PAGEPAGE1第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用(習(xí)題課)1.駕馭幾種有限制條件的排列問(wèn)題．2.能應(yīng)用排列與排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．探究點(diǎn)1無(wú)限制條件的排列問(wèn)題(1)利用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？【解】(1)本題實(shí)質(zhì)是求從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，隨意選出三個(gè)數(shù)字排成一排，有多少種排法的排列問(wèn)題，故有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24種排法，即可以組成24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(2)從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以，共有60種不同的送法．[變條件]若將本例(2)中的“有5本不同的書(shū)”改為“有5種不同的書(shū)”，則有多少種不同的送法？解：由于有5種不同的書(shū)，送給每個(gè)同學(xué)的1本書(shū)都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書(shū)的不同方法種數(shù)是：5×5×5＝125，所以，共有125種不同的送法．eq\a\vs4\al()求解有關(guān)排列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟第一步，正確地理解題意，這也是最關(guān)鍵的一步；其次步，在第一步的基礎(chǔ)上，看能否把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題，即問(wèn)題中是否要求依次，也即看當(dāng)選出的元素位置發(fā)生改變時(shí)，結(jié)果是否一樣；第三步，假如是排列問(wèn)題，要擅長(zhǎng)把題目中的文字語(yǔ)言翻譯成排列的相關(guān)用語(yǔ)；第四步，依據(jù)排列的學(xué)問(wèn)、方法求出排列的方法種數(shù)．1.把3張不同場(chǎng)次的電影票分給10人中的3人，分發(fā)種數(shù)為()A．2160種 B．240種C．720種 D．120種解析：選C.有Aeq\o\al(3,10)＝720種不同的分法．2．從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出兩個(gè)，其商的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出兩個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其排列數(shù)為Aeq\o\al(2,100).答案：Aeq\o\al(2,100)(或9900)探究點(diǎn)2元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題3名男生、4名女生依據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù)．(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必需站在一起；(3)全體站成一排，男生不能站在一起；(4)全體站成一排，男、女各不相鄰．【解】(1)男生必需站在一起是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必需站在一起是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288種排隊(duì)方法．(2)三個(gè)男生全排列有Aeq\o\al(3,3)種方法，把全部男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，有Aeq\o\al(5,5)種排法．故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種排隊(duì)方法．(3)先支配女生，共有Aeq\o\al(4,4)種排法；男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中支配，共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440種排法．(4)排好男生后讓女生插空，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144種排法．eq\a\vs4\al()“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題的解決方法處理元素“相鄰”“不相鄰”問(wèn)題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問(wèn)題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問(wèn)題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之間及兩端插入不相鄰元素．(2024·廣東珠海第三中學(xué)高二下學(xué)期期中)5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法的種數(shù)為()A．18 B．24C．36 D．48解析：選C.5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36(種)．探究點(diǎn)3元素“在”與“不在”問(wèn)題六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙站在兩端；(3)甲不站左端，乙不站右端．【解】(1)法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有Aeq\o\al(1,4)種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有Aeq\o\al(5,5)種站法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝480種．法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有Aeq\o\al(2,5)種站法，然后其余4人有Aeq\o\al(4,4)種站法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝480種．法三：若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有Aeq\o\al(6,6)種站法，甲在兩端共有2Aeq\o\al(5,5)種站法，從總數(shù)中減去這兩種狀況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480種．(2)首先考慮特別元素，甲、乙先站兩端，有Aeq\o\al(2,2)種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有Aeq\o\al(4,4)種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝48種站法．(3)法一：甲在左端的站法有Aeq\o\al(5,5)種，乙在右端的站法有Aeq\o\al(5,5)種，且甲在左端而乙在右端的站法有Aeq\o\al(4,4)種，共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種站法．法二：以元素甲分類可分為兩類：a.甲站右端有Aeq\o\al(5,5)種，b.甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不在右端有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種，故共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝504種站法．eq\a\vs4\al()“在”與“不在”問(wèn)題的解決方法1.(2024·山西朔州懷仁一中高二下學(xué)期期中)記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在兩端，不同的排法共有()A．