1.2.3直線與平面的夾角TOC\o"13"\h\u題型1用定義法求斜線和平面的夾角 2題型2最小角定理求斜線和平面的夾角 4題型3向量法求斜線和平面所成的角 5題型4探索性習題 8知識點一.直線與平面的夾角1.直線與平面垂直：直線與平面的夾角為90°.2.直線與平面平行或在平面內：直線與平面的夾角為0°.3.斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內的射影所成的角，叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）知識點二.最小角定理1.線線角、線面角的關系式：如圖，AB⊥α，則圖形θ，θ2.最小角定理：斜線和它在平面內的射影所成的角，是斜線和這個平面內所有直線所成角中最小的角.知識點三.用空間向量求直線與平面的夾角1.定義：設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，直線與平面所成的角為θ，u與n的角為φ，則有sinθ=__cosφ

____=___2.范圍：[0,π2]題型1用定義法求斜線和平面的夾角【方法總結】計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度?，從而不必作出線面角，則線面角θ滿足sinθ=?（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設a為直線l的方向向量，n為平面的法向量，則線面角θ的正弦值為sinθ【例題1】（20222023學年）在正方體ABCD?A1B1

(1)求三棱錐A?(2)當O1是上底面A1B【變式11】1.（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長為2的正四面體A?BCD中，E為等邊三角形ACD的中心，F(xiàn),

(1)用BA,BC,BD表示(2)求直線FG與平面ACD所成角的正弦值.【變式11】2.（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分別為AB(1)求證：平面PAC⊥平面PBD(2)若PE=3，求點B到平面PEM(3)若PE=3，求直線PB與平面PEM【變式11】3.（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A(1)證明：A1(2)已知AA1與BB1的距離為2，求

【變式11】4.（浙江省溫州市20222023學年高一下學期期末數學試題（A卷））“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數學的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐,共可截去八個三棱錐,得到八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為_____________.

【變式11】5.（2023·全國·高一專題練習）動點M在正方體ABCD?A1B1C1D1A．13,63 B．13,題型2最小角定理求斜線和平面的夾角【方法總結】求線面角的關鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進而證明AH⊥平面α，從而證明H是點A在平面α內的射影．解法二則靈活應用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求線面角，也是常用的方法．【例題2】∠BOC在平面α內，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq\r(2)a，求OA與平面α所成的角．【變式21】1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ．【變式21】2．若直線l與平面α所成角為eq\f(π,3)，直線a在平面α內，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))題型3向量法求斜線和平面所成的角【方法總結】求線面角的兩種思路（1）線面角轉化為線線角．根據直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉化為直線的夾角來求解，此時要注意兩直線夾角的取值范圍.（2）向量法．方法一：設直線PA的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線PA與平面α所成的角為θ（θ∈[0,π2]），α與n的夾角為φ，則sinθ=lcosφ|=方法二：設直線PA的方向向量為a，直線PA在平面α內的投影的方向向量為b，則直線PA與平面α所成的角θ滿足cosθ=|cos<a，b>|【例題3】若正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，D【變式31】1.（多選）（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，圖1是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為42A．GEB．點C的坐標為?2,2,2C．O，E，F(xiàn)，A四點共面D．直線CE與直線DG所成角的余弦值為2【變式31】2．（河南省焦作市20222023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1(1)證明：BO//平面B(2)求直線AB與平面B1

【變式31】3．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1

(1)證明：AB⊥(2)若AC⊥AB1，∠CBB1【變式31】4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，AP⊥平面CDP(1)求證：平面ABCD⊥平面ADP(2)若Q是DP中點，求直線BP與平面BCQ所成角的正弦值．

【變式31】5．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預測）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點分別作平行于各底面的截面，截去四個頂點處的小棱錐，得到所有棱長均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：BD⊥(2)求直線BD與平面ACK所成角的正弦值．【變式31】6．（福建省漳州市2023屆高三第四次教學質量檢測數學試題）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PC⊥平面ABC，AC=3，PC=2BC=2，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，平面BEF與平面ABC的交線為

(1)在圖中作出交線BD（說明畫法，不必證明），并求三棱錐D?(2)若點M滿足BM=12BD+λBPλ∈題型4探索性習題【例題4】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1

(1)當λ=1時，求三棱錐B(2)當2λ2+(3)當λ+μ=1【變式41】1.（2023·全國·高三對口高考）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB

(1)求證：AC⊥平面BDE(2)求證：AC//平面DEF(3)求三棱錐C?(4)（?。┣笾本€AC與平面CDE所成角的大?。唬áⅲ├釪E上是否存在點P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出DP【變式41】2.（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）如圖1，已知ABFE是直角梯形，EF∥AB，∠ABF=90°，∠BAE=60°，C、D分別為BF、AE的中點，(1)證明：FN⊥(2)若M為AE上一點，且AMAE=λ，則當λ

【變式41】3.（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）如圖1所示，在四邊形ABCD中，BC⊥CD，E為BC上一點，AE=BE=AD=2CD=2(1)若平面BCD∩平面ABE=l(2)點F是棱BE上一動點，且直線BD與平面ADF所成角的正弦值為2211，求EF

【變式41】4.（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）在底面ABCD為梯形的多面體中.AB∥CD，BC⊥CD，(1)