2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題14空間向量與立體幾何（原卷版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.下列哪個(gè)向量與向量a=(1,2,3)垂直？A.(2,1,0)B.(1,2,1)C.(3,1,2)D.(0,3,2)2.若向量a與向量b的夾角為60°，且|a|=2,|b|=3，則a·b的值為：A.3B.6C.3√3D.6√33.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)到x軸的距離是：A.1B.2C.3D.√144.若平面α的法向量為n=(2,3,1)，則點(diǎn)P(x,y,z)在平面α上的條件是：A.2x+3yz=0B.2x3y+z=0C.x+2y3z=0D.x2y+3z=05.若直線L的方向向量為s=(1,2,1)，則直線L與x軸的夾角θ滿足：A.0°<θ<45°B.45°<θ<90°C.90°<θ<135°D.135°<θ<180°二、判斷題（每題1分，共5分）6.兩個(gè)非零向量垂直的充分必要條件是它們的點(diǎn)積為0。7.在空間直角坐標(biāo)系中，任意兩個(gè)向量的夾角都在0°到180°之間。8.若一個(gè)向量與坐標(biāo)軸的夾角都小于90°，則這個(gè)向量是正方向向量。9.兩個(gè)不平行的向量一定不共線。10.一個(gè)非零向量與自身的夾角是0°。三、填空題（每題1分，共5分）11.若向量a=(1,2,3)，則2a的坐標(biāo)是__________。12.若向量a=(2,1,1)，向量b=(1,1,2)，則a與b的夾角余弦值是__________。13.平面2x3y+4z=7的法向量是__________。14.若點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(2,3,4)的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)是__________。15.若直線L過點(diǎn)P(1,2,3)且平行于向量s=(1,1,1)，則直線L的參數(shù)方程是__________。四、簡(jiǎn)答題（每題2分，共10分）16.簡(jiǎn)述空間向量的基本性質(zhì)。17.如何判斷兩個(gè)向量是否共線？18.描述空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面的距離公式。19.解釋直線與平面的位置關(guān)系。20.什么是向量的點(diǎn)積？并給出計(jì)算公式。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）21.已知向量a=(2,1,1)，向量b=(1,1,2)，求向量a在向量b上的投影。22.已知點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(2,3,4)，求向量AB的坐標(biāo)和長(zhǎng)度。23.已知平面α：2xy+3z=5，點(diǎn)P(1,2,3)，求點(diǎn)P到平面α的距離。24.已知直線L的方向向量為s=(1,1,1)，過點(diǎn)A(1,2,3)，求直線L的方程。25.已知兩個(gè)向量a=(1,2,3)，b=(2,1,1)，求它們的夾角。六、分析題（每題5分，共10分）26.分析空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律。27.若向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,1)，求向量a與向量b的夾角，并分析這個(gè)夾角與兩個(gè)向量方向的關(guān)系。七、實(shí)踐操作題（每題5分，共10分）28.在空間直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,3,4)，求線段AB的中點(diǎn)M，并畫出線段AB和點(diǎn)M的示意圖。29.已知平面α：2xy+3z=5，點(diǎn)P(1,2,3)，求點(diǎn)P到平面α的垂線段，并畫出平面α、點(diǎn)P和垂線段的示意圖。八、專業(yè)設(shè)計(jì)題（每題2分，共10分）31.設(shè)計(jì)一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中的三維圖形，要求包含至少一個(gè)球體、一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體，并給出它們的方程。32.給定一個(gè)點(diǎn)P(1,2,3)和一個(gè)方向向量s(1,1,1)，設(shè)計(jì)一條過點(diǎn)P且方向?yàn)閟的直線，并給出直線的方程。33.設(shè)計(jì)一個(gè)平面，要求平面經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(2,3,4)，且與向量n(1,1,1)垂直，并給出平面的方程。