福建省三明市泰寧縣第一中學(xué)2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：從每題給出的四個選項中，選出正確的一個。1.已知函數(shù)$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，那么函數(shù)的周期$T$為：A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{3}$2.設(shè)$a,b,c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=0$，那么$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}$的值為：A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：直接寫出答案。3.設(shè)復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$為實數(shù)），若$z^2+2iz=4i$，則實數(shù)$a$的值為______。4.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的圖像與$x$軸的交點個數(shù)為______。三、解答題要求：寫出解答過程。5.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=1$，$S_{n+1}-S_n=2n+1$，求$\{a_n\}$的通項公式。（1）求$a_2$的值。（4分）（2）證明$\{a_n\}$是等差數(shù)列。（4分）（3）求$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。（4分）四、解答題要求：寫出解答過程。6.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$，其中$x>0$，求函數(shù)$f(x)$的極值及極值點。（1）求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。（4分）（2）判斷函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的單調(diào)性。（4分）（3）求函數(shù)$f(x)$的極值及極值點。（4分）五、解答題要求：寫出解答過程。7.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點為$F(ae,0)$，其中$e$為橢圓的離心率，且$a^2=3b^2$，直線$l$與橢圓相交于$A,B$兩點，直線$l$的方程為$y=kx+m$。（1）求橢圓的方程。（4分）（2）求直線$l$與橢圓的交點坐標(biāo)。（4分）（3）求弦$AB$的長度。（4分）六、解答題要求：寫出解答過程。8.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，且$a_1=1$。（1）證明數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。（4分）（2）求$\lim_{n\to\infty}a_n$。（4分）（3）求$\sum_{i=1}^na_i$的表達式。（4分）本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：周期函數(shù)的周期$T$是函數(shù)在一個周期內(nèi)的最小正周期，對于正弦函數(shù)$\sin(x)$，其周期為$2\pi$，所以函數(shù)$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$的周期也是$2\pi$。2.B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，$a+b+c=3a+3d=0$，解得$a=-d$。所以$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}=2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)=2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)=2\left(\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\right)=2\left(\frac{(-d+b)^2-2ab}{ab}\right)=2\left(\frac{(-d)^2}{ab}\right)=2\cdot3=6$。二、填空題3.0解析：由$z^2+2iz=4i$得$(a+bi)^2+2i(a+bi)=4i$，即$a^2-b^2+2abi+2ai+2b^2=4i$。比較實部和虛部，得到$a^2-b^2+2b^2=0$和$(2a+2b)i=4i$，解得$a=0$，$b=2$。4.1解析：令$f(x)=x^3-3x+1=0$，求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。當(dāng)$x=-1$時，$f''(x)=6x>0$，故$x=-1$是$f(x)$的極小值點；當(dāng)$x=1$時，$f''(x)=6x>0$，故$x=1$是$f(x)$的極大值點。由于$f(-1)=f(1)=1$，且$f(x)$是三次函數(shù)，因此圖像與$x$軸只有一個交點。三、解答題5.（1）由$S_{n+1}-S_n=2n+1$，得$a_{n+1}=2n+1$。因為$a_1=1$，所以$a_2=3$。（2）由（1）知$a_n=2n-1$，所以$a_{n+1}-a_n=2$，即$\{a_n\}$是公差為2的等差數(shù)列。（3）等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(1+(2n-1))=n^2$。四、解答題6.（1）$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$。（2）當(dāng)$x>0$時，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x<0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增。所以$x=0$是$f(x)$的極值點。（3）在$x=0$處，$f(x)$取得極小值$f(0)=\ln(1)-0=0$。五、解答題7.（1）由橢圓的定義知$ae^2=1$，所以$a^2=1/e^2$。又因為$a^2=3b^2$，所以$b^2=1/3$。所以橢圓的方程為$x^2/3+y^2=1$。（2）將直線$l$的方程代入橢圓方程，得$x^2/3+(kx+m)^2=1$，整理得$(1+3k^2)x^2+6kmx+3(m^2-1)=0$。由韋達定理知$x_1+x_2=-\frac{6km}{1+3k^2}$，$x_1x_2=\frac{3(m^2-1)}{1+3k^2}$。（3）弦$AB$的長度$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{36k^2-12(m^2-1)}{1+3k^2}}$。六、解答題8.（1）由$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$得$a_{n+1}-1=(a_n-1)^2$，因為$a_1=1$，所以$a_n>1$，從而$a_{n+1}>1$，即$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。（2）由（1）知$\{a_n\}$單調(diào)遞增且有上界，所以$\lim_{n\to\infty}a_n$存在，設(shè)$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，則$A=A^2-A+1$，解得$A=1$或$A=-1$。因為$a_n>1$，所以$\lim_{n\to\infty}a_n=1$。（3）由$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$得$a_n^2=a_{n+1}+a_n-1$，所以$\sum_{i=1}^na_i^2=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^n(a_{i+1}-a_i)-n=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^na_{i+1}-n=\sum_{i=1}^na_i+a_1+a_n-n=2a_1+a_n\sum_{i=1}^na_i-n=2a_1+a_n\cdot\frac{1}{2}