kāi)圓柱側(cè)面，展開(kāi)如圖．則．∴、兩點(diǎn)間在側(cè)面上的最短路徑長(zhǎng)為．題型八：直觀圖一、單選題1．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）水平放置的△ABC，有一邊在水平線(xiàn)上，它的斜二測(cè)直觀圖是正三角形，則△ABC是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．任意三角形【答案】C試題分析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法作平面圖形的直觀圖的原理，可得△ABC中有一個(gè)角為鈍角，得△ABC是鈍角三角形．解：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法作平面圖形的直觀圖的原理，可得△ABC中有一個(gè)角為鈍角，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的直觀圖的形狀，判斷三角形原來(lái)的形狀，著重考查了斜二測(cè)畫(huà)法作平面圖形的直觀圖和三角形形狀的判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題2．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原中的大小是_________．【答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出原幾何圖形，判斷出原為等邊三角形，從而可求的大小.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出原幾何體，如圖，易知,，所以，所以原為等邊三角形，所以.故答案為：.3．（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）如圖∶矩形A'B'C'D'的長(zhǎng)為4cm，寬為2cm，O'是A'B'的中點(diǎn)，它是水平放置的一個(gè)平面圖形ABCD的直觀圖，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為∶__________cm；【答案】20【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法還原出原圖形，結(jié)合題干中數(shù)據(jù)以及斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，計(jì)算即可【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則知與軸平行或重合的線(xiàn)段其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變；與軸平行或重合的線(xiàn)段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，且與軸平行的性質(zhì)不變.還原出原圖形如上圖所示，其中cm，cmcm所以原圖形的周長(zhǎng)為cm4．（2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）一個(gè)腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8的等腰三角形的直觀圖的面積為_(kāi)_____【答案】【分析】根據(jù)直觀圖與原圖形的面積關(guān)系直接求得.【詳解】一個(gè)腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8的等腰三角形的面積為：，即原圖形的面積為12.由得：直觀圖的面積為.故答案為：.三、解答題5．（2021·上海浦東新·高二期中）在水平放置的平面上有一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊，請(qǐng)?jiān)谄矫嫔袭?huà)出其直觀圖，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要作法.【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法作出圖形即可；【詳解】解：作圖作法：在平面內(nèi)作坐標(biāo)系，使，在軸上取，且為的中點(diǎn)，在軸上取，聯(lián)結(jié)，，則是的直觀圖.6．（2021·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）設(shè)一正方形紙片邊長(zhǎng)為4厘米，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰三角形，剩余為一正方形紙片和四個(gè)全等的等腰三角形，沿虛線(xiàn)折起，恰好能做成一個(gè)正四棱錐（粘接損耗不計(jì)），圖中，為正四棱錐底面中心．，（1）若正四棱錐的棱長(zhǎng)都相等，請(qǐng)求出它的棱長(zhǎng)并畫(huà)出它的直觀圖示意圖；（2）設(shè)等腰三角形的底角為，試把正四棱錐的側(cè)面積表示為的函數(shù)，并求范圍．【答案】（1），畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2），.【分析】（1）本題根據(jù)題意先求，再根據(jù)題意建立方程求棱長(zhǎng)；最后根據(jù)棱長(zhǎng)畫(huà)出它的直觀圖即可；（2）先設(shè)，接著建立方程用表示出，再表示出，最后根據(jù)的范圍求范圍即可解題.【詳解】（1）由題意，設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，，（2）設(shè)，則，由，可得，從而，其中，∴【點(diǎn)睛】本題考查畫(huà)幾何體的直觀圖、根據(jù)幾何體的邊角關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系并求范圍，是中檔題.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）在斜棱柱的側(cè)面中，矩形最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的特征判斷可得；【詳解】解：棱柱的側(cè)面是平行四邊形，故該側(cè)面為矩形只需側(cè)面的兩條相鄰邊互相垂直，即側(cè)棱與該側(cè)面和底面的公共邊垂直.假設(shè)斜棱柱的側(cè)面中有一個(gè)矩形，則該矩形側(cè)面與底面的公共邊與側(cè)棱垂直，該公共邊記為邊，由于是斜棱柱，所以底面的其他邊要與側(cè)棱垂直，當(dāng)且僅當(dāng)它與邊平行，否則側(cè)棱會(huì)垂直于底面，不再是斜棱柱，而棱柱的底面有且最多有另外一條邊與邊平行，故整個(gè)底面最多有兩條邊與側(cè)棱垂直，即斜棱柱的側(cè)面最多有兩個(gè)矩形.故選：A2．（2021·上?！とA師大二附中高二期中）如果一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個(gè)圓錐的軸截面的頂角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則球的半徑也為，由題意可得求得，從而可求出母線(xiàn)長(zhǎng)，然后利用余弦定理可求得答案【詳解】解：幾何體的軸截面如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則球的半徑也為，因?yàn)閳A錐的體積恰好等于半球的體積，所以，得，所以，設(shè)圓錐的軸截面的頂角為，則，故選：C3．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）如圖、用斜二測(cè)畫(huà)法作△的直觀圖得△，其中，是邊上的中線(xiàn)，由圖形可知，在△（是的中點(diǎn)）中，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】還原，可知且，進(jìn)而通過(guò)圖形可判斷出結(jié)果.【詳解】由直觀圖畫(huà)出如圖所示其中，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確，D錯(cuò)誤故選：C二、填空題4．