34.給定兩個(gè)向量a(1,2,3)和b(2,1,1)，設(shè)計(jì)一個(gè)向量c，使得c同時(shí)垂直于a和b，并給出向量c的坐標(biāo)。35.設(shè)計(jì)一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中的四面體，要求四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)和D(4,5,6)，并給出四面體的體積。九、概念解釋題（每題2分，共10分）36.解釋什么是向量的長(zhǎng)度，并給出計(jì)算公式。37.解釋什么是向量的方向，并給出表示方法。38.解釋什么是平面的法向量，并給出平面的方程。39.解釋什么是直線的方向向量，并給出直線的方程。40.解釋什么是向量的點(diǎn)積和叉積，并給出計(jì)算公式。十、思考題（每題2分，共10分）41.思考空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律。42.思考空間直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)向量的點(diǎn)積和叉積的幾何意義。43.思考空間直角坐標(biāo)系中，直線與平面的位置關(guān)系。44.思考空間直角坐標(biāo)系中，四面體的體積計(jì)算方法。45.思考空間直角坐標(biāo)系中，球體的方程和體積計(jì)算方法。十一、社會(huì)擴(kuò)展題（每題3分，共15分）46.研究空間向量在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造和航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用。47.探索空間向量在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用，例如在三維建模和動(dòng)畫制作中的應(yīng)用。48.分析空間向量在數(shù)據(jù)科學(xué)中的應(yīng)用，例如在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用。49.研究空間向量在虛擬現(xiàn)實(shí)和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)中的應(yīng)用，例如在游戲開發(fā)和模擬訓(xùn)練中的應(yīng)用。一、選擇題答案1.B2.A3.C4.D5.A二、判斷題答案6.錯(cuò)誤7.正確8.錯(cuò)誤9.正確10.錯(cuò)誤三、填空題答案11.412.113.214.315.6四、簡(jiǎn)答題答案16.向量的長(zhǎng)度是指向量的模，計(jì)算公式為：|a|=√(a_x^2+a_y^2+a_z^2)。17.向量的方向可以用一個(gè)與向量平行的單位向量來表示，計(jì)算公式為：u=a/|a|。18.平面的法向量是與平面垂直的向量，平面的方程可以表示為：n·(rr_0)=0，其中n是法向量，r是平面上任意一點(diǎn)，r_0是平面上的一個(gè)已知點(diǎn)。19.直線的方向向量是與直線平行的向量，直線的方程可以表示為：r=r_0+t·s，其中r_0是直線上的一個(gè)已知點(diǎn)，s是方向向量，t是參數(shù)。20.向量的點(diǎn)積計(jì)算公式為：a·b=|a|·|b|·cosθ，向量的叉積計(jì)算公式為：a×b=|a|·|b|·sinθ·n，其中θ是兩個(gè)向量的夾角，n是垂直于兩個(gè)向量所在平面的單位向量。五、應(yīng)用題答案21.向量a與向量b的夾角θ=arccos((a·b)/(|a|·|b|))。22.點(diǎn)P到平面π的距離d=|n·(Pr_0)|/|n|。23.直線L的方向向量s=(ba)/|ba|。24.線段AB的長(zhǎng)度|AB|=√((x_Bx_A)^2+(y_By_A)^2+(z_Bz_A)^2)。25.三棱錐的體積V=(1/3)·S·h，其中S是底面積，h是高。六、分析題答案26.略27.略七、實(shí)踐操作題答案28.略29.略1.向量的基本概念：向量的長(zhǎng)度、方向、點(diǎn)積、叉積。2.空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面、點(diǎn)的坐標(biāo)表示。3.平面的方程：一般式、點(diǎn)法式、截距式。4.直線的方程：一般式、點(diǎn)向式、參數(shù)式。5.空間幾何圖形：球體、圓柱體、圓錐體、四面體。6.向量與幾何圖形的位置關(guān)系：點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線面夾角、面面夾角。各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)向量基本概念、空間直角坐標(biāo)系、平面和直線方程的理解和應(yīng)用。2.判斷題：考察學(xué)生對(duì)向量基本性質(zhì)、空間幾何圖形特征的理解。3.填