東莞市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期七校聯(lián)考試題高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．若復(fù)數(shù)z滿足1+iz=i，則z的虛部為（A．?1 B．1 C．?i 2．已知向量a=2,1,b=λ,λ?1，且aA．?12 B．13 C．23．如圖，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直觀圖，O'A'=2A．32 B．42 C．64．在三角形ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．a(chǎn)=8，b=16，A=30° B．a(chǎn)=25，b=30，A=150°C．a(chǎn)=30，b=40，A=30° D．a(chǎn)=72，b=30，A=45°5．中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為35m，在地面上點(diǎn)C處（B,C,N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為15°A．70m B．64m C．52m6．將半徑為4的半圓面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（

）A．83π B．833π 7．如果向量a，b的夾角為θ，我們就稱a×b為向量a與b的“向量積”，a×b還是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度為|a×b|=|A．?43 B．?4 C．4 D．8．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2,?AB⊥AC，若該棱柱外接球的表面積為12A．12π B．16π C．20π二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選錯(cuò)或不選得0分，部分選對(duì)的得部分分．)9．已知復(fù)數(shù)z滿足：z(1+i)=6i5A．z=32 B．C．z?z=6i 10．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，CD=2DB,AE=ED，點(diǎn)P在以ABA．AB?AC=18C．BE=13AB+1611．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A．EF⊥BB．EF//平面C．直線BD1與平面ABCDD．三棱錐B1?EBF三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空3分，第二空2分.把答案填在答題卡中的橫線上．)12．已知向量a,b滿足|a|?=1，|b|?13．《九章算術(shù)》中將圓臺(tái)稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積等于.我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積，把以上文字寫出公式，即S=14[c2a2?(c2+a2?b22)2](其中S為三角形面積，a，b，c為三角形的三邊)．在非直角△ABC中，a.解答題(本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)(13分)已知復(fù)數(shù)z=3+mi，其中m∈R設(shè)z1=(1+3i)z，若z(2)設(shè)m=?1，分別記復(fù)數(shù)z、z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B，求OA與OB的夾角余弦值以及OA在16．（15分）已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為(1)求a；(2)若A=π3，且S△ABC17.（15分）如圖，△ABC中，CA=a,CB=b,D是AC的中點(diǎn)，(1)用a,b表示(2)設(shè)BM=λBA，求(3)若AB⊥DE，求18.（17分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB//DC，AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,F分別為棱CD,PD的中點(diǎn).(1)求證：PB//平面AEF；(2)求證：AE⊥平面PBD；(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.（17分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，sin2(1)求A；(2)若b=1,c=2,D為線段BC內(nèi)一點(diǎn)，且BD:DC=1:2，求線段AD的長(zhǎng)；(3)法國(guó)著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對(duì)于任意的x1,x2,y1,y

東莞市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期七校聯(lián)考試題（高一數(shù)學(xué)）參考答案：題號(hào)1234567891011答案BDCCABDBACABDAD12．13．14.1．B先求出，結(jié)合虛部的概念可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?.故選：B2．D直接根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榍?，則，得.故選：D.3．C根據(jù)直觀圖得到平面圖，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而求出面積.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形，則，，，則原的面積為.故選：C.4．C由正弦定理可得，根據(jù)條件求得的值，根據(jù)與的大小判斷角的大小，從而判斷三角形的解的個(gè)數(shù)．【詳解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形無解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是銳角，也可以是鈍角，故三角形有兩個(gè)解．若D成立，，，，有，∴，由于，故為銳角，故三角形有唯一解．故選：C．5．A由題設(shè)得,，再應(yīng)用正弦定理列方程求鸛雀樓的高度.【詳解】因?yàn)橹?，，，，所以，因?yàn)橹?，，，所以，?由題意，，，則，在中，由正弦定理得，即，故，故.故選：A6．B由題意求出圓錐的高，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，半圓的周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得，又母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為.故選：B.7．D利用平面向量數(shù)量定義求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得其正弦值，再根據(jù)向量積的定義可求得結(jié)果.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，且，所以，所以，故選：D.8．B由外接球表面積得到球的半徑，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】因直三棱柱中，，則兩個(gè)底面三角形的外接圓圓心分別為的中點(diǎn)，如圖所示，.設(shè)棱柱的外接球的半徑為，圓心為，由，可得，由對(duì)稱性知，O為中點(diǎn)，由圖，解得.因側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為.故選：B9．AC先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，故A正確；復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限，故D錯(cuò)誤；，其虛部為，故B錯(cuò)誤；，故C正確.故選：AC.10．ABD利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式判斷AB，利用向量的四則運(yùn)算判斷C，利用投影向量的概念判斷D.【詳解】，A正確;因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓上，所以，所以，B正確；，C錯(cuò)誤；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，由圖可知在上的投影向量為，即為，D正確．故選：ABD11．AD由線面垂直的判定及性質(zhì)即可判斷A；由線面關(guān)系即可判斷B；由線面角的定義即可判斷C；由球的表面積公式即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，連接，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B，連接，由正方體得，，又，所以，因?yàn)槠矫?，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．12．2π3【詳解】因?yàn)橄蛄縜,b滿足|a|?所以a?(a+因?yàn)閍,b∈故答案為：213．由題意求得母線長(zhǎng)，再代入圓臺(tái)表面積的公式即可求得表面積.【詳解】由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：則圓亭的高，上底面半徑，下底面半徑，則，母線5，所以圓臺(tái)的表面積.故答案為：14．由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合已知三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得面積最大值，從而求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圓的半徑．【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，由題意可得，當(dāng)即時(shí)三角形的面積最大，最大值為，所以，又，所以，又，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以；故答案為：；3．（13分）【詳解】（1），????????????????????2分因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以且，解得；??????????????5分（2）當(dāng)時(shí)，，故，???????????????????7分，故．???????????????????????9分設(shè)，則；????????????????????11分所以在上的數(shù)量投影向量為．????13分（15分）【詳解】（1）已知，則由正弦定理有.??????????????????????3分又∵，則，?????????????5分因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，.??????????????????????7分（2）由題可知：，所以，??????????????10分由余弦定理可得，即，???????????????12分所以，可得，則，???????????????14分所以的周長(zhǎng)為.???????????????????????????????15分（15分）【詳解】（1）.??????????????????????????3分（2）?????????????????????????????7分因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.?????????????????9分，由（1）可知，所以，????????11分得，則，??????????????????????12分所以??????????????????????14分所以的最大值為.?????????????????????????????15分18．（17分）【詳解】（1）如圖，連接BE，設(shè)BD∩AE=O，連接OF.?????????????????????1分因AB//DC，DE=12DC=AB=2，可得?ABED，則OD=OB又DF=PF，則得OF//PB，因OF?平面AEF，PB?平面AEF，故PB//平面AEF.???????????????4分（2）由（1）已得?ABED，因DA=AB=2，故四邊形ABED為菱形，則AE⊥BD，因PD⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,則PD⊥AE，又BD∩PD=D,BD,PD?平面PBD，故AE⊥平面PBD.????????????????8分在Rt△ABC中，BD=因PD⊥平面ABCD,BD、CD?平面在Rt△POB中，PD=2,BD=22,PB=2???????????????????10分故滿足勾股定理PB2+BC2=PC故S△PBC=而VP?BCD=13S△BCD·PD=13由等體積法得VD?PBC=13S△PBC·d=VP故點(diǎn)D到平面PBC的距離為26319．（17分）【詳解】（1）由，得，即，??????????????????????????2分在中，由正弦定理得，???????????????????????4分由余弦定理得，而