一對一講課教案

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教學主題空間向量與立體幾何

上次作業(yè)檢查

本次上課體現(xiàn)

本次作業(yè)

知識要點。

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向線段表達,同向等長的有向線段表達同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不變性

2.空間向量的運算。

定義：與平面向晨運算同樣，空間向最的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。

OB=OA-^-AB=a+b,BA=dA-dB=d-h\OP=^a（A^R）

運算律：⑴加法互換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：=a

⑶數(shù)乘分派律：4（日+方）=而+之方

運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3.共線向曷。

（D假如表達空間向量的有向線段所在的直線平行或重疊，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，2平行于

b,記作d〃bO

（2）共線向量定理：空間任意兩個向量”B（Bw。），3〃月存在實數(shù)九使之=i5。

（3）三點共線：A、B、C三點共線＜=＞而=義/

＜=＞OC=xOA+）而（其祗+尸1）

（4）與。共線的單位向量為￡

士同

4.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

闡明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2】共面向量定理：假如兩個向量吊5不共線，力與向量值）共面的條件是存在實數(shù)使力=xM+y5。

（3）四點共面：若A、B、C、P四點共面V=＞而=.t而+y而'

＜=＞而=工礪+），0后+2比（其中X+y+Z=l）

5.空間向量基本定理：假如三個向量2,反？不共面，那么對空間任歷來量P,存在一種唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,z,

—?

使p=ya+yb+zcu

若三向量不共面，我們把伍.瓦為叫做空間的一種基底，7瓦？叫做基向量，空間任意三個不共面的向量

都可以構(gòu)成空間的一種基底。

推論：設(shè)。A8,c是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)X,y,Z,使

OP=xOA+yOB+zOC。

6.空間向量的直角坐標系：

(I)空間直角坐標系中的坐標：

在空間直角坐標系O-A>'Z中，對空間任一點A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,.y,z),使OA=xi+yi+zk,有序?qū)?/p>

數(shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標系。一冷2中的坐標，記作A(x,y,z),x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐

標。

注：①點A(x,y,z)有關(guān)x軸的的對稱點為(x「y,-z),有關(guān)xoy平面為對稱點為(x,y,-z).即點有關(guān)什么軸/平面對?稱，什

么坐標不變，其他的分坐標均相反。②在y軸上的點設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點設(shè)為(0,y,z)

⑵若空間的一種基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用｛if｝表達。空間中任歷

來量a=xi-\-yj-\-zk=(x,y,z)

(3)空間向量的直角坐標運算律：

①走\a—(4、ci?,ciy),b—(b]，仿,")，則a+Z?=(q+b],出+瓦+么),

a-b={a}-b],a2-h2,a3-b3)tAa=,Aa2,Aa3)(2GR),

―?—?

a-b=a]bx+a2b2+貼3，

..

al/b=a、=獨嗎=勿(幾￡R),

a±b<^>+02b2+a3h=0o

②若A(X，X，Z|),B(x2,y2,z2),則A月=(W一為，%-凹4-zj。

一種向量在直角坐標系中的坐標等于表達這個向量的有向線段的終點的坐蹩去虺的坐標。

③定比分點公式：若A(x，y,Z1),B(x29y2,z2),~AP=XPB,則點P坐標為

%]+AX2必+Ay2Z]+AZ2

)。推導：設(shè)P(x,y,z)則(不一元］)一)1,2-4)=4％一兒力一)'，22—2),顯然,

1+2'l+X'1+4

當P為AB中點時，夕(干工中，手)

222

④A(x]9yl,zl),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三角形重心P坐標為

P產(chǎn)+&+&?+4+34+Z2+Z*

3'2'2

⑤4ABC的五心：

內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點。一通正(單位向量)

A”俞卡前

外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點。|西卜|麗卜］正］

垂心P：高的交點：PA~P13=PAPC=7BPC(移項，內(nèi)積為0,則垂直)

重心P:中線的交點，三等分點(中位線比)(麗+而

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模長公式:若。=(4生,%)，萬=(〃［也也)，

則Ia|=\/a-a=4a；+"，仍h^/^=Jb：+蠟+么?

（5J夾角公式：?os（ab\-"I_4“+a也+。也°

-I司?仍「、一+aJ+a；揚、b；+b；

AABC中①麗?AC>0<=>A為銳角②Q?AC<0<=>A為鈍角，鈍角A

（6）兩點間的距離公式:若4%,y,zJ,B（x2,y2,z2）,

則|AB|=4AB=J（%2—X1）2+（了2—）））2+（Z?-Z］）2'

或d,\B=,（弓一%）2+（%一乂）2+（22—4）2

7.空間向量的數(shù)量積。__

（1）空間向量的夾角及其表達：已知兩非零向量乙4,在空間任取一點O,作厲礪=5,則NAO3叫

做向量2與日的夾角，記作<，/>；且規(guī)定04</花><〃，顯然有<五石>=<5,萬>：若<G.B>=巴,則稱日

2

與5互相垂直，記作：alb.

