PAGE1-其次節(jié)充分條件與必要條件[考綱傳真]1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理、理解充分條件，必要條件的意義、理解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.2.理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qpeq\o([常用結(jié)論])1．充分條件、必要條件的兩個結(jié)論(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件；(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．2．充分條件、必要條件與集合的關(guān)系p成立的對象構(gòu)成的集合為A，q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件ABp是q的必要不充分條件BAp是q的充要條件A＝B[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)q是p的必要條件時，p是q的充分條件． ()(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題． ()(3)q不是p的必要條件時，“pq”成立． ()[答案](1)√(2)√(3)√2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[a＝3時，A＝{1,3}，明顯A?B.但A?B時，a＝2或3.∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．]4．設(shè)p：x＜3，q：－1＜x＜3，則p是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[x＜3－1＜x＜3，但－1＜x＜3?x＜3，因此p是q的必要不充分條件，故選B.]5．已知A?B，則“x∈A”是“x∈B”的________條件，“x∈B”是“x∈A”的________條件．[答案]充分必要 充分條件、必要條件的推斷【例1】(1)(2024·北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(2)設(shè)集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m?M”是“m?N”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零實數(shù)，若ad＝bc，則eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，此時a，b，c，d不肯定成等比數(shù)列；反之，若a，b，c，d成等比數(shù)列，則eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件，故選B.(2)條件與結(jié)論都是否定形式，可轉(zhuǎn)化為推斷“m∈N”是“m∈M”的什么條件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要條件，從而“m?M”是“m?N”的充分不必要條件，故選A.][規(guī)律方法]充分條件和必要條件的兩種推斷方法1定義法：可依據(jù)以下三個步驟進行①確定條件p是什么，結(jié)論q是什么；②嘗試由條件p推結(jié)論q，由結(jié)論q推條件p；③確定條件p和結(jié)論q的關(guān)系.2集合法：依據(jù)p，q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行推斷.易錯警示：推斷條件之間的充要關(guān)系要留意條件之間的語句描述，比如正確理解“p的一個充分不必要條件是q”應(yīng)是“q推出p，而p不能推出q”.(1)(2024·天津高考)設(shè)x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)設(shè)a∈R，則“a＝4”是“直線l1：ax＋8y－8＝0與直線l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(1)A(2)D[(1)由x3＞8可得x＞2，從而|x|＞2成立，由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，從而x3＞8不肯定成立．因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要條件，故選A.(2)∵當(dāng)a≠0時，eq\f(a,2)＝eq\f(8,a)＝eq\f(－8,－a)?直線l1與直線l2重合，∴無論a取何值，直線l1與直線l2均不行能平行，當(dāng)a＝4時，l1與l2重合．故選D.]充分條件、必要條件的探求及證明【例2】(1)對于直線m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一個充分條件是()A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥αC[對于選項C，因為m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故選C.](2)已知x，y都是非零實數(shù)，且x＞y，求證：eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)的充要條件是xy＞0.[證明]法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq\f(x,xy)＞eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)＜eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0，即eq\f(y－x,xy)＜0.因為x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.所以eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)的充要條件是xy＞0.法二：eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0?eq\f(y－x,xy)＜0.由條件x＞y?y－x＜0，故由eq\f(y－x,xy)＜0?xy＞0.所以eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)?xy＞0，即eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)的充要條件是xy＞0.[規(guī)律方法]充要條件的證明1證明p是q的充要條件，既要證明命題“p?q”為真，又要證明“q?p”為真，前者證明的是充分性，后者證明的是必要性.2證明充要條件，即說明原命題和逆命題都成立，要留意“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”這兩種說法的差異，分清哪個是條件，哪個是結(jié)論.(1)不等式x(x－2)＜0成立的一個必要不充分條件是()A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[由x(x－2)＜0得0＜x＜2，因為(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)＜0成立”的一個必要不充分條件．](2)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.充分條件、必要條件的應(yīng)用【例3】(1)設(shè)命題p：(4x－3)2≤1，命題q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同的交點”的一個充分不必要條件可以是()A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3(1)A(2)C[(1)由(4x－3)2≤1得eq\f(1,2)≤x≤1，即p：eq\f(1,2)≤x≤1，由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.由p是q的充分不必要條件，從而eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))){x|m≤x≤m＋1}．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,2),m＋1≥1))，解得0≤m≤eq\f(1,2)，故選A.(2)“直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同的交點”的充要條件是eq\f(|1－k|,\r(2))＜eq\r(2)，即－1＜k＜3.故所求應(yīng)是集合{k|－1＜k＜3}的一個子集，故選C.][規(guī)律方法]利用充要條件求參數(shù)的關(guān)注點1巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解.2端點取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要留意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍.(1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[1,2]