目錄

^熹分析⑨敢據(jù)處理............................................................2

」測量與誤差......................................................................2

2誤差的處理......................................................................6

3不確定度與測量結(jié)果的表示.......................................................10

4實驗中的錯誤與錯誤數(shù)據(jù)的剔除...................................................13

5有效數(shù)字及其運算規(guī)則...........................................................15

6實驗數(shù)據(jù)的處理方法.............................................................17

習(xí)題..........................................................................25

安空孤差分析幺數(shù)弱處理

1測量與誤差

1.1測量及測■的分類

物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的。在實驗中，研究物理現(xiàn)象、物質(zhì)特性、驗證物理原理都需要

進行測量。麻宿涮拿,‘日亮意得曲而樂施直耳二流速柬柞為標(biāo)港而向親船4行必也;落山為打

而宿救親索而過理。選來作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱之為單位，倍數(shù)稱為測量數(shù)值。一個物理量的測

量值等于測量數(shù)值與單位的乘積。

在人類的發(fā)展歷史上，不同時期，不同的國家，乃至不同的地區(qū)，同一種物理量有著許多

不同的計量單位。如長度單位就分別有碼、英尺、市尺和大等。為了便于國際交流，國際計量

大會于1990年確定了國際單位制(SI),它規(guī)定了以米、千克、秒、安培、開爾文、摩爾、坎

德拉作為基本單位，其他物理量(如力、能量、電壓、磁感應(yīng)強度等)均作為這些基本單位的導(dǎo)

出單位。

1.直接測量與間接測量

測量可分為兩類。一類是直接測量，是指直接將待測物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單

位相比較直接得到測量值的一種測量。它無須進行任何函數(shù)關(guān)系的輔助運算。如用尺測量長

度、以秒表計時間、天平稱質(zhì)量、安培表測電流等。另一類是間接測量，是指被測量與直接測

量的量之間需要通過一定的函數(shù)關(guān)系的輔助運算，才能得到被測量物理量的量值的測量。如單

擺測量重力加速度時，需先直接測量單擺長/和單擺的周期八再應(yīng)用公式g=專，求得重力

加速度g。物理量的測量中，絕大部分是間接測量。但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。不論是直

接測量，還是間接測量，都需要滿足一定的實驗條件，按照嚴格的方法及正確地使用儀器，才

能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此實驗過程中，一定要充分了解實驗?zāi)康?，正確使用儀器，細心地進行

操作讀數(shù)和記錄，才能達到鞏固理論知識和加強實驗技能訓(xùn)練的目的。

2.等精度測量與不等精度測量

同一個人，用同樣的方法，使用同樣的儀器，在相同的條件下對同一物理量進行多次測

量，盡管各次測量并不完全相同，但我們沒有任何充足的理由來判斷某一次測量更為精確，只

能認為它們測量的精確程度是完全相同的。我們把這種具有同樣精確程度的測量稱之為等精度

測量。在所有的測量條件中，只要有一個發(fā)生變化，這時所進行的測量即為不等精度測量。在

物理實驗中，凡是要求多次測量均指等精度測量，應(yīng)盡可能保持等精度測量的條件不變。嚴格

地說，在實驗過程中保持測量條件不變是很困難的。但當(dāng)其一條件的變化對測量結(jié)果的影響不

大時，乃可視為等精度測量。在本書中，除了特別指明外，都作為等精度測量。

1.2誤差及誤差的表現(xiàn)形式

1.誤差

物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。測量的最終目的都是要獲得物理量的真值。

但由于測量儀器精度的局限性、測量方法或理論公式的不完善性和實驗條件的不理想，測量人

員不熟練等原因，使得測量結(jié)果與客觀真值有一定的差異，這種差異稱之為誤差。若某物理量

測量的量值為X,真值為A，則產(chǎn)生的誤差?不為：

?x=x-A

任何測量都不可避免地存在誤差。在誤差必然存在的條件下，物理量的真值是不可知的。所以

在實際測量中計算誤差時，通常所說的真值有如下幾種類到：

（1）理論真值或定義真值。如用平均值代替真值，三角形內(nèi)角何等于180°等。

（2）計量約定真值。如前面所介紹的基本物理量的單位標(biāo)準(zhǔn)，以及國際大會約定的基本物

理量。

（3）標(biāo)準(zhǔn)器相對真值（或?qū)嶋H值）。用比被標(biāo)準(zhǔn)過的儀器高一級的標(biāo)準(zhǔn)器的量值作為標(biāo)準(zhǔn)

器相對真值。例如：用0.5級的電流表測得某電路的電流為1.200A,用0.2級電流表測得的電流

為1.202A,則后者可示為前者的真值。

2.誤差的表示形式

誤差的表示形式有絕對誤差和相對誤差之分。絕對誤差是測量值和真值的數(shù)值之差：

?=x-A（1-1）

根據(jù)絕對誤差的大小還難以評價?個測量結(jié)果的可靠程度，還需要考慮被測量本身的大

小，為此引入相對誤差，相對誤差七定義為絕對誤差？與被測量量的真值x的比值，即：

E=-xl00%（1-2）

x

相對誤差常用百分比表示。它表示絕對誤差在整個物理量中所占的比重，它是無單位的一

個純數(shù)，所以既可以評價量值不同的同類物理量的測量，乜可以評價不同物理量的測量，從而

判斷它門之間優(yōu)劣。

如果待測量有理論值或公認值，也可用百分差來表示測量的好壞。即：

百分差與=型甥料U嘰（.-3）

公認值

1.3誤差的分類

既然測量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度的減小測量誤差并估算出誤差的范圍比？

要解決這個問題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分

為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和過失誤差。

1.索統(tǒng)銀親

在一定條件下（指儀器、方法和環(huán)境）對同一物理量進行多次測量時，其誤差按一定的規(guī)律

變化，測量結(jié)果都大于真值或都小于真值。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因可能是已知的，也可能是未知

