高中數(shù)學2.4線性回歸方程

1.與函數(shù)關系不同，相關關系是一種有關系，但不是

確定性的關系.

2.能用直線方程=〃e+a近似表示的相關關系叫做線性相

關關系，該方程叫線性回歸方程,給出一組數(shù)據(jù)（4，

匕），（“踴），…，（七，匕，線性回歸方程中的系數(shù)％礴足

nnn

〃2＞科一（2.勺）（22.V,）

1=11=11=1

b==

nn

“NX，一（工再）2

i=li=l

a=y-bx

上式還可以表示為

n__n__

二孫一〃XyX（x,-y）

1=1?=1

b==

n_n_

￡丁一〃X2工（X,--X）2

i=li=l

a=y-bx.

y=bx+a線性回歸方程

1.相關關系與函數(shù)關系的異同點

系

異亦、函數(shù)關系相關關系

相同點兩者均是指兩個變量之間的關系

是一種確定性關系是一種非確定的關系

①一個為變量，另一個為隨機

是兩個變量之間的關

變量;

系②兩個都是隨機變量

不同點

不一定是因果關系，也可能是

是一種因果關系

伴隨關系

是一種理想關系模型是更為一般的情況

2.回歸直線方程

(1)回歸直線方程的思想方法

①回歸直線：觀察散點圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點大致分布在一

條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系，這

條直線叫做回歸直線.

可見，根據(jù)不同的標準可畫出不同的直線來近似表示這種

線性關系.比如，可以連接最左側點和最右側點得到一條直

線；也可以讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等，……

這些辦法，能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎？它們

雖然都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強.

②最小二乘法：實際上，求回歸直線方程的關鍵是如何用

數(shù)學的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離最小”，

即最貼近已知的數(shù)據(jù)點，最能代表變量x與y之間的關系.

(2)利用回歸直線對總體進行估計

利用回歸直線，我們可以進行預測，若回歸直線方程為：?二

bx+a,則x=x0處的估計值為：y—hxo+a.

題型一相關關系的判斷

【例I】下列兩個變量之間的關系中，①角度和它的余弦

值；②正方形的邊長和面積；③正〃邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之

和；④人的年齡和身高.不是函數(shù)關系的是.(填序號)

［思路探索I函數(shù)關系是一種變量之間確定性的關系.而相

關關系是非確定性關系.

解析選項①②③都是函數(shù)關系，可以寫出它們的函數(shù)表

達式：./(O)=cos0,g(a)=a2,h(n)=nn—2n,④不是函數(shù)關系，

對于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人.答案④

規(guī)律方法（1）兩變量間主要有兩種關系：一是確定的函數(shù)

關系，另一是不確定的相關關系.同時要注意，兩變量間也可

能無相關關系，數(shù)學中只有統(tǒng)計部分研究不確定的相關關系.

（2）函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別的關鍵是“確定性”還是

“隨機性”.

題型二線性回歸方程的求法

【例2】假設關于某設備的使用年限4年）和所支出的維修

費用），（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

使用年限x（年）23456

維修費用y（萬元）2.23.85.56.57.0

若由資料知y對x呈線性相關關系，求線性回歸方程=版+

［思路探索］本題已知x與y具有線性相關關系，故無需畫散

點圖進行判斷，可直接用公式求解.

解制表.

i12345合計

xi2345620

2.23.85.56.57.025

卬4.411.422.032.542.0112.3

X,24916253690

__55

/.x=4,y=5,2x，=90,￡,y=112.3.

?=|j=i

根據(jù)方程;

Ex，,一nxy

i=1.112.3—5X4X5

h=-----------------------------?b=-90-5X42-1.23,

n__

0H丫2___.7丫2

i=\

ci=y—bx.a=5-l.23*4=0.08

???所求線性回歸方程為9=1.23x+O.O8.

規(guī)律方法求線性回歸方程的一般步驟：

(1)畫散點圖，看兩個變量是不是存在線性相關關系.

(2)列表計算"亍，iv，立必(建議用列表方法計算)

i=lZ=1

(3)利用(2)的結果計算。、b,得出線性回歸方程.

