考研面試數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.若矩陣$A$為$3\times3$矩陣，且$|A|=2$，則$|2A|=$（）A.4B.8C.16D.324.微分方程$y'-y=0$的通解是（）A.$y=Ce^x$B.$y=Cx$C.$y=C\sinx$D.$y=C\cosx$5.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=$（）A.1B.2C.3D.46.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$7.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^f(t)dt$的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.大小關(guān)系不確定D.無關(guān)系8.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，且$f'(x_0)=0$，則$x_0$是$f(x)$的（）A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)9.已知$A$、$B$為兩個(gè)事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.2$，則$P(A\cupB)=$（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.210.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2$的矩陣是（）A.$\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有（）A.$y=x^3$B.$y=2^x$C.$y=\lnx$（$x>0$）D.$y=\sinx$2.以下哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的倍數(shù)D.交換兩列3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}q^n$（$|q|<1$）4.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是（）A.極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)一定為0B.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)C.函數(shù)在極值點(diǎn)處一定連續(xù)D.函數(shù)的極大值一定大于極小值5.已知向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+k_3\vec{\alpha}_3=\vec{0}$B.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示C.該向量組的秩小于3D.該向量組一定含有零向量6.下列積分計(jì)算正確的是（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$B.$\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx=0$C.$\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0$D.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1$7.對(duì)于線性方程組$Ax=b$（$A$為系數(shù)矩陣，$x$為未知數(shù)向量，$b$為常數(shù)向量），下列說法正確的是（）A.若$r(A)=r(A|b)$，則方程組有解B.若$r(A)<r(A|b)$，則方程組無解C.若$r(A)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)），則方程組有唯一解D.若$r(A)<n$，則方程組有無窮多解8.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則（）A.正態(tài)曲線關(guān)于$x=\mu$對(duì)稱B.$P(X\leq\mu)=0.5$C.$\sigma$越大，正態(tài)曲線越“矮胖”D.當(dāng)$\mu=0$，$\sigma=1$時(shí)，$X$服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布9.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=|x|$D.$y=e^x$10.關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，下列說法正確的是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)B.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面在某點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸方向的切線斜率D.求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)，其余變量視為常數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。（）2.若矩陣$A$、$B$滿足$AB=BA$，則$A$、$B$一定是同階方陣。（）3.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。（）4.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）5.若向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2$線性無關(guān)，向量組$\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$線性無關(guān)，則向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3$線性無關(guān)。（）6.函數(shù)$y=x^3$的二階導(dǎo)數(shù)是$y''=6x$。（）7.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無關(guān)。（）8.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）9.對(duì)于任意事件$A$、$B$，都有$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$。（）10.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$是正定二次型。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述羅爾定理的內(nèi)容。答：若函數(shù)$f(x)$滿足在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。2.求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。答：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$，伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.簡(jiǎn)述判斷級(jí)數(shù)斂散性的比值判別法。答：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，設(shè)$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$，當(dāng)$\rho<1$時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)$\rho>1$（或$\rho=+\infty$）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)$\rho=1$時(shí)，判別法失效。4.已知隨機(jī)變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{1}{5}$，$k=1,2,3,4,5$，求$X$的期望$E(X)$。答：根據(jù)期望公式$E(X)=\sum_{k=1}^{5}kP(X=k)=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=\frac{1}{5}\times15=3$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答：連續(xù)性：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，但$f(0)$無定義，補(bǔ)充定義$f(0)=1$可使函數(shù)連續(xù)?？蓪?dǎo)性：利用導(dǎo)數(shù)定義求極限判斷，$\lim_{h\to0}\frac{\frac{\sin(0+h)}{0+h}-1}{h}$，經(jīng)計(jì)算該極限存在，所以補(bǔ)充定義后函數(shù)在$x=0$可導(dǎo)。2.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關(guān)系。答：設(shè)線性方程組$Ax=b$，$r(A)$為系數(shù)矩陣秩，$r(A|b)$為增廣矩陣秩。當(dāng)$r(A)=r(A|b)$時(shí)，方程組有解，$r(A)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）有唯一解，$r(A)<n$有無窮多解；當(dāng)$r(A)<r(A|b)$時(shí)，方程組無解。3.討論多元函數(shù)極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：多元函數(shù)的最值可能在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)取得。區(qū)別：極值是局部概念，是函數(shù)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的最大或最小值；最值是整體概念，是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的最大或最小值。求極值需找駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，求最值還需考慮邊界情況。4.討論概率論中獨(dú)立性的概念及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答：獨(dú)立性指事件$A$、$B$滿足$P(AB)=P(A)P(B)$，此時(shí)事件發(fā)生互不影響。在實(shí)際中，如多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，計(jì)算復(fù)雜事件概率時(shí)利用獨(dú)立性可簡(jiǎn)化計(jì)算，像產(chǎn)品抽樣檢測(cè)、射擊命中率計(jì)算等，通過判斷事件獨(dú)立性來構(gòu)建概率