的。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有：

（1）由于儀器本身存在一定的缺陷或使用不當(dāng)造成的。如儀器零點不準(zhǔn)、儀器水平或鉛直

未調(diào)整、砧碼未校準(zhǔn)等。

（2）實驗方法不完善或這種方法所依據(jù)的理論本身具有近似性。例如用單擺測量重力加速

度時，忽略空氣對擺球的阻力的影響，用安培表測量電阻時，不考慮電表內(nèi)阻的影響等所引入

的誤差。

（3）實驗者生理或心理特點或缺乏經(jīng)驗所引入的誤差。例如有人讀數(shù)時，頭習(xí)慣性的偏向

一方向，按動秒表時，習(xí)慣性的提前或滯后等。

2.隨抗鎮(zhèn)親

同一物理量在多次測量過程中，誤差的大小和符號以不可預(yù)知的方式變化的測量誤差稱為

隨機誤差，隨機誤差不可修正。隨機誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納起來大致可分為以下兩個方

面：

（1）由于觀測者在對準(zhǔn)目標(biāo)、確定平衡（如天平）、估讀數(shù)據(jù)時所引入的誤差。

（2）實驗中各種微小因素的變動。例如，實驗裝置和測量機構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變動

性，實驗中電源電壓的波動、環(huán)境的溫度、濕度、照度的變化所引起的誤差。

隨機誤差的出現(xiàn)，單就某一次觀測來說是沒有規(guī)律的，其大小和方向是不可預(yù)知的。但對

某一物理量進行足夠多次測量，則會發(fā)現(xiàn)隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，隨機誤差可用統(tǒng)計方

法進行估算。

1.4測量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度

我們常用精度反映測量結(jié)果中誤差大小的程度。誤差小的精度高，誤差大的精度低，這里

精度卻是一個籠統(tǒng)的概念，它并不明確表示描寫的是哪一類誤差，為描述更具體，我們把精度

分為精密度、準(zhǔn)確度和精確度。

1.精密度

精密度表示測量結(jié)果中的隨機誤差大小的程度。它是指在一定條件下進行重復(fù)測量時，所

得結(jié)果的相互接近程度。它用來描述測量得重夏性。精密度高，即測量數(shù)據(jù)得重復(fù)性好，隨機

誤差較小。

圖1-1測量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度圖示（以打靶為例）

2.準(zhǔn)確度

準(zhǔn)確度表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小得程度。用它來描述測量值接近真值得程度。準(zhǔn)確度

高，即測量結(jié)果接近真值得程度高，系統(tǒng)誤差小。

3.精確度

精確度是對測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合描述。它是指測量結(jié)果的重復(fù)性及接近

真值的程度。

為了形象地說明這三個概念的區(qū)別和聯(lián)系，我們以打靶為例說明（圖：

（i）精密度高而準(zhǔn)確度較差；

<ii）準(zhǔn)確度高而精密度較差；

（iii）精密度和準(zhǔn)確度都很高，即精確度很高。

2誤差的處理

誤差的產(chǎn)生有其必然性和普遍性，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實驗中，一切測量結(jié)果都

存在誤差。本節(jié)主要介紹上述兩類誤差的處理方法。

2.1系統(tǒng)誤差

一個實驗結(jié)果的優(yōu)劣，往往在于系統(tǒng)誤差是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)或盡可能消除，所以預(yù)見一切可

能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的因素，并設(shè)法減小它們是非常重要的。-般而言，對于系統(tǒng)誤差可以在實

驗前對儀器進行校準(zhǔn)，對實驗方法進行改進，在實驗時采取一定的措施對系統(tǒng)誤差進行補償和

消除，實驗后對結(jié)果進行修正等。

系統(tǒng)誤差的處理是一個比較復(fù)雜的問題，它沒有一個簡單的公式，主要取決于實驗者的經(jīng)

驗和技巧并根據(jù)具體情況來處理。從實驗者對系統(tǒng)誤差掌握的程度來分，又可分為已定系統(tǒng)誤

差和未定系統(tǒng)誤差兩類。

1.已定系統(tǒng)誤差

已定系統(tǒng)誤差是指絕對值和符號都已確定的，可以估算出的系統(tǒng)誤差分量。例如：對一個

標(biāo)準(zhǔn)值為50亳克的三等祛碼，就無法知道該硅碼的誤差值是多少。只知道它對測量結(jié)果造成的

未定系統(tǒng)誤差限為±2mg,但如果在使用前用高一級的袪碼進行校準(zhǔn)，就可得到已定系統(tǒng)誤差

得值。

2.未定系統(tǒng)誤差

未定系統(tǒng)誤差是指符號或絕對值未經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。例如，儀器出廠時的準(zhǔn)確度指

標(biāo)是用符號?儀表示的。它只給出該類儀器誤差的極限范圍。但實驗者使用該儀器時并不知道該

儀器的誤差的確切大小和正負，只知道該儀器的準(zhǔn)確程度大會超過?僅的極限（例如上面所舉祛碼

中的±2mg）。所以這種系統(tǒng)誤差通常只能定出它的極限范圍，由于不能知道它的確切大小和正

負，故無法對其進行修正。對于未定系統(tǒng)誤差在物理實驗口我們一般只考慮儀器測量儀器的（最

大）允許誤差?僅（簡稱儀器誤差）。

2.2隨機誤差的估算

隨機誤差的特點是隨機性。也就是說在相同條件下，對同一物理量進行多次重復(fù)測量，每

次測量的誤差的大小和正負無法預(yù)知，純屬偶然。但是實踐和理論證明，如果測量次數(shù)足夠多

的話，大部分測量的隨機誤差都服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。本書只著重介紹隨機誤差的正態(tài)分布。