2400種 B．3600種C．4800種 D．7200種解析：選A.可分兩步：第一步，排兩端，從5名志愿者中選2名全排有Aeq\o\al(2,5)＝20(種)排法；其次步，剩余3名志愿者與2位老人全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)排法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有20×120＝2400(種)排法．2．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的數(shù)？(1)六位數(shù)且是奇數(shù)；(2)個(gè)位上的數(shù)字不是5的六位數(shù)．解：(1)法一：從特別位置入手(干脆法)：第一步：排個(gè)位，從1，3，5三個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步：排十萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步：排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．法二：從特別元素入手(干脆法)：0不在兩端，有Aeq\o\al(1,4)種排法；從1，3，5中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其他數(shù)字全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．法三：(解除法)①?gòu)恼w上解除：6個(gè)數(shù)字的全排列數(shù)為Aeq\o\al(6,6)，0，2，4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(5,5)，而1，3，5在個(gè)位上，0在十萬(wàn)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(4,4)，故符合題意的六位數(shù)奇數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．②從局部上解除：1在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，其中0在十萬(wàn)位上的排列有Aeq\o\al(4,4)個(gè)，故1在個(gè)位上的六位奇數(shù)有(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))個(gè)，同理，3，5在個(gè)位上的六位奇數(shù)也各有(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))個(gè)，因此符合題意的六位奇數(shù)共有3(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))＝288(個(gè))．(2)法一：(解除法)6個(gè)數(shù)字的全排列有Aeq\o\al(6,6)個(gè)，0在十萬(wàn)位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，0在十萬(wàn)位上且5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(4,4)個(gè)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))＝504(個(gè))．法二：(干脆法)個(gè)位上不排5，有Aeq\o\al(1,5)種排法．但十萬(wàn)位上數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此，需分兩類：第一類，當(dāng)個(gè)位上排0時(shí)，有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次類，當(dāng)個(gè)位上不排0時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．1．用1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．324 B．224C．360 D．648解析：選B.先排個(gè)位數(shù)，有Aeq\o\al(1,4)種，然后排十位和百位，有Aeq\o\al(2,8)種，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,8)＝224個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．2．(2024·四川達(dá)州周測(cè))已知6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最終一個(gè)演講，則不同的演講次序共有()A．240種 B．360種C．480種 D．720種解析：選C.先排甲，有4種；剩余5人全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)，所以不同的演講次序有4×120＝480(種)．故選C.3．5位母親帶領(lǐng)5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有________種．解析：第1步，先排5位母親的位置，有Aeq\o\al(5,5)種排法；第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個(gè)空位中，如下所示：母親____母親____母親____母親____母親____，共有Aeq\o\al(5,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400種．答案：864004．3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)全體站成一排，其中甲只能站中間或兩端；(2)全體站成一排，男生必需排在一起．解：(1)(特別元素優(yōu)先法)先考慮甲的位置，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再考慮其余6人的位置，有Aeq\o\al(6,6)種方法．故有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(6,6)＝2160種方法．(2)(捆綁法)把全部男生看作一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排法．學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)深化拓展1.解排列應(yīng)用題的基本思想eq\x(實(shí)際問(wèn)題)eq\o(→,\s\up7(化歸),\s\do5(（建模）))eq\x(排列問(wèn)題)eq\o(→,\s\up7(求數(shù)學(xué)模型的解))eq\x(求排列數(shù))eq\o(→,\s\up7(得實(shí)際問(wèn)題的解))eq\x(實(shí)際問(wèn)題)2．解有限制條件的排列問(wèn)題的基本思路限制條件解題策略特別元素通常采納“元素分析”法，即以元素為主，優(yōu)先考慮特別元素的要求，再考慮其他元素特別位置通常采納“位置分析”法，即以位置為主，優(yōu)先考慮特別位置的要求，再考慮其他位置元素相鄰?fù)ǔ２杉{“捆綁”法，即把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列元素不相鄰?fù)ǔ２杉{“插空”法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素排列的空當(dāng)中,[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．3個(gè)學(xué)生在4本不同的參考書(shū)中各選擇1本，不同的選法數(shù)為()A．3 B．24C．34 D．43解析：選B.3個(gè)學(xué)生在4本不同的參考書(shū)中各選擇一本，相當(dāng)于從4個(gè)不同元素中選3個(gè)，再全排列，故其選法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.2．有5名同學(xué)被支配在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日依次的編排方案共有()A．12種 B．24種C．48種 D．120種解析：選B.