PAGEPAGE1第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)整合1．簡(jiǎn)潔幾何體(1)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征①圓柱可以由eq\o(□,\s\up4(01))矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；②圓錐可以由直角三角形繞其eq\o(□,\s\up4(02))直角邊旋轉(zhuǎn)得到；③圓臺(tái)可以由直角梯形繞eq\o(□,\s\up4(03))直角腰或等腰梯形繞eq\o(□,\s\up4(04))上、下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由eq\o(□,\s\up4(05))平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；④球可以由半圓或圓繞eq\o(□,\s\up4(06))直徑旋轉(zhuǎn)得到．(2)簡(jiǎn)潔多面體的結(jié)構(gòu)特征①棱柱的側(cè)棱都eq\o(□,\s\up4(07))平行且相等，上下底面是eq\o(□,\s\up4(08))全等的多邊形；②棱錐的底面是隨意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)eq\o(□,\s\up4(09))公共點(diǎn)的三角形；③棱臺(tái)可由eq\o(□,\s\up4(10))平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是eq\o(□,\s\up4(11))相像多邊形．2．直觀圖(1)畫(huà)法：常用eq\o(□,\s\up4(12))斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\o(□,\s\up4(13))45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面eq\o(□,\s\up4(14))垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up4(15))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\o(□,\s\up4(16))不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中eq\o(□,\s\up4(17))變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的eq\o(□,\s\up4(18))正前方、eq\o(□,\s\up4(19))正左方、eq\o(□,\s\up4(20))正上方視察幾何體畫(huà)出的輪廓線．說(shuō)明：正視圖也稱(chēng)主視圖，側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖．(2)三視圖的畫(huà)法①基本要求：eq\o(□,\s\up4(21))長(zhǎng)對(duì)正，eq\o(□,\s\up4(22))高平齊，eq\o(□,\s\up4(23))寬相等．②畫(huà)法規(guī)則：eq\o(□,\s\up4(24))正側(cè)一樣高，eq\o(□,\s\up4(25))正俯一樣長(zhǎng)，eq\o(□,\s\up4(26))側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫(huà)eq\o(□,\s\up4(27))虛線．1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，,圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變更，,相對(duì)位置不變更.))2．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．給出下列命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱肯定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體肯定是長(zhǎng)方體；③長(zhǎng)方體肯定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①直平行六面體底面是菱形，滿(mǎn)意條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿(mǎn)意條件但不是長(zhǎng)方體；③明顯錯(cuò)誤．2．(2024·河北唐山五校聯(lián)考)如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()答案A解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.3．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.4．(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖是一個(gè)正方體，A，B，C為三個(gè)頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A－BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()答案A解析正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見(jiàn)，為虛線，故選A.5．(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析依據(jù)三視圖，還原四棱錐，如圖．在四棱錐S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.明顯△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又計(jì)算△SBC的三邊長(zhǎng)并由勾股定理知其不是直角三角形．故選C.6．(2024·四川模擬)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．答案eq\f(\r(3),3)解析在長(zhǎng)方體(長(zhǎng)為2eq\r(3)，寬、高均為1)中作出此三棱錐，如圖所示，則VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×1＝eq\f(\r(3),3).核心考向突破考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說(shuō)法正確的是()A．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不肯定交于一點(diǎn)答案B解析A錯(cuò)誤，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)誤，如圖3；D錯(cuò)誤，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)．觸類(lèi)旁通解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)熟識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．2通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.即時(shí)訓(xùn)練1.以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析命題①錯(cuò)誤，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)誤，因?yàn)檫@條腰必需是垂直于兩底的腰；命題③錯(cuò)誤，因?yàn)閳A柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；命題④錯(cuò)誤，必需用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．故選A.考向二平面圖形與某直觀圖的關(guān)系例2(1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故選A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),2)解析因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).觸類(lèi)旁通畫(huà)幾何體的直觀圖一般采納斜二測(cè)畫(huà)法，其規(guī)則可以用“斜”兩坐標(biāo)軸成45°或135°和“二測(cè)”平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變來(lái)駕馭.對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.即時(shí)訓(xùn)練2.(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖①、②所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為_(kāi)_______．答案8cm2解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)cm2，故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8cm2.考向三空間幾何體的三視圖角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例3(1)(2024·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析視察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫(huà)出，俯視圖為，故選A.(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐P－A1B1A的左視圖是()答案D解析在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，從左側(cè)看三棱錐P－A1B1A，B1，A1，A的射影分別是C1，D1，D；AB1的射影為C1D，且為實(shí)線，PA1的射影為PD1，且為虛線．故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例4(1)(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長(zhǎng)棱．由三視圖可知正方體的棱長(zhǎng)為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.(2)(2024·貴州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()答案D解析選項(xiàng)A的正視圖、俯視圖不符合要求，選項(xiàng)B的正視圖、側(cè)視圖不符合要求，選項(xiàng)C俯視圖不符合要求，故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))由兩個(gè)視圖補(bǔ)畫(huà)第三個(gè)視圖例5(1)(2024·天津模擬)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B解析由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫(huà)出幾何體的直觀圖，如圖所示．從左側(cè)視察直觀圖，可知截面體現(xiàn)為從左上到右下的虛線．故選B.(2)(2024·沈陽(yáng)模擬)一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不行能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析若俯視圖為選項(xiàng)C，側(cè)視圖的寬應(yīng)為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不行能是選項(xiàng)C.故選C.觸類(lèi)旁通三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解策略(1)在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先依據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后依據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形態(tài)，即可得到結(jié)果．2在由三視圖還原空間幾何體的實(shí)際形態(tài)時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.即時(shí)訓(xùn)練4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則空間四邊形AGFE在該正方體的表面上的正投影不行能是()答案B解析四邊形AGFE在正方體的上、下兩個(gè)面上的正投影為選項(xiàng)A，在左、右兩個(gè)面上的正投影為選項(xiàng)D，在前、后兩個(gè)面上的正投影為選項(xiàng)C，故不