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期中）棱長(zhǎng)為6的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正四面體，正四面體的中心（正四面體的中心就是該四面體外接球的球心）與正方體的中心重合，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則x的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】正方體的內(nèi)切球半徑為3，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，進(jìn)而求解.【詳解】由題意得，該正四面體在棱長(zhǎng)為6的正方體的內(nèi)切球內(nèi)，故該四面體內(nèi)接于球時(shí)棱長(zhǎng)最大，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為6的正方體的內(nèi)切球半徑為如圖，設(shè)正四面體，O為底面的中心，連接，則底面，則可知，正四面體的高，利用勾股定理可知，解得：故答案為：5．（2021·上海市松江二中高二期中）已知正四棱柱中、的交點(diǎn)為，AC、BD的交點(diǎn)為，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)AB平行的平面截這個(gè)正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為_(kāi)_____________.【答案】3【分析】當(dāng)截面平行于平面時(shí)，截面面積最??；當(dāng)截面為平面時(shí)，截面面積最大，根據(jù)題設(shè)條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長(zhǎng)和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積．【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，由題知當(dāng)截面平行于平面時(shí)，截面面積最??；當(dāng)截面為平面時(shí)，截面面積最大，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)AB平行的平面截這個(gè)正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，所以，解得，于是正四棱柱的體積為.故答案為：3.6．（2021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）一平面截一球得到面積為的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是球半徑的一半，則該球的體積是________.【答案】【分析】求出截面圓的半徑，利用勾股定理求球的半徑，然后求出球的體積．【詳解】設(shè)球的半徑為，則球心到這個(gè)圓面的距離是，由，解得：，所以球的體積.故答案為：．7．（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）在三棱錐中，已知，則該三棱錐的體積為_(kāi)__________.【答案】8【分析】如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)為，解方程組求出即得解.【詳解】如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)為，由題得；；，解之得.所以.所以該三棱錐的體積為.故答案為：88．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）若平面截球O所得圓的半徑為，球的半徑為，則球心O到平面的距離為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)球的截面圓性質(zhì)計(jì)算．【詳解】，．由題意球心到截面的距離為．故答案為：．9．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形，則該圓柱的體積是___________.【答案】【分析】分析可得圓柱上下底面圓的直徑，圓柱的高，由圓柱的體積公式，即得解【詳解】由題意，圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形故圓柱上下底面圓的直徑，圓柱的高由圓柱的體積公式，故圓柱的體積故答案為：10．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）如圖，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4，點(diǎn)為母線(xiàn)的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為，則此圓錐的表面積為_(kāi)_________【答案】【分析】作出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，根據(jù)給定條件求出展開(kāi)圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線(xiàn)AB剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，如圖，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，最短距離即為線(xiàn)段BM長(zhǎng)，則有，而M是線(xiàn)段中點(diǎn)，又母線(xiàn)長(zhǎng)為4，于是得，即，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，從而有：，解得，所以圓錐的表面積為.故答案為：11．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）在北緯60°圈上有兩地，之間的球面距離為（為地球半徑），則兩地在此緯度圈上的弧長(zhǎng)等于__________.【答案】【分析】本題目要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球面的問(wèn)題，緯度指的是地面上某點(diǎn)與地心的連線(xiàn)與赤道面所成的線(xiàn)面角；球面距離是指經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)以及球心這三點(diǎn)的圓上的一段劣弧長(zhǎng)【詳解】設(shè)地球的球心為，球心角，因?yàn)榍蛎婢嚯x為，根據(jù)球面距離的定義可得：，所以，所以是等邊三角形，弦長(zhǎng)；設(shè)北緯60°所在的圓的半徑為，根據(jù)緯度的定義，則有，所以在北緯60°所在的圓中，,，所以為直徑，故答案為：12．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】分析可知正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，可直接求解.【詳解】因?yàn)檎忮F的三個(gè)側(cè)面都是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，所以正三棱錐的斜高為，所以正三棱錐的側(cè)面積為故答案為：13．（2021·上海市建平中學(xué)高二期中）從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)，則這四點(diǎn)能夠構(gòu)成不同三棱錐的個(gè)數(shù)是________（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】4【分析】根據(jù)題意，用排除法分析：先分析從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)的取法，排除其中共面的情況，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)，有種取法，其中共面，不能構(gòu)成不同三棱錐的情況有1種，則取出的四點(diǎn)能夠構(gòu)成不同三棱錐的個(gè)數(shù)是4；故答案為：4．14．（2021·上海市建平中學(xué)高二期中）A、是半徑為的球面上兩點(diǎn)，設(shè)是球心，且△是等腰直角三角形，則A、的球面距離為_(kāi)_______【答案】【分析】根據(jù)是等腰直角三角形，求出，再利用弧長(zhǎng)公式，求出