1.正態(tài)分布的特征與數(shù)學(xué)表達

遵從正態(tài)分布的隨機誤差有以下幾點特征:

(1)單峰性。絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）比絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率小。

(2)對稱性。絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會均等，對稱分布于真值的兩側(cè)。

(3)有界性。在一定的條件卜，誤差的絕對值不會超過一定的限度。

(4)抵償性。當(dāng)測量次數(shù)很多時，隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零，即處Z"=o

r=l

正態(tài)分布的特征可用正態(tài)分布曲線形象地表達。如圖2-1所示。

橫坐標(biāo)表示誤差?=xi-xo式中即為被測量量的真值，縱坐標(biāo)為一個與誤差出現(xiàn)的概率有

關(guān)的概率密度函數(shù)/（?）。根據(jù)概率論的數(shù)學(xué)方法可以導(dǎo)出：

(2-1)

(b)

圖2-1概率密度函數(shù)曲線圖

測量值的隨機誤差出現(xiàn)在？至IJ?+d?區(qū)間內(nèi)可能性為即圖(a)中陰影所含的面

積元。上式中？是一個與實驗條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標(biāo)淮錠親，其值為:

(2-2)

式中〃為測量次數(shù)，8次測量的隨機誤差為4,i=1,2…〃。

2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義

由式2-1可知，隨機誤差的正態(tài)分布曲線的形狀與？值有關(guān)，如圖(b)所示，？值越小，

分布曲線越尖銳，峰值/(?)越高，說明絕對值小的誤差占多數(shù)，且測量值的離散性較小，重

復(fù)性好，測量精密度較高：反之？值越大，則曲線越平坦，該組測量值的離散性大，測量精密

度低。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測量值的離散程度。

由/(b)db是測量值隨機誤差出現(xiàn)在小區(qū)間(5S+d3)的可能性(概率)，即〃次測量

值誤差出現(xiàn)在(-CF.+O-)內(nèi)的概率為：

p(-<j<B<er)=J/⑹dS=J——e2bds=68.3%(2-3)

這說明對任一次測量，其測量值誤差出現(xiàn)在7到+?區(qū)間內(nèi)的概率為6g.3%。從概率

密度分布函數(shù)的曲線圖來看：設(shè)曲線下面積為1即100%，則介于(~a,+a)間的曲線下的面

積為68.3%o用同樣的方法計算可得介于(-25+20)間的概率為95.5%,介于(-3。,+女T)

間的概率為99.7%。顯然，測量誤差的絕對值大于3?的概率僅為0.3%.在通常情況下的有限

次測量測量誤差超出±3?范圍的情況幾乎不會出現(xiàn)，所以把37稱為極限誤差。

3.近真值一算術(shù)平均值

盡管一個物理量的真值是客觀存在的，但由于誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍然不能

實現(xiàn)。那么是否能夠得到一個測量結(jié)果的最佳值，或者說得到一個最接近真值的數(shù)值呢？根據(jù)

隨機誤差具有抵償性特點，我們可以求得真值的金隹余訃值一一近真值。

設(shè)在相同條件下對一個物理量進行多次沒量，測量值分別為七,々，與，…，￡，則該沒量值

的算術(shù)平均值：

In

J=—Vx.(/=1,2,3,)(2-4)

〃r=l

而各次測量的隨機誤差為：

式中回為真值，K為第，次測量值，對〃次測量的絕對誤差求和有：

等式兩邊各除以〃可得：

當(dāng)測量次數(shù)〃T8由隨機誤差具有抵償性的特點，所以有：

故根據(jù)以上推導(dǎo)可得：

由此可知，測量次數(shù)愈多，算術(shù)平均值接近真值的可能性愈大。當(dāng)測量次數(shù)足夠時，算術(shù)

平均值是真值的最佳估計值。

2.3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算一標(biāo)準(zhǔn)偏差

由于真值不知道，誤差？無法計算，因而按照式2-2標(biāo)準(zhǔn)誤差？也無從估算。根據(jù)算術(shù)平

均值是近真值的結(jié)論，在實際估算誤算時采用算術(shù)平均值代替真值，用各次測量值與算術(shù)平均

值的差值匕=為一元來估算各次測量的誤差，差值稱為極套。當(dāng)測量次數(shù)〃有限時，如用殘差

來表示誤差時，其計算公式為：

S,稱為任一次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是測量次數(shù)有限多時，標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個估計值。其代表

的物理意義為：如果多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布，那么，任一次測量的測量值誤差落在

-S,到+S,區(qū)域之間的可能性（概率）為68.3%.通過誤差理論可以證明，平均值元的標(biāo)準(zhǔn)偏差

為:

23-元）2

57=i=l（2-6）

〃（〃一1）

上式說明算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是〃次測量中的任意?次測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的1

忑SjJ、于

S',因為算術(shù)平均值是測量結(jié)果的最佳值，它比任意一次測量值為更接近真值，所以雙差要

小。SF的物理意義是在多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布的條件下，真值處于上士S,區(qū)間內(nèi)的

概率為68.3%。

3不確定度與測量結(jié)果的表示

3.1測■不確定度

由于測量誤差的存在，難以確定被測量的真值。測量不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參

數(shù)，它表征測量真值在某一個量值范圍內(nèi)不能濘定程度的一個估計值。也就是說不確定度是測

量結(jié)果中無法修正的部分，反映了被測量的真值不能肯定的誤差范圍的一種評定，測量不確定

度包含A類標(biāo)注木確定鹿和B夾底淮木病比鹿。

1.A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度

由于偶然因素，在同一條件下對同一物理量X進行多次重復(fù)測量值玉,電，43,…，Z，將是分

散的，從分散的測量值出發(fā)用統(tǒng)計的方法評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，就是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定。

設(shè)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u/j),用統(tǒng)計的方法算出平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為S,,不確定度的A類分

量就取為平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即:

E區(qū)-工)

j-l

uW=(3-1)

n(n-1)

按誤差理論的正態(tài)分布，如不存在其他影響，則測量值范圍11八(幻］中包含

真值的概率為68.3%。

2.B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度.

