補充：多項式理論一.數(shù)域的定義§1數(shù)域定義設P是一個由一些復數(shù)組成的集合，其中包括0和1.如果P中任意兩個數(shù)（這兩個數(shù)也可以相同）的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍是P中的數(shù)，那么稱P為一個數(shù)域.注1

P中任意兩個數(shù)的和、差、積、商仍是P中的數(shù)，即稱P對和、差、積、商封閉.§1數(shù)域

解有理數(shù)集是數(shù)域，稱為有理數(shù)域,記為Q實數(shù)集是數(shù)域，稱為實數(shù)域,記為R復數(shù)集是數(shù)域，稱為復數(shù)域,記為C整數(shù)集不是數(shù)域，用Z表示自然數(shù)集不是數(shù)域，用N表示注2

若數(shù)集P只對和、差、積封閉，則稱P為數(shù)環(huán).如整數(shù)集Z構(gòu)成一個數(shù)環(huán).

例1

判斷集合：有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集、整數(shù)集、自然數(shù)集是否構(gòu)成數(shù)域，

組成一個數(shù)域。其中為任意非負整數(shù)，是整數(shù)。例3

所有可以表成形式

的數(shù)二.數(shù)域的性質(zhì)任何數(shù)域P都包含有理數(shù)域Q.即有理數(shù)域是最小的數(shù)域.§1數(shù)域

例2

證明集合構(gòu)成一個數(shù)域.§2一元多項式一.一元多項式的定義定義1

設n是一個非負整數(shù)，形式表達式

其中為數(shù)域P中的數(shù)，稱f(x)為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式，或簡稱為數(shù)域P上的一元多項式.注1

稱為f(x)的i次項,為i次項系數(shù).特別，稱為f(x)的常數(shù)項.注2

若稱為f(x)的首項,為首項系數(shù),n稱為f(x)的次數(shù),記為

注3

當時，f(x)=稱為零次多項式.注4

當f(x)的所有系數(shù)全為0時，f(x)=0稱為零多項式,零多項式不定義次數(shù)！注5

首項系數(shù)為1的多項式，稱為首1多項式§2一元多項式二.一元多項式的運算1.多項式相等設f(x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項外，同次項的系數(shù)完全相等是數(shù)域P上的多項式且§2一元多項式2.多項式加法

這里當m<n時，取

.注1當時，3.多項式減法§2一元多項式4.多項式乘法其中s次項的系數(shù)為所以注2當時，§2一元多項式三.一元多項式的運算律1.加法交換律2.加法結(jié)合律4.乘法結(jié)合律5.乘法對加法的分配律6.乘法消去律3.乘法交換律若且則§2一元多項式四.一元多項式環(huán)定義2上的多項式環(huán).對多項式的加、減、乘法封閉，稱為數(shù)域P§2一元多項式一.帶余除法§3整除的概念而且滿足這個條件的整數(shù)q,

r是唯一的.

對任意兩個整數(shù)，一定存在兩個整數(shù)q,r滿足q稱為b除a的商，r稱為b除a的余數(shù).1.整數(shù)的除法2.一元多項式的帶余除法§3整除的概念q(x)稱為g(x)除f(x)的商，r(x)稱為g(x)除f(x)的余式.設

且這里或

滿足條件的唯一確定。則存在使得例1

設求

除

所得的余式和商式.二.整除§3整除的概念對整數(shù)a,b,若存在整數(shù)c,使得a=bc,則稱b整除a，(一).整數(shù)的整除記作b|a,稱b為a的因子.否則稱b不整除a.性質(zhì)：1.

若

,則2.

若

,則3.

若

,則對任意整數(shù)k,l，都有§3整除的概念(二).一元多項式的整除1.定義記作。設

若存在使

則稱整除記作否則稱不整除當稱g(x)為f(x)的因式，稱f(x)為

g(x)的倍式。注(1)(2)(3)(整除的反身性)(4)2.定理1則

若

且

g(x)除f(x)的余式r(x)=0.例2

求k,l使§3整除的概念3.性質(zhì)則

(1)若

為某個常數(shù).

