專題4.1幾何圖形.重難點(diǎn)題型

【人教版】

【知識點(diǎn)1立體圖形的認(rèn)識】

有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這

就是立體圖形.

【知識點(diǎn)2常見的幾何體分類】

立體圖形除了按照柱體、雌、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、

圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.

【知識點(diǎn)3棱柱的有關(guān)概念及其特征】

①在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長都相等，棱柱的

上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.

②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有近個頂點(diǎn)，3n

條棱，里條側(cè)棱，有n+2個面,值個側(cè)面.

【題型1立體圖形的識別及特征】

【例1】（2020秋?市南區(qū)期中）下面七個幾何體中，是棱柱的有（）個.

【分析】根據(jù)直棱柱的特征進(jìn)吁判斷即可.

【解答】解：如圖，根據(jù)棱柱的特征可得,

①②③④⑤⑥⑦

①是三棱柱，②是球，③圓錐，④三棱錐，⑤正方體，⑥圓柱體，⑦六棱柱,

因此棱柱有：①@⑦,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查立體圖形的特征，掌握棱柱的特征是正確解答的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2020秋?海淀區(qū)校級期末）下列四個幾何體中，是四棱錐的是（）

C.

【分析】根據(jù)四楂錐的形體特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：四棱錐是底面是四邊形的錐體，因此選項(xiàng)A中的幾何體符合題意,

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查認(rèn)識立體圖形，掌握各種幾何體的形體特征是正確判斷的前提.

【變式1-2]（2020秋?市中區(qū)校級月考）不透明袋子中裝有一個幾何體模型，兩位同學(xué)摸該模型并描述它

的特征.甲同學(xué)：它有7個面；乙同學(xué)：它有10個頂點(diǎn).該模型的形狀對應(yīng)的立體圖形可能是（）

A.四棱柱B.五棱柱C.六棱柱D.七棱柱

【分析】根據(jù)五棱錐的特點(diǎn)，可得答案.

【解答】解：五棱柱的兩個底面是五邊形，側(cè)面是五個長方形，共有7個面;

五棱柱有10個頂點(diǎn),

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了認(rèn)識立體圖形，熟記常見幾何體的特征是解題關(guān)鍵.

【變式1?3】如果一個棱柱（棱錐）有〃條側(cè)棱，那么就稱其為〃棱柱（棱錐）.

2

（1）圖①所示的幾何體是一個三棱柱，它有個頂點(diǎn)，條棱、個面；

（2）圖②所示的幾何體是,它有個頂點(diǎn)，條側(cè)棱、個側(cè)面、個底面；

（3）如果一個棱錐由7個面圍成，那么這個棱錐是棱錐，它共有條棱；

（4）如果將圖③的四棱柱從上到下一刀切成兩個棱柱，且其中一個是三棱柱，那么另一個是棱

柱.

【分析】“棱柱有〃個側(cè)面，2個底面，3〃條棱，2〃個頂點(diǎn)，〃棱錐有〃個側(cè)面，一個1底面，有2〃條

棱，有〃+1個頂點(diǎn).

【解答】解：（I）圖①所示的幾何體足一個二棱柱，它有6個頂點(diǎn)，9條棱、5個面；

（2）圖②所示的幾何體是六棱柱，它有12個頂點(diǎn)，6條側(cè)棱、6個側(cè)面、2個底面；

（3）如果一個棱錐由7個面圍成，那么這個棱錐是六棱錐，它共有12條棱；

（4）如果將圖③的四棱柱從上到下一刀切成兩個棱柱，且其中一個是三棱柱，那么另一個是三棱柱或

四棱柱或五棱柱.

故答案為：（1）6；9：5；（2）五棱柱；1（）；5；5；2：（3）六；12；（4）三或四或五.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是認(rèn)識立體圖形，明確〃棱柱有〃個側(cè)面，2個底面，3〃條棱，2〃個頂點(diǎn)，〃

棱錐有〃個側(cè)面，一個I底面，有2〃條棱，有〃+1個頂點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)4從不同的方向觀察物體】

我仃常從物體的正面、上面和左面（或右面）三個不同的方向觀察物體，然后秒繪出觀察到的形狀，這樣

就可以把一個立體圖形的特征轉(zhuǎn)化為平面圖形的特征.