測量中凡是不符合統(tǒng)計規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度。在實際計算時，有的依據(jù)計

量儀器的說明書或鑒定書，有的依據(jù)儀器的準(zhǔn)確度，有的則粗略的依據(jù)儀器的分度值或經(jīng)驗，

從中獲得儀器的極限誤差，??(或允許誤差或示值誤差)此類誤差一般可視為均勻分布，則B

類評定不確定度為：

△儀、

uB(x)=(3?2)

例：使用量程為0—300mm,分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺，測量長度時，其示值誤差在

±0.05mm以內(nèi)，即極限誤差為？w=0.05mm,則由此游標(biāo)卡尺引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度口■工)

為：

3.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

(I)直接測量結(jié)果不確定度的估算

物理實驗的測量結(jié)果表示中，總不確定度u(x)的估算方法行為兩類，即多次重重測量用

統(tǒng)計方法算出的A類分量u八(x)和用其它方法估算出的B類分量Us。)。用方和根的方法合成

為總不確定度u(x)：

u(x)=Ju：(x)+u；(x)(3-3)

例：已知游標(biāo)卡尺。佚=0.005cm)的初始讀為0.05cm,測量圓環(huán)內(nèi)徑數(shù)據(jù)如下表所示,試

求其測量的不確定度。

測量次數(shù)123456

d(cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255

計算出：

則零點修正后：

所以有：

(2)間接測量不確定度的估算

物理實驗的結(jié)果一般都通過間接測量獲得的，間接測量是以直接測量為基礎(chǔ)的，直接測量

值不可避免地有誤差存在，顯然由直接測量值根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過運算而獲得的間接測

量的結(jié)果，必然也有誤差存在。怎樣來計算間接測量的誤差呢？這實質(zhì)上是要解決一個誤差的

傳遞問題，即求得估算間接測量值誤差的公式，稱為誤差的傳遞公式。

設(shè)間接測量量N是〃個獨立的直接測量量A、B、C,H的函數(shù)，即

N=f(A,B,C,…，H)

若各直接測量值A(chǔ)、B、C,H的不確定度分別為以(■),u(B),u(C),u(H),

它們使N值也有相應(yīng)的不確定度u(N),由于不確定度都是微小量，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的“增量”，

囚此間接測量的不確定度公式與數(shù)學(xué)中的全微分公式基本相同，利用全微分公式，則間接測量

的不確定度：

如果先對函數(shù)表達或取對數(shù)，再求全微分可得:

當(dāng)間接測量量N是各直接測量量A、B、C,…，”的和或差的函數(shù)時，則用(3-4)式計算

較為方便，當(dāng)間接測量量N是各直接測量量八、B、C,〃的積或商的函數(shù)時，則用(3-4)

式先計算N的相對不確定度也，然后再計算u(N)比較方便。

N

在一些簡單的測量問題中，有時要求不需太精確的測景問題中可以用絕對值合成方法，即

+%u(8)+且u(C)+...+義u(H)

MN)啜"A)(3-6)

oBdedH

u(N)_

++挈u?+…+(3-7)

NdAdBdCdH

當(dāng)然這種絕對值合成的方法所得結(jié)果一般偏大。與實際的不確定度合成情況可能也有較大

出入。但因其計算比較簡，在要求不高，作粗略做算時，往往采用絕對值合成法，但在科學(xué)實

驗中，一般都采用“方和根”合成來計算間接測量結(jié)果的不確定度，常用函數(shù)的方和根合成與

絕對值合成公式見下表：

函數(shù)表達式方和根合成公式絕對值合成公式

N=AXB、N=A

B

N=KA（K為常數(shù)）

3.2測量結(jié)果的一般表示

一個完整的測量的結(jié)果不僅要給出該量值的大?。〝?shù)值和單位）同時還應(yīng)給出它的不確定

度。用不確定度來衣征測量結(jié)果的可信賴程度，丁是測量結(jié)果應(yīng)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)形式：

式中工為測量值的最佳估計值，對等精度多次測量而言，工為多次測量值的算術(shù)平均值，u

（X）為不確定度，Ur為相對不確定度。

4實驗中的錯誤與錯誤數(shù)據(jù)的剔除

實驗中有時會出現(xiàn)錯誤，盡早發(fā)現(xiàn)實驗中的錯誤是實驗得以順利進行的前提保障，數(shù)據(jù)分

析就是發(fā)現(xiàn)錯誤的重要方法。

例1：三次單擺擺50個周期的時間,得出98.4s,96.7s,97.7s。從數(shù)據(jù)可知擺的周期接近

2s,但前面兩個數(shù)據(jù)相差17s,而后兩個相差1.0s,它們都在半個周期以上，顯然這樣大的差異

不能用手按稍表稍或滯后的操作誤差去解釋，即測量有誤差。

例2：用靜力稱衡法測一塊玻璃的密度？，所用公式為夕=」一。，式中叩=5.78g為

網(wǎng)-m2

玻瑞質(zhì)量，”n=4.77g為玻病懸掛在水中的質(zhì)量.這次測量顯然有錯誤，因為在此如與心之差

近似為1g;?值接近6g/cn?,沒有這樣大密度的玻璃。

4.1拉依達判據(jù)

