第頁，共頁2024學(xué)年第二學(xué)期溫州新力量聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則=A.-2i B.2i C.-2 D.2【答案】A【解析】【詳解】由得,即,所以,故選A.【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.注意下面結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.2.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合充分條件、必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法得到三角形為直角三角形，，邊長，，然后即可求三角形的周長．【詳解】根據(jù)斜二測畫法得到三角形為直角三角形，，底邊長，高，所以，直角三角形的周長為．故選：A．4.“平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)”用符號語言表述是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)線面的關(guān)系把文字語言翻譯成符號語言即可.【詳解】平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)，符號表達(dá)為：，，故選：C5.在平行四邊形中，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，，又由可得E是DO的中點(diǎn)，.故選：B.6.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可判定選項(xiàng)A，利用正弦定理和大邊對大角可判斷選項(xiàng)B，C，D.【詳解】對于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)正弦定理得，，又，，B有兩解，故B符合題意；對于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合題意.對于D，根據(jù)正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合題意.故選：B7.設(shè)非零向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個(gè)向量，它的模，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量夾角余弦公式得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦值，進(jìn)而代入公式求出答案.【詳解】，故，所以，故.故選：D8.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，角所對的邊分別為，且，若，則當(dāng)角取到最大值時(shí)的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，運(yùn)用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算律表示，求得，再由余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】如下圖所示：設(shè)的中點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以，由知，角為銳角，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以此時(shí)，角取得最大值，此時(shí)恰有，此時(shí)三角形是直角三角形，所以.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（

）A.直線與是相交直線 B.直線與是異面直線C.與平行 D.直線與共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)異面直線的概念結(jié)合正方體性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)直線的平行的判定可判斷C；利用四點(diǎn)共面可判斷D.【詳解】對于A，三點(diǎn)在平面內(nèi)，M點(diǎn)不在直線上，A點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對于B，三點(diǎn)在平面內(nèi)，不在直線上，M點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故B正確；對于C，取的中點(diǎn)E，連接，又N為的中點(diǎn)，則有，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，則與不平行，故C錯(cuò)誤；對于D，連接，因?yàn)镸，N分別為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，則有四點(diǎn)共面，所以直線與共面，故D正確.故選：BD10.已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及實(shí)數(shù)0的含義判斷選項(xiàng)B；由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，對于A，，，故選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)?，則，則或，所以中至少有一個(gè)0，即或，故選項(xiàng)B不正確；對于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，=，所以，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)，則，可得，解得，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知內(nèi)角所對的邊分別為內(nèi)一點(diǎn)滿足與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理即可判斷A；由平面向量線性運(yùn)算即可判斷D；由平面向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷B；由三角形面積公式即可判斷C．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，故A正確；所以，所以，故D正確；所以，故B錯(cuò)誤；由D知，是的平分線，所以，整理得，故C錯(cuò)誤；故選：AD．非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角A，B，C所對邊分別為的面積__________.【答案】##【解析】【分析】由三角形的面積公式求解即可.【詳解】，故答案為：13.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取兩點(diǎn)，從兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為，且兩點(diǎn)間的距離為，則樹的高度為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求得，利用直角三角形求得樹高.【詳解】在中，由正弦定理得：，即，即又，則，則樹高m，故答案為：14.在中，為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出與的關(guān)系式，再利用基本不等式求解的最大值.【詳解】因?yàn)?，根?jù)向量垂直的性質(zhì)可知，那么.對兩邊同時(shí)平方由可得.展開可得：.將，，，代入上式可得：，即，化簡得.設(shè)，，則.根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），可得：.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，.（1）求；（2）；（3）求向量與向量的夾角.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積公式直接得答案；（2）由，再結(jié)合（1）的結(jié)論可求得答案；（3）由向量夾角公式結(jié)合數(shù)量積公式即可求得答案.【小問1詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，則.【小問2詳解】.【小問3詳解】設(shè)向量與向量的夾角，可得，且，則，所以向量與向量的夾角為.16.正四棱錐中，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn).（1）求四棱錐的表面積（2）求四面體的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，然后?jì)算出四個(gè)側(cè)面三角形的面積，計(jì)算表面積即可；（2）由于為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，由體積公式求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以四棱錐的表面積為；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，17.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，其所對應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，是虛數(shù)單位.（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的二次方程有一個(gè)實(shí)根.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）需要先計(jì)算和，再求它們差的模；（2）設(shè)出實(shí)根，代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解.【小問1詳解】【小問2詳解】設(shè)是二次方程的一個(gè)實(shí)根，將代入方程得：由復(fù)數(shù)相等的意義得：，解得：所以當(dāng)時(shí)，原方程有一實(shí)根18.已知分別為銳角三個(gè)內(nèi)角的對邊，且.（1）求；（2）若；（i）求周長的取值范圍.（ii）當(dāng)周長最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合三角函數(shù)求角即可；（2）（i）先根據(jù)正弦定理得出2R的值，把轉(zhuǎn)化為含的三角函數(shù)式.利用將化為，化簡得到.再根據(jù)銳角三角形條件確定范圍，進(jìn)而得到范圍，求出范圍，最后得出周長范圍.（ii）當(dāng)周長最大時(shí)三角形是等邊三角形，建立直角坐標(biāo)系確定、坐標(biāo)，得出向量、，計(jì)算數(shù)量積，通過配方求最小值.【小問1詳解】.由正弦定理得在中，代入上式化簡得：sinC因?yàn)椋?，即為銳角，【小問2詳解】（i）由正弦定理得所以是銳角三角形，即所以周長的取值范圍為.（ii）當(dāng)三角形周長最大時(shí)，三角形為等邊三角形，以所在直線為軸，過垂直于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)，取最小值所以的最小值是19.據(jù)報(bào)道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機(jī)組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標(biāo)志著國內(nèi)最重核電機(jī)組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動了我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整，助力“雙碳”目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn).報(bào)道中提到的球冠是一個(gè)空間幾何概念，它是指球面被一個(gè)平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過球心的截面圓）周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應(yīng)的幾何體叫球缺，它是指球體被一個(gè)平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當(dāng)球缺的高小于球半徑時(shí)，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點(diǎn)的圓錐所構(gòu)成的體，稱作“球錐”（如圖（2））當(dāng)一個(gè)四面體各頂點(diǎn)都在“球錐”表面上時(shí)，稱這個(gè)四面體內(nèi)接此“球錐”.如圖（2），設(shè)一個(gè)“球錐”所在球的半徑為，其中球冠高為.（1）類比球體積公式的推導(dǎo)過程（可參考圖（3）），寫出“球錐”的體積公式；（直接寫結(jié)果）（2）在該“球錐”中，當(dāng)球缺的體積是圓錐的體積2倍時(shí)，求的值；（3）已知一個(gè)棱長為正四面體內(nèi)接此“球錐”，并且有一個(gè)頂點(diǎn)與球心重合，若滿足條件的有且只有一個(gè)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把“球錐”切割成無數(shù)個(gè)小錐體，結(jié)合錐體體積公式得“球錐”的體積.（2）根據(jù)球缺體積是圓錐體積的2倍這一條件，結(jié)合球缺和圓錐體積公式列出等式，通過化簡求解的值.（3）根據(jù)正四面體與“球錐”的內(nèi)接關(guān)系，利用正四面體的外接圓半徑和高的性質(zhì)，分析得出存在棱長唯一的正四面體內(nèi)接“球錐”時(shí)的取值范圍.【小問1詳解】把“球錐”切割成無數(shù)個(gè)小錐體，由題意得球冠面積，所有小