則

(2)若

(整除的傳遞性)則

(3)若

有

注稱為

的一個組合.

§3整除的概念例3

證明：(1)若則且與它的任意非零常數(shù)倍(2)若但則注1.有相同的因式也有相同的倍式.即若數(shù)域2.多項式的整除關系不因系數(shù)域的擴大而改變.時則看成中的多項式時仍有§3整除的概念§4最大公因式一.兩個多項式的最大公因式定義1若

則

是的一個公因式.定義2(1)

是

的一個公因式,(2)

的任一個公因式均有設則稱是

的最大公因式.設若

滿足

注1.最大公因式在相差一個非零常數(shù)倍的意義下是唯一的.若

都是

的最大公因式,

則

且

因此

約定

表示

的首1的最大公因式.

2.兩個零多項式的最大公因式就是0.3.其中

為f(x)的首項系數(shù).

§4最大公因式問題如何求得兩個多項式的最大公因式?即最大公因式的存在性問題.引理若

則與

有相同的公因式.與

注1與

有相同的最大公因式.與

注2由帶余除法或求與

的最大公因式等價于求

的最大公因式.與

§4最大公因式定理2即

可以表示成的一個組合.使得是

的最大公因式，則一定存在設例1

已知易得則§4最大公因式輾轉(zhuǎn)相除法進行如下的輾轉(zhuǎn)相除:對§4最大公因式由引理，其中為的首項系數(shù).§4最大公因式由輾轉(zhuǎn)相除，由倒數(shù)第二式從倒數(shù)第三式往上逐步代入，消去最后整理后得是的一個組合.最大公因式與只相差一個常數(shù)，故也是的一個組合,即存在§4最大公因式注1輾轉(zhuǎn)相除的過程既證明了的存在性，又給出了求的具體步驟.例2

已知求,并求使得解因為§4最大公因式因此§4最大公因式又因為只需取即得§4最大公因式注2定理2的逆命題不成立.命題設若滿足則是

的最大公因式.(1)存在使得§4最大公因式三.互素1.定義3設若則稱是互素(互質(zhì))的.顯然,互素只有零次公因式.2.互素的充要條件定理3互素使得存在§4最大公因式3.互素的一些結(jié)論(1)定理4若且則(2)推論若且則(3)若則§4最大公因式(4)設則一定存在使得且則是的最大公因式.反之,若且§4最大公因式四.最大公因式與互素的概念的推廣設

定義1若且稱為的公因式.定義2若的最大公因式.且滿足(2)若且有稱為§4最大公因式記表示首項系數(shù)為1的最大公因式性質(zhì)1性質(zhì)2存在多項式使得

定義3若稱互素.§4最大公因式性質(zhì)4互素存在使得

定義4若稱兩兩互素.性質(zhì)5兩兩互素互素.互素兩兩互素.§4最大公因式一.不可約多項式§5多項式的分解設1.定義且若不可以表示成中兩個次數(shù)比它低的多項式的乘積，則稱為域P

上的不可約多項式.否則，稱為域P上

的可約多項式.例1不可約不可約可約注1.

一個多項式是否可約依賴于系數(shù)域P.2

.

一次多項式總是不可約的.3

.

不可約多項式的因式只有非零常數(shù)c

和非零倍4

.

若可約,則存在使得：且§5多項式的分解2.性質(zhì)(1)

不可約多項式與任意多項式只有兩種關系：要么要么(2)

設且不可約.若則或(3)

若不可約且則一定存在某個使得§5多項式的分解二.因式分解1.因式分解及唯一性定理

數(shù)域P上每個次數(shù)大于0的多項式都可以唯一地分解成P上一些不可約多項式的乘積.其中唯一性指若不可約，不可約，則且適當排列次序后§5多項式的分解2.標準分解式在的分解中，可以把每個不可約因式的首項系數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項式，再把相同的因式合并，于是的分解式就變成：其中c為f(x)的首項,為正整數(shù).為互不相同的首1的不可約多項式.注1.