在一組數(shù)據(jù)中，有一、二個稍許偏大或偏小的數(shù)值，如果簡單的數(shù)據(jù)分析不能判定它是否

為錯誤數(shù)據(jù)，就要借助于誤差理論。在前面標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義中已提到對于服從正態(tài)分布的

隨機誤差，出現(xiàn)在土？區(qū)間內(nèi)概率為68.3%,與此相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一

物理量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3?到+3?區(qū)域之間的可能性(概率)

為：

PJ3B3B)='/(Ar)JAr=99.7%(4-1)

如果用測量列的算術(shù)平均替代真值，則測量列中約有99.7%的數(shù)據(jù)應(yīng)落在f±35區(qū)間內(nèi)，

如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認為它是錯誤數(shù)據(jù)，這時我們應(yīng)把它舍去，這樣以

標(biāo)準(zhǔn)偏差&的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的取舍就成為一個剔除壞數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則，稱為拉依達準(zhǔn)則。但

要注意的是數(shù)據(jù)少于10個時此準(zhǔn)則無效。

4.2格羅布斯判據(jù)

對于服從正態(tài)分布的測量結(jié)果，其偏差出現(xiàn)在±3?附近的概率已經(jīng)很小，如果測量次數(shù)

不多，偏差超過±3?幾乎不可能，因而，用拉依達判據(jù)剔除疏失誤差時，往往有些疏失誤差

剔除不掉。另外，僅僅根據(jù)少量的測量值來計算？，這本身就存在不小的誤差。因此當(dāng)測量次

數(shù)不多時，不宜用拉依達判據(jù)，但可以用格羅布斯判據(jù)。按此判據(jù)給出一個數(shù)據(jù)個數(shù)〃相聯(lián)系

的系數(shù)Gn，當(dāng)已知數(shù)據(jù)個數(shù)〃，算術(shù)平均值工和測量列標(biāo)準(zhǔn)偏差則可以保留的測量值M的

范圍為

(4-2)

G”系數(shù)表

N345678910II1213

G?1.15i.461.671.821.942.032.112.182.232.282.33

N14151617181920222530

G?2.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74

也可用擬合式計算G”值

G“Jn(〃—2.65)+]Jos

n<30時取

2.31

In(〃-3)

n>30時取G'=+1.36---

2.30550

例：測得一組長度值1單位：cm)

98.2898.2698.2498.2998.21

98.3098.9798.2598.2398.25

計算出：

數(shù)據(jù)98.97在此范圍之外應(yīng)舍去。舍去后再計算有

5有效數(shù)字及其運算規(guī)則

5.1有效數(shù)字

在物理量的測量中，測量結(jié)果都是存在一定的誤差，這些值不能任意地取舍，它反映出測

量量的準(zhǔn)確程度。如何科學(xué)地，合理地反映測量結(jié)果，這就涉及到有效數(shù)字的問題。有效數(shù)字

在物理實驗中經(jīng)常使用。什么是有效數(shù)字，有效位數(shù)如何確定，有效數(shù)字的運算規(guī)則有什么不

同，在用有效數(shù)字表示測量結(jié)果時，如何與誤差聯(lián)系起來。可以說，誤差決定有效數(shù)字。例

如：實驗測得某一物理量，其測量列的算術(shù)平均值為1=1.674cm,算得其不確定度u(x)=

0.04cm?從u(.V)數(shù)值中可知，這一組測曷量在小數(shù)點后面第二位就已經(jīng)有誤差，所以工等于

1.674中“7”已經(jīng)是有誤差的可疑數(shù)，表示結(jié)果工時后面一位“4”已不必再寫上，上述結(jié)果正

確的表示應(yīng)為x=1.67±0.04cm。也就是說，我們表示測量結(jié)果的數(shù)字中，只保留一位可疑數(shù)，

其余應(yīng)全部是確切數(shù)。

有效數(shù)字的定義為：有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)和一位可疑數(shù)構(gòu)成。這些數(shù)字的總位數(shù)稱

為有效數(shù)字。

一個物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的數(shù)有著不同的意義。例如在數(shù)學(xué)上0.2500m=25.00mm。但在

物理測量上0.2500mW25.000cm。因為0.2500的有效位數(shù)是四位，而25.000cm的有效位數(shù)是五

位。實際上，這兩種不同的寫法表示了兩種不同精度的測晝結(jié)果。所以在實驗中記錄數(shù)據(jù)時，

有效數(shù)字不能隨意增減。

5.2有效數(shù)字運算規(guī)則

有效數(shù)字的正確運算關(guān)系到實驗結(jié)果的精確表達，由7運算條件不?樣，運算規(guī)則也不?