（2〕向量的模：設(shè)方=5,則有向線段次的長度叫做向量M的長度或模，記作：|力|。

（3）向量的數(shù)量積：已知向量則151?出叫做方的數(shù)量積，記作小6,即

a-b=\a\-\h\'cos<a,h>0

（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

—?—?

①=|M|cosv萬,0>。②M_L〃0M?0=（）。③111'1?萬。

（5）空間向量數(shù)量積運算律：

①（義㈤B=4（⑦5）=萬?（25）°②a?BB?d（互換律）。

@a-（b^c）=a-b-^d-c（分派律）。

—?—?——?—

④不滿足乘法結(jié)合率：（a?，）cw〃（/??（?）

二.空間向量與立體幾何

1.線線平行o兩線的方向向量平行

|-|線面平行=線的方向向量與面的法向量垂直

1-2面面平行。兩面的法向量平行

2線線垂直（共面與異面）O兩線的方向向量垂直

2-1線面垂直O(jiān)線與面的法向量平行

2-2面面垂直。兩面的法向量垂直

——?—*—*

3線線夾角。（共面與異面）［0",90"］<=>兩線的方向向量〃|,4的夾角或夾角的補角，cos6=cos<m,〃2〉

3-1線面夾角〃［00,90°］：求線面夾角的環(huán)節(jié)：先求線的方向向量4P與面的法向量〃的夾角，若為銳角角即可,

若為盹角，則取其補角；再求其他用，即是線面的夾角.sin6=cos<AP,〃>

3-2面面夾角（二面角），［0。,180°］：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量〃I，2的夾角；法向

量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.cos0=±cos<7?1,n2>

4.點面距離/2：求點尸（七,%）到平面。的距離：在平面。上去一點Q（x,y），得向量Pd；；計算平面。的法

向量〃;?〃PQ?7z|

TT

4；線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離

4-2面面距離(面面平行)：轉(zhuǎn)化為點面距離

【經(jīng)典例題】

1.基本運算與基本知識()

例1.已知平行六面體ABCD—ATTCD，，化簡下列向量體現(xiàn)式，標出化簡成果的向量。

(DAB+BC；(2)AB+AD^AA

⑶AB^AD+^CC；(4)1(AB+AD+A4;)。

例2.對空間任一點。和不共線的三點AB,C,問滿足向量式：

OP=xOA+yOBzOC(其中x+y+z=l)的四點P,ARC與否共面?

例3已知空間三點A(0,2,3),B(-2,I,6),C(1,一1,5)。

⑴求以向量而，恁為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量不分別與向量而，而1垂直，且|團=有，求向量2的坐標。

2.基底法(怎樣找，轉(zhuǎn)化為基底運算)

3.坐標法(怎樣建立空間直角坐標系，找坐標)

4.幾何法

例4.如圖，在空間四邊形O4BC中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45,ZOAB=60,求

Q4與8c的夾角的余弦值。

闡明：由圖形知向量的夾角易出錯，如<O4,A(?>=135易錯寫成<OAAC>=45。，牢記！

例5.長方體AB?！狝MGR中，AB=BC=4,E為A?與BR的交點,F為BC1與的交點,又

AFA.BE,求長方體的高

【模擬試題】

I.已知空間四邊形4BCD,連結(jié)AC,40,設(shè)M,G分別是5C,CO的中點，化簡卜列各體現(xiàn)式，并標出化簡成果

向量：（1）AB+BC+CD；

⑵而+g（而+麗；（3）而一而+宿。

2.已知平行四邊形A8CD,從平面AC外一點O引向吊:。

0E=k0A,0F=k0B,0G=k0C,0H=k0D.

（1）求證：四點E,F,G,”共面；

（2）平面AC〃平面EG。

3.如田正方體八8845C4中，用片=；44，求8月與。再所成角的余弦。

5.已知平行六面體ABCO—ABT'Q'中，

AB=4,A。=3,AAf=5,NBAD=90,

NA44=ADAA:=60,求AC的長。

［參照答案］

I.解:如圖,A

(I)AS+BC+CS=XC+CD=AD；

(2)AB+-(BD+BC)=AB+-BC+-BD

222O

=AB+~BM+MG=AG；

⑶AG-^(AB-i-AC)=AG-AM=MG.

2.解：(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，：,AC=AB+AD,

-EG=OG-OE,

=k-OC-kWi=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)

=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE

=EF+EH

???ERG,“共面；

(2)解：t：EF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB,又?:百=k?衣,

???EF//AB,EG//AC.

因此，平面AC〃平面EG。

3.解：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立空間直角坐標系。-冷z,

則B(1,1,O),耳(11,1),D(0,0,0),『0,；』),