10.4三元一次方程組的解法主講：人教版（2024）數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第十章

二元一次方程組1.三元一次方程組的解法及“消元”思想.2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇合適的未知數(shù)和方法消元．學(xué)習(xí)目標(biāo)

問題

在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊(duì)共參加了22場(chǎng)比賽.積47分，且勝的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng)數(shù)的4倍多2.按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，那么這支球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)?

思考（1）題目中有幾個(gè)未知量?

（2）題目中有哪些等量關(guān)系?

（3）如何用方程表示這些等量關(guān)系?情境引入

設(shè)這支球隊(duì)勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)分別為x，y，z.根據(jù)題意，可以得到下面三個(gè)方程x+y+z=223x+y=47x=4z+2

等量關(guān)系:

①勝的場(chǎng)數(shù)+平的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)=22；②勝場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分=47；

③勝的場(chǎng)數(shù)=負(fù)的場(chǎng)數(shù)×4+2.新知探究

這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把這三個(gè)方程合在一起，寫成x+y+z=223x+y=47x=4z+2

這個(gè)方程組含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)

的項(xiàng)的次數(shù)都是1,一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.新知探究

怎樣解三元一次方程組呢？我們知道，二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同樣的思路，用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個(gè)未知數(shù)

，把它化成二元一次方程組呢？x+y+z=22，

①3x+y=47，

②x=4z+2.③新知探究x+y+z=22，

①3x+y=47，

②x=4z+2.③

仿照前面學(xué)過的代入法，可以把③分別代入①②并化簡(jiǎn)，得到兩個(gè)只含y,z的方程y+5z=20和y+12z=41,它們組成方程組y+5z=20,y+12z=41.

解這個(gè)二元一次方程組，可以求出y和z，進(jìn)而可以求出x.新知探究

從上面的分析可以看出，解三元一次方程組的基本思路是

：通過

“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．這與解二元一次方程組的思路是一樣的.三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程新知探究

分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一個(gè)只含x，z的方程，與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.

解:②×3+③,得11x+10z=35.④

①與④組成方程組

解這個(gè)方程組，得例1

解三元一次方程組3x+4z=7，

①2x+3y+z=9，

②5x-9y+7z=8.③3x+4z=7，

11x+10z=35.x=5，z=-2.典例精析

典例精析

例2

在等式y(tǒng)=ax2＋bx＋c中，當(dāng)x=-1時(shí)，y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3；當(dāng)x=5時(shí)，y=60．求a，b，c的值．

解：根據(jù)題意，列得三元一次方程組a-b+c=0，

①4a+2b+c=3，

②25a+5b+c=60.③②-①,得a＋b=1.④③-①,得4a＋b=10.⑤

分析：把a(bǔ)，b，c看作三個(gè)未知數(shù)，分別把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一個(gè)三元一次方程組.典例精析④與⑤組成二元一次方程組

解這個(gè)方程組，得

把a(bǔ)=3，b=-2代入①,得c=-5.

因此a，b，c的值分別為3,-2,-5.a+b=1，

4a+b=10.a=3，b=-2.典例精析

分析：把這個(gè)三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個(gè)未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個(gè)相等關(guān)系，可以列三元一次方程組.典例精析

解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個(gè)位上的數(shù)為z.根據(jù)題意，列得三元一次方程組

解這個(gè)方程組，得

因此這個(gè)三位數(shù)是473.

x=4，y=7，z=3.典例精析1.若(m+1)x+y|m|+z=4是關(guān)于x，y，z的三元一次方程，則m的值為_____.2.已知|x-6y|+2(4y-1)2+|3x-6z|=0，則x+y+z=

.1

隨堂檢測(cè)3.解方程組2x-y+3z=33x+y-2z=-1x+y+z=5（1）若先消去x，得到關(guān)于y、z的方程組是____________；（2）若先消去y，得到關(guān)于x、z的方程組是____________；（3）若先消去z，得到關(guān)于x、y的方程組是____________.-3y+z=-72y+5z=165x+z=23x+4z=8x+4y=125x+3y=9隨堂檢測(cè)

①②③隨堂檢測(cè)1.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．解：因?yàn)槿齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，所以每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.可得方程組解得能力提升2.某車間共有職工63人，加工一件產(chǎn)品需要三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，為使每天能生產(chǎn)出最多的產(chǎn)品，應(yīng)如何安排各工序的人數(shù)？

能力提升實(shí)際問題三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程三元一次方程組的解課堂小結(jié)1.下列方程中，屬于三元一次方程的是（）

A.π+x+y＝6