【知識點(diǎn)5從三個方向看到的物體的形狀圖】

（1）從正面看到的物體的形狀和從上面看到的物體的形狀，共同反映了物體左右方向的尺寸.

（2）從正面看到的物體的形狀和從左面看到的物體的形狀，共同反映了物體上下方向的尺寸.

（3）從上面看到的物體的形狀和從左面看到的物體的形狀，共同反映了物體前后方向的尺寸.

【題型2由立體圖形判斷物體三個方向的形狀圖】

【例2】（2021?阜南縣模擬）如圖所示的幾何體從上面看到的形狀是（）

3

圖1圖2

從正面看

A.從正面看到的形狀圖

B.從左面看到的形狀圖

C.從上面看到的形狀圖

D.從上面、左面看到的形狀圖

【解題思路】觀察圖形可知，圖1從正面看到的圖形是3歹U，從左往右正方形個數(shù)依次是2,1,1；從

左面看到的圖形是2歹U，從左往右正方形個數(shù)依次是2,1；從上面看到的圖形是3歹L從左往右正方形

個數(shù)依次是2,1,1；圖2從正面看到的圖形是3歹U，從左往右正方形個數(shù)依次是1,1,2；從左面看到

的圖形是2歹U，從左往右正方形個數(shù)依次是2,1；從上面看到的圖形是3歹人從左往右正方形個數(shù)依次

是2,1,1；據(jù)此即可求解.

【解答過程】解：由分析可知，從正面看到的形狀圖發(fā)生變化，從上面、左面看到的形狀圖沒有發(fā)生變

化.

故選：A.

【變式2-3］（2020秋?遼陽期末）如圖所示的兩個幾何體分別由7個和6個相同的小正方體搭成，比較兩

個幾何體從三個方向看到的形狀圖，正確的是（）

正面正面

A.僅從正面看到的形狀圖不同

B.僅從左面看到的形狀圖不同

C.僅從.上面看到的形狀圖不同

D.從三個方向看到的形狀圖都相同

5

【解題思路】根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊

看得到的圖形，可得答案.

【解答過程】解：解法一：從正面看，兩個幾何體均為第一層和第二層都是兩個小正方形，故主視圖相

同：

從左面看，兩個幾何體均為第一層和第二層都是兩個小正方形，故左視圖相同；

從上面看，兩個幾何體均為第一層和第二層都是兩個小正方形，故俯視圖相同.

解法二：第一個幾何體的三視圖如圖所示

第二個幾何體的三視圖如圖所示:

觀察可知這兩個幾何體的正視圖、左視圖和俯視圖都相同，

故選:D.

【知識點(diǎn)6點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系】

①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn).

②點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體.

③點(diǎn)、線、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動組成了多姿多彩的圖形世界.

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【題型3點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系】

【例3】（2020秋?清鎮(zhèn)市校級月考）在七年級第一章的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過：點(diǎn)動成，線動成

動成體.比如：

（1）圓規(guī)在紙上劃過會留下一個封閉的痕跡，這種現(xiàn)象說明.

（2）一個人手里拿著一個綁在一根棍上的半圓面，當(dāng)這個人把這個半圓面繞著這根棍飛快地旋轉(zhuǎn)起來時

就會看到一個球，這種現(xiàn)象說明.

（3）聰明的你一定觀察過生活中還有許多類似的現(xiàn)象，你能舉出一個例子嗎？并解釋該現(xiàn)象.

【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系，可得答案.

【解答】解：（1）故答案為：線，面，面；

（2）由點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系得，點(diǎn)動成線，

故答案為：點(diǎn)動成線；

（3）由點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系得，面動成體，

故答案為：面動成體；

（4）例如：彗星從天空中劃過一道明亮的弧線隕落，是點(diǎn)動成線的例子.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系，掌握點(diǎn)動成線、線動成面，面動成體是得出正確答案的

關(guān)健.

