復(fù)變函數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(z)=z^2\)在\(z=1+i\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(2+2i\)B.\(2-2i\)C.\(1+i\)D.\(1-i\)2.復(fù)數(shù)\(z=3-4i\)的模為（）A.3B.4C.5D.73.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z}\)的奇點(diǎn)是（）A.\(z=0\)B.\(z=1\)C.\(z=-1\)D.無奇點(diǎn)4.下列函數(shù)中，在復(fù)平面內(nèi)處處解析的是（）A.\(f(z)=\overline{z}\)B.\(f(z)=x+iy\)C.\(f(z)=z^2\)D.\(f(z)=\frac{1}{z}\)5.\(e^{i\pi}\)的值為（）A.1B.-1C.\(i\)D.\(-i\)6.積分\(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)的值為（）A.\(2\pii\)B.\(0\)C.\(2\pi\)D.\(\pii\)7.函數(shù)\(f(z)=\sinz\)的周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.無周期8.復(fù)數(shù)\(z_1=1+i\)，\(z_2=2-i\)，則\(z_1+z_2\)等于（）A.\(3\)B.\(3+2i\)C.\(3+i\)D.\(1+2i\)9.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)的收斂半徑為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.210.函數(shù)\(f(z)=\frac{z}{z^2-1}\)在\(z=1\)處的留數(shù)為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.1D.-1二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是復(fù)數(shù)的表示形式（）A.代數(shù)形式\(a+bi\)B.三角形式\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)C.指數(shù)形式\(re^{i\theta}\)D.極坐標(biāo)形式\((r,\theta)\)2.下列函數(shù)中，是解析函數(shù)的有（）A.\(f(z)=z^3\)B.\(f(z)=e^z\)C.\(f(z)=\cosz\)D.\(f(z)=\lnz\)3.關(guān)于復(fù)變函數(shù)的積分，下列說法正確的是（）A.積分與路徑無關(guān)的函數(shù)是解析函數(shù)B.柯西積分定理適用于單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)C.閉路變形原理可用于計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分D.留數(shù)定理可用于計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)的積分4.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)包括（）A.冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂B.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析C.冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分D.收斂半徑可以通過公式計(jì)算5.復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則包括（）A.加法\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)B.乘法\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)C.除法\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)D.共軛復(fù)數(shù)\(\overline{a+bi}=a-bi\)6.下列哪些是復(fù)變函數(shù)的奇點(diǎn)類型（）A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)7.關(guān)于\(e^z\)的性質(zhì)，正確的有（）A.\(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}\)B.\(|e^z|=e^{\text{Re}(z)}\)C.\(e^z\)是以\(2\pii\)為周期的周期函數(shù)D.\(e^z\)在復(fù)平面內(nèi)處處解析8.函數(shù)\(f(z)\)在\(z_0\)處解析的充要條件是（）A.\(f(z)\)在\(z_0\)處可導(dǎo)B.\(f(z)\)在\(z_0\)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(z)\)滿足柯西-黎曼方程D.\(f(z)\)的實(shí)部和虛部具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)9.以下關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法有（）A.參數(shù)方程法B.柯西積分公式C.留數(shù)定理D.牛頓-萊布尼茨公式10.下列哪些函數(shù)的奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)（）A.\(f(z)=\frac{1}{z-1}\)B.\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)C.\(f(z)=\sin\frac{1}{z}\)D.\(f(z)=\frac{1}{z^2}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)中，\(a\)是實(shí)部，\(b\)是虛部。（）2.函數(shù)\(f(z)=\overline{z}\)在復(fù)平面內(nèi)處處解析。（）3.若\(f(z)\)在單連通區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則沿\(D\)內(nèi)任意閉曲線\(C\)的積分\(\oint_{C}f(z)dz=0\)。（）4.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\)的收斂半徑\(R\)唯一確定。（）5.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z-z_0}\)在\(z_0\)處的留數(shù)為1。（）6.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式相同。（）7.\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)是歐拉公式。（）8.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。（）9.若\(z_0\)是\(f(z)\)的可去奇點(diǎn)，則\(\lim_{z\toz_0}f(z)\)存在。（）10.復(fù)變函數(shù)的積分值只與積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑形狀無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述解析函數(shù)的定義。答案：若函數(shù)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)可微，或等價(jià)地，\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)每一點(diǎn)都滿足柯西-黎曼方程，則稱\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析。2.寫出柯西積分公式，并說明其作用。答案：柯西積分公式為\(\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\piif(z_0)\)，其中\(zhòng)(C\)為簡單閉曲線，\(z_0\)在\(C\)內(nèi)部，\(f(z)\)在包含\(C\)及其內(nèi)部的區(qū)域解析。作用是計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分。3.如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑？答案：對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\)，常用公式\(R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)（若極限存在），或\(R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)來求收斂半徑。4.簡述留數(shù)定理。答案：設(shè)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)\(z_1,z_2,\cdots,z_n\)外處處解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz=2\pii\sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f,z_k)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。答案：解析函數(shù)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)的實(shí)部\(u\)和虛部\(v\)都是調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程。反之，給定一個(gè)調(diào)和函數(shù)\(u\)，可通過柯西-黎曼方程找到其共軛調(diào)和函數(shù)\(v\)，從而構(gòu)造解析函數(shù)\(f(z)=u+iv\)。2.說明復(fù)變函數(shù)積分與實(shí)變函數(shù)積分的異同。答案：相同點(diǎn)是都有積分的基本性質(zhì)。不同點(diǎn)在于，復(fù)變函數(shù)積分路徑是復(fù)平面上曲線，與路徑有關(guān)（一般情況）；實(shí)變函數(shù)積分路徑是實(shí)數(shù)軸上區(qū)間。復(fù)變函數(shù)積分有柯西積分定理等特殊理論，實(shí)變函數(shù)積分基于實(shí)數(shù)運(yùn)算。3.探討冪級(jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。答案：冪級(jí)數(shù)用于表示解析函數(shù)，如泰勒級(jí)數(shù)展開?？赏ㄟ^冪級(jí)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，如收斂性、解析性。在計(jì)算積分、求函數(shù)值等方面也有應(yīng)用，還能借助冪級(jí)數(shù)分析函數(shù)奇點(diǎn)情況等。4.討論孤立奇點(diǎn)的分類及判斷方法。答案：孤立奇點(diǎn)分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。判斷方法：若\(\lim_{z\toz_0}(z-z_0)f(z)=0\)是可去奇點(diǎn)；若\(\lim_{z\toz_0}(z-z_0)^mf(z)\)為非零有限值（\(m\)為正整數(shù)）是\(m\)級(jí)極點(diǎn)；若\(\lim_{z\toz_0}f(z)\)不存在且不為無窮是本性奇點(diǎn)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.C