定積分試題及答案詳解

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\int_{a}^{a}f(x)dx=$（）A.$f(a)$B.0C.1D.$f(x)$2.若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\int_{a}^f(x)dx=$（）A.$F(a)-F(b)$B.$F(b)-F(a)$C.$f(b)-f(a)$D.$f(a)-f(b)$3.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.34.定積分的值與（）無關(guān)。A.積分下限B.積分上限C.被積函數(shù)D.積分變量的符號5.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_^{a}f(x)dx$的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.絕對值相等D.沒關(guān)系6.設(shè)$f(x)$為偶函數(shù)，且$\int_{-a}^{a}f(x)dx=8$，則$\int_{0}^{a}f(x)dx=$（）A.0B.4C.8D.167.$\int_{0}^{2}(x+1)dx=$（）A.2B.4C.6D.88.若$\int_{a}^f(x)dx=0$，則在$[a,b]$上（）A.$f(x)=0$B.至少有一點(diǎn)$\xi$使得$f(\xi)=0$C.$f(x)$恒大于0D.$f(x)$恒小于09.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=$（）A.0B.1C.eD.$\frac{1}{e}$10.定積分$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=$（）A.0B.1C.2D.4二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是定積分的性質(zhì)（）A.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$B.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a\ltc\ltb$）D.若$f(x)\leqg(x)$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\leq\int_{a}^g(x)dx$2.以下函數(shù)在給定區(qū)間上可積的有（）A.$f(x)=x$在$[0,1]$B.$f(x)=\frac{1}{x}$在$[0,1]$C.$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$D.$f(x)=\sinx$在$[0,2\pi]$3.關(guān)于定積分$\int_{a}^f(x)dx$，正確的說法是（）A.它是一個常數(shù)B.它表示由曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，$x=b$及$x$軸圍成圖形的面積C.它與積分變量無關(guān)D.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$4.下列等式成立的是（）A.$\frac6666666{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$B.$\int_{a}^f^\prime(x)dx=f(b)-f(a)$C.$\int_{a}^dx=b-a$D.$\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0$5.定積分可以用來計(jì)算（）A.平面圖形的面積B.旋轉(zhuǎn)體的體積C.變速直線運(yùn)動的路程D.物體的質(zhì)量6.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則（）A.存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)$B.$\int_{a}^f(x)dx$一定存在C.$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值D.$\int_{a}^f(x)dx$是關(guān)于$a$和$b$的函數(shù)7.下列定積分值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx$B.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}(x+1)dx$D.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$8.定積分$\int_{0}^{1}x^ndx$（$n$為正整數(shù)）的值為（）A.$\frac{1}{n+1}$B.當(dāng)$n=1$時(shí)為$\frac{1}{2}$C.與$n$有關(guān)D.隨$n$增大而減小9.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上可積，下列說法正確的是（）A.改變$f(x)$在有限個點(diǎn)的值，不影響$\int_{a}^f(x)dx$的值B.若$f(x)$在$[a,b]$上有界，則$f(x)$在$[a,b]$上可積C.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則$f(x)$在$[a,b]$上可積D.可積函數(shù)一定有界10.對于定積分$\int_{a}^f(x)dx$，當(dāng)（）時(shí)，$\int_{a}^f(x)dx\gt0$。A.$f(x)\gt0$在$[a,b]$上恒成立B.$f(x)$在$[a,b]$上的平均值大于0C.由$y=f(x)$，$x=a$，$x=b$及$x$軸圍成圖形在$x$軸上方部分面積大于下方部分面積D.$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增三、判斷題（每題2分，共10題）1.定積分$\int_{a}^f(x)dx$的值只與被積函數(shù)$f(x)$及積分區(qū)間$[a,b]$有關(guān)。（）2.若$f(x)$在$[a,b]$上不可積，則$f(x)$在$[a,b]$上無界。（）3.$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^f(t)dt$的值相等。（）4.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)且非負(fù)，則$\int_{a}^f(x)dx\geq0$。（）5.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$表示由曲線$y=x^2$，直線$x=0$，$x=1$及$x$軸圍成圖形的面積。（）6.若$f(x)$是偶函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）7.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$[-1,1]$上可積。（）8.$\int_{a}^1dx=b-a$。（）9.若$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx$，則$f(x)=g(x)$在$[a,b]$上恒成立。（）10.定積分運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算互為逆運(yùn)算。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述定積分的幾何意義。答：定積分$\int_{a}^f(x)dx$表示由曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，$x=b$以及$x$軸所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，$x$軸上方部分面積取正，下方部分面積取負(fù)。2.計(jì)算$\int_{0}^{1}(2x+1)dx$。答：先求原函數(shù)，$2x+1$的原函數(shù)是$x^2+x$。再根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{1}(2x+1)dx=(x^2+x)\big|_{0}^{1}=(1^2+1)-(0^2+0)=2$。3.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$\int_{a}^f(x)dx=0$，能否推出$f(x)=0$在$[a,b]$上恒成立？答：不能。例如$f(x)=\sinx$在$[0,2\pi]$上，$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0$，但$\sinx$在$[0,2\pi]$上不恒為0。只能推出至少存在一點(diǎn)$\xi\in[a,b]$使$f(\xi)=0$。4.說明定積分與不定積分的區(qū)別。答：不定積分是原函數(shù)的全體，結(jié)果是函數(shù)族；而定積分是一個確定的數(shù)值，它由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，與積分變量無關(guān)，幾何上可能表示面積等。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。答：定積分在物理中應(yīng)用廣泛。如計(jì)算變速直線運(yùn)動的路程，通過速度函數(shù)積分可得；計(jì)算變力做功，力隨位移變化時(shí)，對力函數(shù)積分可求做功；還能計(jì)算物體轉(zhuǎn)動慣量等，都是利用定積分“分割、近似、求和、取極限”思想解決實(shí)際物理量計(jì)算。2.若$f(x)$在$[a,b]$上可積，且$f(x)\geq0$，但不恒為0，討論$\int_{a}^f(x)dx$的取值情況。答：因?yàn)?f(x)\geq0$且不恒為0，由定積分性質(zhì)，若$f(x)$在某小區(qū)間上大于0，則$\int_{a}^f(x)dx$表示該區(qū)間與坐標(biāo)軸圍成圖形面積的代數(shù)和，所以$\int_{a}^f(x)dx\gt0$。3.探討定積分與黎曼和的關(guān)系。答：定積分是通過黎曼和的極限來定義的。將積分區(qū)間$[a,b]$劃分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間取點(diǎn)構(gòu)造黎曼和。當(dāng)劃分無限細(xì)密，小區(qū)間長度趨于0時(shí)，黎曼和的極限就是定積分，黎曼和是定積分概念的基礎(chǔ)，定積分是其精確化。4.結(jié)合實(shí)例說明定積分如何用于計(jì)算平面圖形面積。答：例如求由$y=x^2$與$y=x$圍成圖形面積。先求交點(diǎn)為$(0,0)$和$(1,1)$，面積$S=\int_{0}^{1}(x-x^2)dx$，原函數(shù)為$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3$，根據(jù)公式得$S=(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3)\big|_{0}^{1}=\frac{1}{6}$，即通過定積分