因?yàn)橥瑢W(xué)甲只能在周一值日，所以除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，所以5名同學(xué)值日依次的編排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)．3．從a，b，c，d，e五人中選2人分別參與數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽，但a不能參與物理競(jìng)賽，則不同的選法種數(shù)為()A．16 B．12C．20 D．10解析：選A.先選1人參與物理競(jìng)賽，除去a，有Aeq\o\al(1,4)種，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有Aeq\o\al(1,4)種，共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)＝16種．4．從2，4中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．6 B．12C．18 D．24解析：選D.先從2，4中選一個(gè)數(shù)字，有2種選法；再?gòu)?，3，5中選兩個(gè)數(shù)字并排列，有Aeq\o\al(2,3)種選法；最終將從2，4中選出的一個(gè)數(shù)字放在十位或百位的位置，有2種放法．綜上所述，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2×Aeq\o\al(2,3)×2＝24.5．將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)為()A．480 B．360C．120 D．240解析：選D.甲、乙、丙等六位同學(xué)進(jìn)行全排可得有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)，甲、乙、丙的排列有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，因?yàn)榧?、乙在丙的兩?cè)，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數(shù)共有2×eq\f(720,6)＝240(種)．故選D.6．六個(gè)停車(chē)位置，有3輛汽車(chē)須要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放的方法數(shù)為_(kāi)_______．解析：把3個(gè)空位看作一個(gè)元素，與3輛汽車(chē)共有4個(gè)元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24種．答案：247．有8名男生和3名女生，從中選出4人分別擔(dān)當(dāng)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理學(xué)科的課代表，若某女生必需擔(dān)當(dāng)語(yǔ)文課代表，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：由題意知，從剩余10人中選出3人擔(dān)當(dāng)3個(gè)學(xué)科課代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720種．答案：7208．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必需排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法共有________種．解析：甲、乙作為元素集團(tuán)，內(nèi)部有Aeq\o\al(2,2)種排法，“甲、乙”元素集團(tuán)與“戊”全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法．將丙、丁插在3個(gè)空中有Aeq\o\al(2,3)種方法．所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24種排法．答案：249．用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字：(1)可組成多少個(gè)五位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？解：(1)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(個(gè))．(2)先排萬(wàn)位，從1，2，3，4中任取一個(gè)有Aeq\o\al(1,4)種填法，其余四個(gè)位置四個(gè)數(shù)字共有Aeq\o\al(4,4)種，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))．(3)考慮特別位置個(gè)位和萬(wàn)位，先填個(gè)位，從1，3中選一個(gè)填入個(gè)位有Aeq\o\al(1,2)種填法，然后從剩余3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)填入萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，包含0在內(nèi)還有3個(gè)數(shù)在中間三個(gè)位置上全排列，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．10．分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)．(1)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解：(1)分排與直排一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排頭尾，讓受特別限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；其次步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法．[B實(shí)力提升]11．(2024·濟(jì)南高二檢測(cè))在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方法種數(shù)為()A．576 B．720C．864 D．1152解析：選C.先把數(shù)字1，3，5，7作全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；再排數(shù)字6，由于數(shù)字6不與3相鄰，在排好的排列中，除3的左、右2個(gè)空外，還有3個(gè)空可排數(shù)字6，故數(shù)字6有3種排法；最終排數(shù)字2，4，數(shù)字2，4不與6相鄰且數(shù)字2與4不相鄰，在剩下的4個(gè)空當(dāng)中排2，4，有Aeq\o\al(2,4)種排法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(4,4)×3×Aeq\o\al(2,4)＝864種排法，故選C.12．(2024·湖南長(zhǎng)沙一中期末)將數(shù)字1，1，2，2，3，3排成三行兩列，要求每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不相同，則不同的排列方法共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種解析：選A.第一行的兩列排列種數(shù)有Aeq\o\al(2,3)＝2×3＝6(種)，然后其次行和第三行的第一列的排列種數(shù)有Aeq\o\al(2,2)＝2×1＝2(種)，最終其次行和第三行的其次列就只有一種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得完成這件事不同的排列方法共有6×2×1＝12(種)．故選A.13．某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿意下列條件的節(jié)目編排方法有多少種．(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開(kāi)頭，另一個(gè)放在最終壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰．解：(1)先排唱歌節(jié)目有Aeq\o\al(2,2)種排法，再排其他節(jié)目有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝14