專題5：極值點(diǎn)偏移問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>極值點(diǎn)偏移：在函數(shù)中，如果兩零點(diǎn)與極值點(diǎn)并不對(duì)稱，這時(shí)極值點(diǎn)也就發(fā)生了偏移，偏移分為左偏和右偏.是函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱性.函數(shù)fx極值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)f'x=0時(shí)相應(yīng)的值x0，而函數(shù)fx與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1,x2為函數(shù)fx的零點(diǎn)，若函數(shù)fx極值點(diǎn)偏移問題分析求解最重要的是要學(xué)會(huì)構(gòu)建“一元差”函數(shù)，先將兩變量變形放在原函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用原函數(shù)的單調(diào)性對(duì)變量進(jìn)行大小比較，再通過對(duì)這一元差函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，證明其值大于零，結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)的意義，對(duì)于一階導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)進(jìn)行分析求解最值，這應(yīng)該就是求解極值點(diǎn)偏移正確的解題思路和基本步驟.總結(jié)解決極值點(diǎn)偏移問題的方法.處理極值點(diǎn)偏移問題一般有四種解法:構(gòu)造輔助函數(shù)法,對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù),對(duì)數(shù)均值不等式,雙變量齊次化構(gòu)造.四種方法各有優(yōu)劣,其中構(gòu)造輔助函數(shù)和對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的通法,是從"形"的角度解決問題.求極值點(diǎn)偏移的常用方法：方法1.換元、構(gòu)造、化齊次：這種方法是最常見的方法，大致分為3步，第一步：代根作差找關(guān)系，第二步：換元分析化結(jié)論，第三步：構(gòu)造函數(shù)證結(jié)論.方法2.消參構(gòu)建法：含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，在原有的兩個(gè)變元的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變元的新的函數(shù).<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：x1題設(shè)情境是由函數(shù)的切線方程求參數(shù)的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的“兩不同零點(diǎn)之和”的不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)與方程思想求參數(shù)的值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本方法，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第（2）問利用函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想確定的取值范圍，然后應(yīng)用極值點(diǎn)偏移的基本方法證明.例1已知函數(shù)，且曲線在處的切線為.（1）求m，n的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：.【思路點(diǎn)撥】（1）由導(dǎo)數(shù)得幾何意義列出方程組即可求得的值，再將帶入原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)中分別求得解析式，由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）若，要證明：，由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于典型的極值點(diǎn)偏移問題，由移向構(gòu)造新函數(shù)，求得新函數(shù)的單調(diào)性即可證明.練1(2024·廣東省廣州市·聯(lián)考題)已知函數(shù)fx=x(1)討論函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在e(3)若fx=m有兩解x1，x2，且x練2（2024湖北省武漢市期中考試）已知函數(shù)f(x)=12x2(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)證明：x題型二：題型二：f'x1題設(shè)情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)的兩不同零點(diǎn)的平均值偏函數(shù)極值點(diǎn)左側(cè).第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，借助數(shù)形結(jié)合思想確定函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)充要條件求參數(shù)a的取值范圍，然后應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的充分條件探究零點(diǎn)的方程組,利用“消參、換元、構(gòu)造函數(shù)”等基本方法與技巧證明.例2已知函數(shù)f(x)=e（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;（2）若a>0，設(shè)f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1【思路點(diǎn)撥】第（1）問由f'(x)=2e2x?a,根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)取值，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)變化,分類討論進(jìn)行求解即可；第（2）問根據(jù)零點(diǎn)的定義，由函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),推算出實(shí)數(shù)a的取值范圍,然后由f練3（2024·天津市·月考試卷）設(shè)函數(shù)fx=（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；（3）若方程f(x)=c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：．練4（2024·湖北省·聯(lián)考題）設(shè)函數(shù)，(1)設(shè)，求證：，恒有.(2)若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證.題型三：類題型三：類極值點(diǎn)偏移問題題設(shè)情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明與函數(shù)的兩不同零點(diǎn)的不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問由函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的充分條件，得到有關(guān)零點(diǎn)的方程組,利用“消參、換元、構(gòu)造函數(shù)”等基本方法與技巧，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性與轉(zhuǎn)化化歸思想證明不等式ex1例3已知函數(shù)fx=（1）討論fx（2）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)fx存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,【思路點(diǎn)撥】第（1）問由已知得f'x=ex?a+1，,然后分1?a≥0、1?a<0兩類情,推算f'x正負(fù)取值,即可研究fx的單調(diào)性；第（2）問由題設(shè)可得ex1?ex2=2x1練5(2025·浙江省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=mx+lnx．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若14<m<1e，求證：函數(shù)g(x)=xlnx練6（2024·湖北省黃岡市·月考試卷）設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在三個(gè)極值點(diǎn)，，，且，求k的取值范圍，并證明：.練7（2024·湖北省宜昌市·聯(lián)考題）設(shè)實(shí)數(shù)，且，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）證明：.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2024·江蘇省揚(yáng)州市·月考試卷)若函數(shù)f(x)=lnx?(1)若a=4，且曲線y=f(x)的切線l過點(diǎn)(0,2e2)，求直線(2)證明：若f(x1(3)若G(x)=f(x)+x+lna2≤02.（2024·江西省·月考試卷）已知函數(shù)f(x)=(a?x)ex(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在x=1處的切線平行于x軸，且f(m)=f(n)(m≠n)，證明：f(m+n)>0．3.(2025·陜西省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=2alnx?(1)若a=1，證明：f(x)<2x?x(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，求a的取值范圍，并證明：x4.（2024·湖南省·月考試卷）已知函數(shù)fx=2e?x（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若x1,x2∈0,1，且5.(2025·陜西省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=2aln(1)若a=1，證明：f(x)<2x?x(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，求a的取值范圍，并證明：6.(2025·湖北省荊門市·單元測試)已知函數(shù)f(x)=x?lnx?a有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1，x2(x1<x2).

(1)求7.(2024·吉林省吉林市·模擬題)在平面直