2025年專升本高等數(shù)學(xué)（一）模擬試卷（含微積分專項(xiàng)突破）一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為（）。A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則函數(shù)的增區(qū)間為（）。A.$(-\infty,1)$B.$[1,2]$C.$[2,+\infty)$D.$(1,2)$3.若$f(x)=\lnx$，$f'(x)=\frac{1}{x}$，則$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\frac{1}{x}$（）。A.正確B.錯(cuò)誤4.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)=\frac{1}{f(1)}$（）。A.正確B.錯(cuò)誤5.已知$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f(x)$的定義域?yàn)椋ǎ?。A.$x\neq1$B.$x>1$C.$x<1$D.$x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$6.若函數(shù)$f(x)=\lnx$，$f'(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(1)=\frac{1}{1}=1$（）。A.正確B.錯(cuò)誤7.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)=2x+2$（）。A.正確B.錯(cuò)誤8.若$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$（）。A.正確B.錯(cuò)誤9.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$（）。A.正確B.錯(cuò)誤10.若函數(shù)$f(x)=\lnx$，$f'(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(e)=\frac{1}{e}$（）。A.正確B.錯(cuò)誤二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填在題中的橫線上。11.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)函數(shù)為________。12.若$f(x)=\lnx$，則$f'(x)=________。13.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(1)=________。14.若函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f'(2)=________。15.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的極值點(diǎn)為________。16.設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(e^2)=________。17.函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的增區(qū)間為________。18.若$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f(x)$的定義域?yàn)開_______。19.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=________。20.若函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為________。三、解答題要求：本大題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。21.（10分）求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的單調(diào)區(qū)間和極值。22.（10分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，求$\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)$。23.（15分）求函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$的導(dǎo)函數(shù)，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)。24.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，求函數(shù)的拐點(diǎn)。四、計(jì)算題要求：本大題共5小題，每小題10分，共50分。請(qǐng)將計(jì)算結(jié)果填入答題卡相應(yīng)位置。25.求極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$。26.求極限$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+1}{x^3-2x}$。27.求極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x^2}$。28.求極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx-x}{x^3}$。29.求極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cosx-1}{x^2}$。五、證明題要求：本大題共2小題，每小題15分，共30分。請(qǐng)將證明過程寫清楚。30.證明：若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(1)=0$。31.證明：若函數(shù)$f(x)=\lnx$在區(qū)間$(0,+\infty)$上連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}$。六、應(yīng)用題要求：本大題共3小題，每小題15分，共45分。請(qǐng)將解答過程寫清楚。32.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。33.某商品的原價(jià)為p元，現(xiàn)價(jià)降低a%，求現(xiàn)價(jià)的表達(dá)式，并求現(xiàn)價(jià)與原價(jià)的關(guān)系。34.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為c元，售價(jià)為s元，若要使利潤(rùn)達(dá)到最大，求最優(yōu)售價(jià)s的表達(dá)式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，因?yàn)楫?dāng)$x<2$時(shí)，$f'(x)<0$，當(dāng)$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$，所以$x=2$是$f(x)$的極小值點(diǎn)。2.B解析：根據(jù)1題的解析，函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，因此增區(qū)間為[1,2]。3.B解析：$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}\lnx$不存在，因?yàn)?\lnx$在$x=0$處無(wú)定義。4.A解析：$f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=0$，$f(1)=1^2+2(1)+1=4$，$\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{4}$，所以$f(-1)=\frac{1}{f(1)}$。5.A解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$x=1$時(shí)無(wú)定義，因此定義域?yàn)?x\neq1$。6.B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$時(shí)無(wú)定義，因此$f'(1)$不存在。7.A解析：$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$。8.A解析：$f(x)=\frac{x}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$。9.A解析：$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$。10.A解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$在$x=e$時(shí)，$f'(e)=\frac{1}{e}$。二、填空題11.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)。12.$f'(x)=\frac{1}{x}$解析：函數(shù)$f(x)=\lnx$的導(dǎo)數(shù)。13.$f(1)=4$解析：將$x=1$代入$f(x)=x^2+2x+1$。14.$f'(2)=\frac{1}{(2-1)^2}=\frac{1}{1}=1$解析：求函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)。15.極值點(diǎn)為$x=2$解析：根據(jù)1題的解析，$x=2$是$f(x)$的極小值點(diǎn)。16.$f'(e^2)=\frac{1}{e^2}$解析：將$x=e^2$代入$f'(x)=\frac{1}{x}$。17.增區(qū)間為$[2,+\infty)$解析：根據(jù)1題的解析，函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$在$x>2$時(shí)單調(diào)遞增。18.定義域?yàn)?x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：根據(jù)5題的解析，函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$的定義域。19.$f''(x)=6x-6$解析：根據(jù)9題的解析，函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的二階導(dǎo)數(shù)。20.單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$解析：根據(jù)10題的解析，$f'(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$時(shí)單調(diào)遞增。三、解答題21.解析：略22.解析：略23.解析：略24.解析：略四、計(jì)算題25.解析：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$解析：利用洛必達(dá)法則，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cosx}{1}=1$。26.解析：$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+1}{x^3-2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1/x+1/x^2}{1-2/x^2}=0$解析：化簡(jiǎn)后，利用無(wú)窮小量乘以無(wú)窮大量等于無(wú)窮小量的性質(zhì)。27.解析：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$解析：利用洛必達(dá)法則，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{1+x}=1$。28.解析：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cosx-1}{3x^2}=0$解析：利用洛必達(dá)法則，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cosx-1}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\sinx}{6x}=0$。29.解析：$\lim_{x