【變式3-1］（2020秋?宿豫區(qū)期末）如圖：C。是直角三角形ABC的高，將直角三角形A8C按以下方式旋

上轉(zhuǎn)一周可以得3到右側(cè)幾何體的是（）

A.繞著4c旋轉(zhuǎn)B.繞著AB旋轉(zhuǎn)C.繞著C。旋轉(zhuǎn)D.繞著BC旋轉(zhuǎn)

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，只有繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，才可以得出組合體的圓錐，進(jìn)而解答即可.

【解答】解：將直角三角形人8c繞斜邊人B所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，A

故選：B./\

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)、線、面、體，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及幾何體的三視圖.

【變式3-2］（2020秋?鄲都區(qū)校級月考）一個長方形繞它的--邊所在的直線旋轉(zhuǎn)i周，得到的幾何體是圓

柱，現(xiàn)在有一個長為4°加、寬為5a〃的長方形，繞它的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)--周，得到的圓柱體的體枳

是多大？（寫出計(jì)算過程〉

7

【分析】以不同的邊所在的直線為軸，可以得到兩個不同的圓柱體，分兩種情況依據(jù)圓柱體的體積的計(jì)

算方法進(jìn)行解答即可.

【解答】解：①以長為4c〃?的邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周可得到一個底面半徑為50〃，高為4cm的圓

柱體，

因此，體積為nX52x4=10(巾(cm3),

②以寬為4cm的邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周可得到一個底面半徑為4c/〃，高為的圓柱體，

因此，體積為11X42X5=80n(cw?),

答：繞它的一條邊所在直線旋綣一周，得到的圓柱體的體積為IOOTTC〃尸或8以('〃[3.

【點(diǎn)評】本題考杳點(diǎn)、線、面、體，掌握圓柱體體枳的計(jì)算方法是正確解答的前提.

【變式3-3](2020秋?解放區(qū)校級月考)小明學(xué)習(xí)了“面動成體”之后，他用一個邊長為6皿、8c機(jī)和\0crn

的直角三角形，繞其中一條邊旋轉(zhuǎn)一周，得到了一個幾何體.請計(jì)算出幾何體的體積.(錐體體積=￡底

面積X高)

【分析】根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐，可得幾何體；根據(jù)圓錐的體積公式，可得答案.

【解答】解：以8c〃?為軸，得

以8cm為軸體積為工xirX62x8=96n(0/),

3

圖2

以為軸的體積為工xnX82x6=128n(cm3),

3

以10an為軸,得

8

圖3

124

以10（7〃為軸的體積為-XTT（一）2X10=76.8TT（CW3）.

35

故幾何體的體積為：96no/或128110/或76.8”力，.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)線面體，利用三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐是解題關(guān)鍵.

【題型4由小立方塊的個數(shù)得到幾何體的形狀】

【例4】（2021?安徽模擬）如圖是由6個立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上

的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的從正面看到的形狀為（）

【解題思路】先細(xì)心觀察原立體圖形中正方體的位置關(guān)系，從正面看去，一共三列，左邊有2個小正方

形，中間有2個小正方形，右邊有1個小正方形，結(jié)合四個選項(xiàng)選出答案.

【解答過程】解?：從正面看去，一共三列，左邊有2個小正方形，中間有2個小正方形，右邊有1個小

【變式4-1】（2021?大慶）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的兒何體的形狀圖如圖所

示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方塊的個數(shù)，能正確表示該幾何體從正面看到的形狀為

（）

9

【解題思路】由所給條件分析幾何體從正面看的每一列最多有幾個小正方體，從而得到答案.

【解答過程】解：由所給圖可知，這個幾何體從正面看共有三列，左側(cè)第一列最多有4塊小正方體，中

旬一列最多有2塊小正方體，最右邊一列有3塊小正方體,

所以主視圖為民

故選：B.

【變式4-2]（2021?商丘三模）如圖是幾個小立方塊所搭的幾何體俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置

上小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的從正面看到的形狀為（）

【解題思路】由已知條件可知，主視圖有3歹ij,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,I,3,從而可以確定答

案.

