同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件演講人：XXX日期:函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)微分方程多元微積分級(jí)數(shù)理論目錄01函數(shù)與極限函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，其中每一個(gè)自變量的值都對(duì)應(yīng)唯一的因變量值。函數(shù)的定義描述函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加或減少的性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的不同特性，可以將其分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。函數(shù)的分類010302函數(shù)基本概念與性質(zhì)定義函數(shù)在原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，分為奇函數(shù)和偶函數(shù)。函數(shù)的奇偶性04極限的定義與運(yùn)算極限的概念極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為或趨勢(shì)的數(shù)學(xué)工具。02040301無(wú)窮小量與無(wú)窮大量介紹無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用。極限的運(yùn)算法則包括極限的加法、減法、乘法、除法等基本運(yùn)算法則。極限的存在性探討函數(shù)在某點(diǎn)處是否存在極限，以及判斷極限存在的充分必要條件。連續(xù)性與間斷點(diǎn)分析函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)間內(nèi)是否連續(xù)的性質(zhì)。間斷點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限情況，將間斷點(diǎn)分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)等類型。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有一些重要的性質(zhì)，如介值定理、最值定理等。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)探討閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性、最值定理等性質(zhì)，以及這些性質(zhì)在微積分學(xué)中的應(yīng)用。02導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，是極限概念在函數(shù)領(lǐng)域的具體應(yīng)用。01幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示了曲線在某一點(diǎn)的切線斜率，反映了曲線在該點(diǎn)的變化趨勢(shì)。02左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)分別表示從左側(cè)和右側(cè)趨近于某點(diǎn)時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)。03微分法則與高階導(dǎo)數(shù)微分法則與高階導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則微分表達(dá)式與導(dǎo)數(shù)關(guān)系包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的基本導(dǎo)數(shù)公式。包括加法、減法、乘法、除法等運(yùn)算法則，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。通過(guò)多次求導(dǎo)，可以獲得函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，用于研究函數(shù)的更高階性質(zhì)。微分表達(dá)式表示了函數(shù)在某一點(diǎn)的變化量，與導(dǎo)數(shù)有密切的關(guān)系。微分中值定理應(yīng)用羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得導(dǎo)數(shù)等于零。拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值的差與區(qū)間長(zhǎng)度的比值?？挛髦兄刀ɡ砣绻麅蓚€(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)的值不為零，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之比等于兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值之差與自變量之差之比。泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式是拉格朗日中值定理的推廣，它用多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù)，而麥克勞林公式是泰勒公式在特定點(diǎn)（通常是零點(diǎn)）的特殊情況。03積分學(xué)不定積分計(jì)算方法包括基本積分公式和積分法則，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的積分方法。直接積分法通過(guò)變量替換簡(jiǎn)化被積函數(shù)的形式，從而將其轉(zhuǎn)化為易于積分的形式，包括三角換元法和根式換元法等。熟練掌握常見(jiàn)的積分表和積分公式，以便快速計(jì)算。換元積分法利用函數(shù)的乘積法則，將復(fù)雜的被積函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積，然后進(jìn)行積分。分部積分法01020403積分表與積分公式定積分定義與性質(zhì)定積分的定義通過(guò)無(wú)限分割和求和的方法，定義定積分及其幾何意義。定積分的性質(zhì)包括線性性、對(duì)稱性、可加性等基本性質(zhì)，以及積分上限函數(shù)和積分下限函數(shù)的性質(zhì)。牛頓-萊布尼茨公式建立定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，提供計(jì)算定積分的一種有效方法。定積分的計(jì)算技巧掌握定積分的換元法、分部積分法以及積分上下限的變換等技巧。積分在幾何物理中的應(yīng)用幾何應(yīng)用工程應(yīng)用物理應(yīng)用積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中的應(yīng)用利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、曲線的弧長(zhǎng)以及旋轉(zhuǎn)體的體積等幾何量。積分在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，如計(jì)算物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等物理量，以及求解變速運(yùn)動(dòng)的路程、功、能等。積分在工程領(lǐng)域也有重要應(yīng)用，如計(jì)算梁的截面面積、應(yīng)力、應(yīng)變等力學(xué)量，以及求解電磁學(xué)、熱學(xué)等領(lǐng)域中的某些問(wèn)題。利用積分求解經(jīng)濟(jì)、金融問(wèn)題中的總量指標(biāo)，如總收益、總成本等，以及進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和資產(chǎn)定價(jià)等。04微分方程微分方程基本概念微分方程是描述未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的方程。微分方程的定義方程中未知函數(shù)最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。微分方程的階數(shù)滿足微分方程的函數(shù)稱為該方程的解，包括通解和特解。微分方程的解求解微分方程需要給定的初始條件，如初始值或邊界條件。初始條件可分離變量法通過(guò)變量分離，將微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可積分的表達(dá)式，從而求解未知函數(shù)。齊次方程法通過(guò)變量代換，將微分方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的形式，進(jìn)而求解。一階線性微分方程利用常數(shù)變易法，求解一階線性微分方程，包括齊次和非齊次兩種情況。積分因子法通過(guò)尋找積分因子，將微分方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，進(jìn)而求解。一階微分方程解法高階線性微分方程分析高階線性微分方程的定義未知函數(shù)最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)大于一的線性微分方程。齊次與非齊次方程根據(jù)方程中是否含有自由項(xiàng)（即非齊次項(xiàng)）進(jìn)行分類。線性微分方程解的結(jié)構(gòu)由通解和特解組成，通解中包含任意常數(shù)，特解是滿足特定初始條件的解。特征方程法通過(guò)求解特征方程，確定高階線性微分方程的通解形式，適用于常系數(shù)線性微分方程。05多元微積分多元函數(shù)自變量取值范圍及約束條件。多元函數(shù)定義域函數(shù)在某點(diǎn)處或整體上的不間斷性。多元函數(shù)連續(xù)性多元函數(shù)在某點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處趨近值。多元函數(shù)極限概念010302多元函數(shù)極限與連續(xù)性多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算規(guī)則。極限運(yùn)算法則04偏導(dǎo)數(shù)與全微分計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示該自變量變動(dòng)時(shí)函數(shù)的變化率。偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算利用偏導(dǎo)數(shù)定義、極限法、鏈?zhǔn)椒▌t等方法計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)偏導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)得到的高階偏導(dǎo)數(shù)。全微分與偏微分函數(shù)全微分與各個(gè)自變量的偏微分之間的關(guān)系。對(duì)多元函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)進(jìn)行多次積分。利用積分區(qū)域的對(duì)稱性、積分次序的交換等技巧進(jìn)行計(jì)算。對(duì)曲線上的函數(shù)進(jìn)行積分，分為對(duì)弧長(zhǎng)的積分和對(duì)坐標(biāo)的積分。利用參數(shù)方程、格林公式等方法計(jì)算曲線積分。重積分與曲線積分基礎(chǔ)重積分概念重積分計(jì)算曲線積分定義曲線積分計(jì)算06級(jí)數(shù)理論比較判別法、比值判別法、根值判別法等。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別通過(guò)具體例子，講解如何利用收斂性判別法判斷級(jí)數(shù)的收斂性。收斂性判別法的應(yīng)用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與收斂域冪級(jí)數(shù)基本概念冪級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)及收斂性。01泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式。02收斂域的求解利用比值判別法、根值判別法及收斂半徑的求解方法確定冪級(jí)數(shù)的收斂域