樣。

1.四則運算

四則運算，一般可以依據(jù)以下運算規(guī)則：①參加運算的各數(shù)字可以認為僅最后一位數(shù)碼是

有誤差的，其他位的數(shù)碼是無誤差的；②無誤差的數(shù)碼間的四則運算結(jié)果仍為無誤差數(shù)碼；③

有誤差的數(shù)碼參加四則運算結(jié)果有誤差的數(shù)碼，進位和借位認為是無誤差數(shù)碼；④最后結(jié)果按

四舍五入法僅保留一位有誤差數(shù)碼。

(1)加減法

[例I]5.345+30.2

(數(shù)字下面是指誤差所在位的數(shù)碼)

?。?.345+30.2=35.5

[例2]35.48-20.3

取:35.48-203=15.2

(2)乘除法

[例1]4.178x10.1

取:4.178x10.1=42.2

[例2]482164-123

?。?8216^-123=392

用以上豎式才能得到計算結(jié)果的四則運算，對我們來講，不現(xiàn)實，為了提高運算速度，又

保證一定精度的誤差估計，可把上面加減運算和乘除運算分別總結(jié)為如卜運算規(guī)則：

1）加搬注病算庭血：若干項加減運算時，仍然按正常運算進行；計算結(jié)果的最后一位，應(yīng)

取到與參加加減運算各項中某項最后一位靠前的位置對齊。

如3.14+1056.73+103-9.862=1153參加運算的各項最后一位最靠前的是103的個位,其

計算結(jié)果的最后一位就保留在個位上。

2）泉康束/竟琬血：計算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)保留到與參加運算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最

少的位數(shù)相同。

如2.2x3.902+3.456?=30,參加運算的2.7有效數(shù)字是兩位，為最少，計算結(jié)果也就取

兩位。這一規(guī)則在絕大多數(shù)情況下都成立，極少數(shù)情況下，由于借位或進位可能多一位或少一

位。如0.9§乂1.!=1.03就多一位。

2.函數(shù)運算有效數(shù)字取位

函數(shù)運算不像四則運算那樣簡單，而要根據(jù)誤差傳遞公式來計算。

［例］已知x=56.7,y=Inx,求y?

因x的有誤差位是十分位上，所以??？x20.1,利用誤差傳遞公式與。，*）回去估計），

的誤差位△），='=￡L。0.002,說明y的誤差位在千分位上，故），=hu=ln56.7=4.038。

x56.7

由上可知函數(shù)運算有效數(shù)字取位的規(guī)則：已知x,計算y=/（x）時，取?x為x的最后一位

的數(shù)量級，利用誤差傳遞公式△），=|廣。）|紈估計y的誤差數(shù)碼位置，），的計算結(jié)果最后一位對

應(yīng)？），的那個位置。

6實驗數(shù)據(jù)的處理方法

測量獲得了大量的實驗數(shù)據(jù)，而要通過這些數(shù)據(jù)來得到可靠的實驗結(jié)果或物理規(guī)律，則需

要學(xué)會正確的數(shù)據(jù)處理方法。本節(jié)將介紹在物理實驗中常月的列表法、作圖法、逐差法和最小

二乘法等數(shù)據(jù)處理的基本方法。

6.1列表法

在記錄和處理實驗測量數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡單而明確地表示出有關(guān)物

理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于隨時檢查測量結(jié)果是否正確合理，及時發(fā)現(xiàn)問題，利于計算和分析

誤差，并在必要時對數(shù)據(jù)隨時杳對.通過列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性，得出

定量的結(jié)論或經(jīng)驗公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使月的一種方法。

列表時，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則

(1)簡單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。

(2)在表格中均應(yīng)標(biāo)明物理量的名稱和單位。

(3)表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。

(4)必要時應(yīng)對某些項目加以說明，并計算出平均值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相對誤差。

例用千分尺測量鋼絲直徑，列表如下：

初讀數(shù)未讀數(shù)直徑Diu(D)

次數(shù)(mm)U

(mm)(mm)(mm)(mm)r

10.0022.1472.145

20.0042.1482.144

30.0032.1492.146

2.1450.0010.06%

40.0012.1452.144

50.0042.1492.145

60.0032.1472.144

6.2作圖法

物理實驗中所得到的一系列測量數(shù)據(jù)，也可以用圖線直觀地表示出來，作圖法就是在坐標(biāo)

紙上描繪出一系列數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的圖線?？梢匝芯课锢頃冎g的變化規(guī)律，找出對應(yīng)的函數(shù)

關(guān)系，求經(jīng)驗公式的常用方法之一。同時作好一張正確、實用、美觀的圖是實驗技能訓(xùn)練中的

一項基本功，每個同學(xué)都應(yīng)該掌握。

1.圖示法

物理實驗所揭示的物理量之間的關(guān)系，可以用一個解析函數(shù)關(guān)系來表示，也可以用坐標(biāo)紙

在某一坐平面內(nèi)由一條曲線表示，后者稱為實驗數(shù)據(jù)的圖形表示法，簡稱圖示法。

圖示法的作圖規(guī)則如下：

(1)選取坐標(biāo)紙

作圖一定要用坐標(biāo)紙，根據(jù)不同實驗內(nèi)容和函數(shù)形式無選取不同坐標(biāo)紙，在普物實驗中最

常用的是直角坐標(biāo)紙。再根據(jù)所測得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對測量結(jié)果的要求來定坐標(biāo)紙的大小，

原則上是以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括所有實驗點作為選擇依據(jù)，?般圖上的最小分

格至少應(yīng)是有效數(shù)字的最后一位可靠數(shù)字。

(2)定坐標(biāo)和坐標(biāo)標(biāo)度

通過以橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。寫出巨標(biāo)軸所代表的物理量的名稱和單

位。為了使圖線在坐標(biāo)紙上的布局合理和充分利用坐標(biāo)紙，坐標(biāo)軸的起點不一定從變量的“0”

開始。圖線若是直線，盡量使圖線比較對稱地充滿整個圖紙，不要使圖線偏「一角或一邊，為

此，應(yīng)適當(dāng)放大(或縮小)颯坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸的比例。在坐標(biāo)軸上按選定的比例標(biāo)出若干等距

離的整齊的數(shù)值標(biāo)度，標(biāo)度的數(shù)值的位數(shù)應(yīng)與實驗數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)一致。選定比例時，應(yīng)使