【解答過程】解：根據(jù)題意得：主視圖有3歹IJ,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,1,3,

【變式4-3]（2021?泰安）如圖是由若干個同樣大小的小正方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字

10

表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體從左面看到的形狀為（)

【解題思路】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答過程】解：從左邊看從左到右第一列是兩個小正方形，第二列有4個小正方形，第三列有3個小

正方形，

故選：B.

【題型5判斷立體圖形小正方體最多最少個數(shù)】

【例5】（2020秋?二七區(qū)校級月考）如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形分別從正面、左面看到

的形狀，那么構(gòu)成這個立體圖形的小正方體的個數(shù)最少為（）

【解題思路】由主視圖和左視圖可得這個幾何體共有2層，再分別求出每?行和每?列最少的正方體的

個數(shù)，依此即可求解?.

【解答過程】解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：構(gòu)成這個立體圖形的小正方體的個數(shù)最少為2+1+1=4（個）.

故選：A.

【變式5-1］（2021秋?薛城區(qū)期末）用小立方塊搭成的幾何體，從正面和上面看的形狀圖如圖，則組成這

樣的幾何體需要立方塊個數(shù)為（）

從正面看從上面看

A.最多需要8塊，最少需要6塊

11

B.最多需要9塊，最少需要6塊

C.最多需要8塊，最少需要7塊

D.最多需要9塊，最少需要7塊

【解題思路】易得這個幾何體共有3層，由俯視圖可得第一層正方體的個數(shù)為4,由主視圖可得第二層

最少為2塊，最多的正方體的個數(shù)為3塊，第三層只有一塊，相加即可.

【解答過程】解：有兩種可能;

由主視圖可得：這個兒何體共有3層,

由俯視圖可得：第一層正方體的個數(shù)為4,由主視圖可得第二層最少為2塊，最多的正方體的個數(shù)為3

塊，

第三層只有一?塊,

，最多為3+4+1=8個小立方塊，最少為個2+4+1=7小立方塊.

故選：C.

【變式5-2]（2020秋?寶安區(qū)期中）如圖是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體的主視圖和俯

視圖，若這個幾何體最多由小個小正方體組成，最少由〃個小正方體組成，則〃[+〃=（）

從上面看

A.14B.16C.17D.18

【解題思路】主視圖、俯視圖是分別從物體正面；上面看所得到的圖形.

【解答過程】解：易得第一層有4個正方體，第二層最多有3個正方體，最少有2個正方體，第三層最

多有2個正方體，最少有1個王方體,

4+3+2=9,，〃=4+2+1=7,

所以w+n=9+7=16.

故選：B.

【變式5-3]（2020秋?鐵西區(qū)校級期末）如圖是由幾個相同的小正方體分別從上面、左面看到的形狀圖,

這樣的幾何體最多需要個小立方體塊，最少需要個小立方體塊.

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從左面看從上面看

【解題思路】根據(jù)從上面和從左面看到的圖形可知：這個圖形有2行，后面一行只有一層，是2個正方

形，前面一行是2層，下層是2個正方形，上面一層最少是1個正方形，最多是2個正方形，由此即可

解答.

【解答過程】解：根據(jù)圖形可得：最少需要：2+2+1=5（個），最多需要2+2+2=6（個），

故擺這樣的立體圖形，最少需要5個小立方塊，最多需要6個小方塊.

故答案為：6,5.

【知識點(diǎn)7正方體的表面展開圖】

正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開，可以得到11種不同

的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.

正方體展開圖口訣：

①一線不過四;田凹應(yīng)棄之；

②找相對面：相間，“Z”端是對面；

③找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【題型6正方體的展開圖】

【例6】（2021?邢臺期中）把如圖所示的正方體展開，得到的平面展開圖可以是）

【解題思路】在驗(yàn)證立方體的展開圖時，要細(xì)心觀察每一個標(biāo)志的位置是否一致，然后進(jìn)行判斷.

【解答過程】解：把四個選項(xiàng)的展開圖折疊，能復(fù)原的是既

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故選：B.

【變式6-