X3528912

y46391214

-3+5+2+8+9+12

解.=6.5,

4+6+3+9+12+14

V=7=8,

66

SA7=327,2>必=396,

<=1i=i

6__

6Ky

1=1

：.b=--------------^1.143,a=y-b嬴0.571,

6_

￡國2-6x2

/=1

???回歸直線方程為夕=l.143x+0.57L

題型三利用回歸直線對總體進行估計

【例3】(14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲

產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量武噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾

組對照數(shù)據(jù).

X3456

y2.5344.5

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y關于x的線

性回歸方程；

(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準

煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預測生產(chǎn)10()噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)

能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數(shù)值：3X2.54-4X3+5

X4+6X4.5=66.5)

審題指導本題考查線性回歸方程的求解及利用回歸直線對

￡弁力一〃xy

1=1

總體進行估計.利用公式：b=---------,a=y-b1來求出

%：一〃x2

1=1

系數(shù).

【解題流程】

［規(guī)范解答］(1)由題設所給數(shù)據(jù)，可得散點圖，如右圖所示.

y(能耗：噸標準煤)

P]3456一產(chǎn)量:噸)

(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：

4.-3+4+5+6

2A7~=86,x=4=4.5,

i=l

-2.5+3+4+45?之

y—J=3.5,已知￡孫=665

<=i

所以由最小平方法確定的線性回歸方程的系數(shù)為

4__

4xy

/=166.5-4X4.5X3.5

b=~.一86—4X4?=°7

Z>/2-4x2

1=1

a=y—bx=3.5—0.7X4.5=0.35.

因此，所求的線性回歸方程為夕=0.7x+0.35.

(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，可得

降低的生產(chǎn)能耗為90—(0.7X100+0.35)=19.65(噸標準煤).

【題后反思】解決此類問題首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點

圖，根據(jù)散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系，如果兩

個變量之間不具有相關關系，或者說，它們之間的關系不顯

著，即使求得了線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計

和預測的結果也是不可信的.

【變式3】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和新房

屋的面積x的數(shù)據(jù)：

新房屋面積(m2)11511080135105

銷售價格(萬元)24.821.618.429.222

(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；

(2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；

(3)據(jù)(2)的結果估計當新房屋面積為150時的銷售價格.

解(1)數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示.

1_1_5-o-5

(2)X=52>=109,l?=x(x,-x)-=l570,y=23.2,l招Q

30

25

—x)8—y)=308,20

15

10

設所求回歸直線方程為9=%+2,5

7090110130150*

Iano_308

則1=產(chǎn)=1v7n-0.1962,a=y—hx=23.2-109

15/1)

^1.8166.

故所求回歸直線方程為9=0.1962x+1.816.6.

(3)據(jù)⑵,當x=150n?時，銷售價格的估計值為:

5=0.1962X150+1.8166=31.2466(萬元).

n__ii__

xyX(x,—x)(y,—y)

<=!i=1

b=---------=-----------

n_n_

Z-V-nx22(x,—x)2

1i=1

a=y—bx.

誤區(qū)警示最小二乘法的原理不清而出錯

【示例】已知小y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：

X13678

y12345

對于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學給出的擬合直線分別為y=%

+1與試利用最小二乘法思想判斷哪條直線擬合程度

更好。

［錯解］x、y作為點的坐標，作出所給數(shù)據(jù)的散點圖.

用丫=%+1作為擬合直線時，散點圖上的點到擬合直線的距

T7Vio

=贏=10；

用）?=。工++作為擬合直線時，散點圖上的點到擬合直線

的距離之和為

嗔二專5；

J5_D

T

幺＜。|,???用直線y=十x+/擬合程度更好.

思維突破題目要求利用最小二乘法思想判斷哪條直線擬合

程度更好，不是用散點圖上的點到擬合直線的距離之和最小來

判斷.

[正解]用y=%+l作為擬合直線時，所得y估計值與y的實

際值的差的平方和為S尸修一1卜（2—2尸十（3—3尸+（學一會

俘-5卜各

用作為擬合直線時，所得y估計值與y的實際值的

差的平方和為

22222

S2=（l-l）+（2-2）+[|-3j+（4-4）+[1-5j=^；

.?.S2VS1，用直線擬合程度更好.

追本溯源最小二乘法思想是：計算散點圖上