最小分格代表“I”、“2”或“5”，不要用“3”、“6”“7”、“9”表示一個單位。因為這

樣不僅使標(biāo)點和讀數(shù)不方便，而且也容易出錯。

(3)標(biāo)點

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，找到每個實驗點在坐標(biāo)紙上的位置，月鉛筆以“X”標(biāo)出各點坐標(biāo)，要求

與測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)準(zhǔn)確地落在“X”的交點上。一張圖上要畫兒條曲線時，每條曲線可用

不同標(biāo)記如“+”、等以示區(qū)別。

(4)連線

用直尺、曲線板、鉛筆將測量點連成直線或光滑曲線，校正曲線要通過校正點連成折線。

因為實驗值有一定誤差，所以曲線不一定要通過所有實驗點，只要求線的兩旁實驗點分布均勻

且離曲線較近，并在曲線的轉(zhuǎn)折處多測幾個點，對個別偏禺很大的點，要重新審核，進行分析

后決定取舍。

(5)寫出圖紙名稱

要求在圖紙的明顯位置標(biāo)明圖紙的名稱，即圖名、作者姓名、日期、班級等。

2.圖解法

圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)所作好的圖線，用解析法找U相應(yīng)的函數(shù)形式，如線性函數(shù)，二

次函數(shù)、轅函數(shù)等，并求出其函數(shù)的參數(shù)，得出具體的方程式。特別是當(dāng)圖線是直線時，采用

此法更為方便。

(1)直線圖解法

①取點

在直線上任取兩點A(X1，＞'|),B(X2,)，2)，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。用“？”符號表示所

取的點，與實驗點相區(qū)別。一般不要取原實驗點。所取兩點在實驗范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一

些，以減小誤差。

②求斜率k

在坐標(biāo)紙的適當(dāng)空白的位置，由直線力程丁=心+力，馬出斜率的計算公式：

k=^^~(6-1)

將兩點坐標(biāo)值代入上式，寫出計算結(jié)果。

③求截距〃

如果橫坐標(biāo)的起點為零，其截距〃為x=0時的y值，其直線的截距即由圖上直接讀出。如

果起點不為零，可由下式求出截距：

人=上上二至1(6-2)

例：己知電阻稅的阻值R與溫度，的關(guān)系為：

其中R。、〃是常數(shù)。現(xiàn)有一電阻絲，其阻值隨溫度變化如卜.表所示。請用作圖法作R-f直線，并

求Ro、&儀的值。

((℃)15.020.025.030.035.040.045.050.0

R(Q)28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62

解：由上表可知

max=50.0-15.0=35.0(℃)

1.62—28.05=3.57(Q)

即溫度/的變化范圍為35C,而電阻值次的變化范圍為3.57Q。根據(jù)坐標(biāo)紙大小的選擇原

則，既要反映有效數(shù)字又能包括所有實驗點，選40格X40格的圖紙。取自變量/為橫坐標(biāo)，起

點為10C,每一小格為1℃；因變量A為縱坐標(biāo)，起點為28。，每一小格為0.1Q,描點連線

圖，得Rl直線如圖6-1,所示。

圖6-1

在直線上取兩點(19.0,28.40),(43.0,30.90)則：

30.90-28JO=0|()4IQ。

43.0-19.0

43.0x28.40-19.0x30.90“，,小、

D%=-------------------------------------=ZO.4()

543.0-19.0

故有/?=26.4+0.10/(0)

(2)曲線的改直

在實際工作中，許多物理量之間的函數(shù)關(guān)系形式是復(fù)雜的，并非都為線性，但是可以經(jīng)過

適當(dāng)變換后成為線性關(guān)系，即把曲變成直線，這種方法叫曲線改直。例如：

①尸V=C,C為常數(shù)

由R=GL作/?-工圖得直線，斜率即為c

vv

②S=+。為常數(shù)。

兩邊除以t得：1q=%+：1(〃，作］q一圖為直線，其斜率1為截距為%。

③y=axb,其中a,b為常數(shù)

兩邊取對數(shù)，得lg)，=lga+blgx,以檎)，為橫坐標(biāo)，1gy為縱坐標(biāo)作圖得一直線，截距為

Iga,斜率為九

3.作圖法的優(yōu)點

直觀：這是作圖法的最大優(yōu)點之一，可根據(jù)曲線形狀，很直觀很清楚地表示在一定條件

下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系，找出物理規(guī)律。

簡便：在測量精度要求不高時，由曲線形狀探索函數(shù)關(guān)系，作圖法比其他數(shù)據(jù)處理方法要

簡便。

可以發(fā)現(xiàn)某些測量錯誤：若在曲線上個別點偏離特別大，可提醒人們重新核對。

在圖線上，可以直接讀出沒有進行測量的對應(yīng)于某工的丁值(內(nèi)插法)。在一定條件下，也

可以從圖線的延伸分部讀出測量數(shù)據(jù)范圍以外的點(外推法)。

但也應(yīng)看到作圖法有其局限性。特別是受圖紙大小的限制，不能嚴格建立物理量之間函數(shù)

關(guān)系，同時受到人為主觀性進行的指點、連線的影響，不可避免地會帶來誤差。

6.3逐差法

逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)進行逐項或相等間隔項相減得到結(jié)果的一種方法。它計

算簡便，并可充分利用測量數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結(jié)規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處

理方法。

1.逐差法的使用條件

（1）自變量X是等間距離變化的。

中

（2）被測的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項式，即），=￡4了”。

m=0

2.逐差法的應(yīng)用

以拉伸法測彈簧的倔強系數(shù)為例，說明如下：

設(shè)實驗中等間隔地在彈簧下加祛碼（如每次加1克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧卜端