一個多項式是否可約依賴于系數(shù)域P.§5多項式的分解注2.

在抽象的證明過程中也可以是自然數(shù).注3.

標準分解為求最大公因式提供方法.設則其中§5多項式的分解例1設證明對任意正整數(shù)n，有例2例3求在

上的標準分解式.在

上的標準分解式.求§5多項式的分解一.定義§6重因式設且不可約若稱為f(x)的k重因式,k為非負整數(shù).但注1.

若k=0,p(x)不是f(x)的因式.2.

若k=1,p(x)為f(x)的單因式,

k>1時為重因式.3.

若f(x)的標準分解式為為f(x)的重因式.當時,4.

不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式且二.導數(shù)與微商1.定義設稱為f(x)的一階微商或一階導數(shù)注1.

為常數(shù)2.當§6重因式2.運算---------導數(shù)的基本公式3.高階導數(shù)稱為f(x)的二階導數(shù)稱為f(x)的三階導數(shù)稱為f(x)的k階導數(shù)§6重因式注設則§6重因式三.重因式的判別是

的k重因式(k>1),

定理設不可約多項式則是

的k-1重因式.

是

的k重因式(k>1),

推論1設不可約多項式則是

的因式,但不是的因式.注此定理的逆命題不成立.如取§6重因式推論3多項式?jīng)]有重因式是

的重因式的

推論2不可約多項式充要條件為是

的公因式.

和

注由推論3,判別一個多項式有沒有重因式,可以對

和作輾轉(zhuǎn)相除法得到.例1

a,b滿足什么條件時有重因式.§6重因式四.去掉因式重數(shù)的方法設f(x)的標準分解式為為f(x)的重因式,也為的重因式,故進一步故§6重因式例2證明若有n重因式，則其中注多項式

是一個沒有重因式的多項式，它與f(x)有相同的不可約因式.§6重因式一.多項式函數(shù)§7多項式函數(shù)稱1.定義設為當時f(x)的值.f(0)為f(x)的常數(shù)項.注1.

f(1)為f(x)的所有系數(shù)之和2.

求f(x)的展開式中各項系數(shù)和.例1已知3.

設則§7多項式函數(shù)f(x)稱作P上的多項式函數(shù).2.定義多項式f(x)定義了數(shù)域P上的函數(shù):

稱為多項式函數(shù)f(x)的一個根或零點.的值3.定義若f(x)在注若

則

§7多項式函數(shù)二.余數(shù)定理與綜合除法1.余數(shù)定理用一次多項式

去除多項式,所得的余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值若

是f(x)

的根2.推論(根與一次因式的關系)例2

證明：若

則即§7多項式函數(shù)易算得3綜合除法設且§7多項式函數(shù)例3求用的方冪和.去除表示成算法例4用綜合除法把的商式和余式.注1.

利用綜合除法時多項式系數(shù)按降冪排列，有缺項時必須補上零.2.若除式為x+b則變成x-

(-b).§7多項式函數(shù)三.多項式的重根1.定義若

是的k重因式，2.重根的判別若

是f(x)

的k重根

稱是的k重根.當

k=1時稱為單根;當k>1時稱為重根.是f(x)

的k重因式.注f(x)

有重根f(x)

有重因式.f(x)

有重根.f(x)

有重因式如§7多項式函數(shù)例5

求多項式有重根的條件.3.結(jié)論設(1)若的重根當且僅當(2)為的重根當且僅當為的根.為(3)則無重根.例6

證明多項式不能有重根.§7多項式函數(shù)1.定理7(根的個數(shù)定理)四.根的個數(shù)與多項式相等2.定理8若多項式

且次數(shù)都不超過n

中n次多項式在P中則

且它們對n+1個不同的數(shù)有相同的值,即的根不可能多于n個(重根按重數(shù)計).§7多項式函數(shù)一.復系數(shù)多項式的因式分解§8復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解設1.代數(shù)基本定理每個次數(shù)大于0的復系數(shù)多項式在復