點的位置%,Li，L2,…，L9,則可用逐差法進行以下處理。

（1）驗證函數(shù)形式是淺性關(guān)系

把所測的數(shù)據(jù)逐項相減，即

看?小,?心，？心，…，？工9是否基本相等。而當(dāng)?。均基本相等時，就驗證了外力與彈簧的伸長

量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即

用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項逐差。

（2）求物理量數(shù)值

現(xiàn)計算每加1克祛碼時彈簧的平均伸長量：

從上式可看出，中間的測量值全部低消了，只有始末二次測量值起作用，與一次加9克祛碼的

測量完全等價。

為了保證多次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達到多次測量來減小

誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則應(yīng)用如下方法：

通?？蓪⒌乳g隔所測量的值分成前后兩組的，前一組為L/、L2、L八乙,后一組為

“、Lc、L7、Ls、L9,將前后兩組的對應(yīng)項相減為

再取平均值

由此可見，與上面?般求平均值方法不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的正是

增加5克祛碼時彈簧的平均伸長量。故對應(yīng)項逐差可以充分利用測量數(shù)據(jù)，具有對數(shù)據(jù)取平均

和減小的效果。

6.4最小二乘法

由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得的變

量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。

本章只討論用最小二乘法進行一元線性回歸問題，有關(guān)多元線性回歸和非線性回歸，請參考其

他書籍。

1.一元線性回歸

最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上，各相應(yīng)點的值與測量值之差的平方利應(yīng)

比在其他的擬合直線上的都要小。

假設(shè)所研究的變量只有兩個：X和y,且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，是一元線性方程

y=4+Ax（6-3）

實驗測量的一組數(shù)據(jù)是

需要解決的問題是：根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，如何確定（&3）式中的常數(shù)Ao和Ai。實際上，

相當(dāng)于作圖法求直線的斜率和截距。

由于實驗點不可能都同時落在（6-3）式表示的直線上，為使討論簡單起見，限定：

①所有測量值都是等精度的。只要實驗中不改變實驗條件和方法，這個條件就可以滿足。

②只有一個變量有明顯的隨機誤差。因為為和V都含有誤差，把誤差較小的一個作為變量

x,就可滿足該條件。

假設(shè)在（6-3）式中的工和），，是在等精度條件下測量的，且y有偏差,記作與，邑后，…，4

把實驗數(shù)據(jù)（41,兇）,。2，%）「一，（/，%）代入（6-3）式后得：

其一般式為：

g=y-y=z-A-4為（6-4）

與?的大小與正負表示實驗點在直線兩側(cè)的分散程度，＜的值與A）、4的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最

小二乘法的思想，如果A。、Ai的值使￡卻最小，那么，（6-3）式就是所擬合的直線，即由式

1-1

jnM

X￡；=￡（X_-（6-5）

i-lr-1

對Ao和4求一階偏導(dǎo)數(shù)，且使其為零得：

VT，婷=—2支（y-A-4王）=0

JE（6-6）

ZW=-2S［（?-4-4菁）切=°

M3=i/f=i

令天為x的平均值，即元二再，?為），的平均值，即y,w為爐的平均值，即

/-I加r-l

——1"?___1"I

x2=~y'xf,xy為個的均值，即,W=—Yx,.

小nm閆

代入（6-6）式中得：

解方程組得:

A）=〉'_幻

2.把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題

在實際問題中，當(dāng)變量間不是直線關(guān)系時，可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，使不少曲線問題能

夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問題。需要注意的是，經(jīng)過變換等精度的限定條件不一定滿足，會產(chǎn)生一

些新的問題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當(dāng)?shù)那€擬合方法。

下面舉幾例說明

（1）若函數(shù)為F+）J=C,其中C為常數(shù)，令：

則有:

X,其中4、〃為常數(shù)，將原方程化為工=〃+g，令:

（2）若函數(shù)為｝，二

atbx

則有:

3.相關(guān)系數(shù)r

以上所討論的都是實驗在已知的函數(shù)形式下進行時，由實驗的測量數(shù)據(jù)求出的回歸方程。

因此，在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會像作圖法那樣因人而

異。可見用回歸法處理問題的關(guān)健是函數(shù)形式的選取。

但是當(dāng)函數(shù)形式不明確時，要通過測量值來尋求經(jīng)驗公式，只能靠實驗數(shù)據(jù)的趨勢來推

測。對同一組實驗數(shù)據(jù)，不同的工作者可能會取不同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。

為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計算一下相關(guān)系數(shù)人對于元線

性回歸，,,定義為：

xy-xy.NO、

r=?._(6-8)

7(x2-x2)(/-r)

相關(guān)系數(shù)「的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明的值介于0和1之間，值

越接近于1,說明實驗數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，龍、y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)

進行回歸比較合理。相反，如果值遠小于1而接近0,說明實驗數(shù)據(jù)對求得的直線很分

散，x、y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在物理實驗

中，一般當(dāng)|川20.9時，就認為兩個物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。

［例］用本節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)

容：

(1)線性擬合，并寫出直線方程：

(2)求出電阻溫度系數(shù)。和0C時的電阻Ro。

(3)求出相關(guān)系數(shù),評價相關(guān)程度。

解：金屬導(dǎo)體的電阻和溫度的關(guān)系為

R=%(1+at)=凡+*/?令：

上式可變?yōu)椋?/p>

例中的實驗數(shù)據(jù)填入下表，并進行計算，結(jié)果見下表:

115.0225.028.05786.8420.8

220.0400.028.52813.4570.4

325.0625.029.10846.8727.5

430.0900.029.56873.8886.8

535.0122530.10906.01054

640.0160030.57934.51223

645.0202531.00961.01395

750.0250031.62999.81581

平均值