第一章控制系統的狀態(tài)空間表達式

1.狀態(tài)空間表達式

x=AJC+Bu

n階w:rx1y:/??x1A:nxnB:nxrC:mxnD:mxr

y=Cx+Du

A稱為系統矩陣，描述系統內部狀態(tài)之間的聯系；B為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個狀

態(tài)變量的作用情況；C輸出矩陣，表示輸出與每個狀態(tài)變量間的組成關系，D直接傳遞矩陣，表

示輸入對輸出的直接傳遞關系。

2.狀態(tài)空間描述的特點

①考慮了“輸入一狀態(tài)一輸出”這一過程,它揭示了問題的本質.即輸入引起了狀態(tài)的變化.而

狀態(tài)決定了輸出。

②狀態(tài)方程和輸出方程都是運動方程。

③狀態(tài)變量個數等于系統包含的獨立貯能元件的個數，n階系統有n個狀態(tài)變量可以選擇。

④狀態(tài)變量的選擇不唯一。

⑤從便于控制系統的構成來說，把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察的量更為合適。

⑥建立狀態(tài)空間描述的步驟:a選擇狀態(tài)變量;b列寫微分方程并化為狀態(tài)變量的一階微分方程組;

c將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態(tài)空間描述。

⑦狀態(tài)空間分析法是時域內的一種矩陣運算方法，特別適合于用計算機計算。

3.模擬結構圖（積分器加法器比例器）

己知狀態(tài)空間描述，繪制模擬結構圖的步驟：積分器的數目應等于狀態(tài)變量數，將他們畫在

適當的位置，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量，然后根據狀態(tài)空間表達式畫出相應的

加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。

4.狀態(tài)空間表達式的建立

①由系統框圖建立狀態(tài)空間表達式：a將各個環(huán)節(jié)（放大、積分、慣性等）變成相應的模擬結構

圖；b每個積

分器的輸出選作七，輸入則為c由模擬圖寫出狀態(tài)方程和輸出方程。

②由系統的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式：如電路系統。通常選電容_L的電壓和電感_L的電流

作為狀態(tài)變量。

利用KVL和KCL列微分方程，整理。

③由描述系統的輸入輸出動態(tài)方程式（微分方程）或傳遞函數，建立系統的狀態(tài)空間表達式，即

實現問題。實現是非唯一的。

方法：微分方程f系統函數-模擬結構圖f狀態(tài)空詞表達式。熟練使用梅森公式。

注意：a如果系統函數分子某次等于分母鼎次，首先化成真分式形式，然后再繼續(xù)其他工作。

b模擬結構圖的等效。如前饋點等效移到綜合反饋點之前。p28

c對多輸入多輸出微分方程的實現，也可以先畫出模擬結構圖。

5.狀態(tài)矢量的線性變換。也說明了狀態(tài)空間表達的非唯一性。不改變系統的特征值。特征多項式

的系數也是系統的不變量。

特征矢量P,的求解：也就是求（Ai/-A）x=O的非零解。

狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型（A為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a互異根時,

各特征矢量按列排。b有重根時，設3階系統，4=4，4為單根，對特征矢量〃-P?求法與

前面相同，〃2稱作兒的廣義特征矢量，應滿足（4/—A）p2=-乃。

系統的并聯實現：特征根互異：有重根。方法：系統函數7部分分式展開f模擬結構圖f

狀態(tài)空間表達式。

6.由狀態(tài)空間表達式求傳遞函數陣W(s)

W(s)=C(sl-AY]+B+Dmxr的矩陣函數[%]W"表示第j個輸入對第i個輸出的傳

遞關系。

狀態(tài)空間表達式不唯一，但系統的傳遞函數陣W(s)是不變的。

子系統的并聯、串聯、反饋連接時，對應的狀態(tài)空間表達及傳遞困數陣W(s)。方法：畫出系統

結構圖，理清關系，用分塊矩陣表示。

7.離散系統的狀態(tài)空間表達式及實現(模擬結構圖)

x(k+1)=Gx(k)+Hu

y(k)=Cx(k)+Du

8.時變系統：四個矩陣是時間t有關的。

非線性系統：各微分方程組的右端含有狀態(tài)變量的非線性項。利用泰勒級數可以線性化。

第二章控制系統狀態(tài)空間表達式的解

A,

一.線性定常系統齊次狀態(tài)方程(比=40的解：x(t)=ex0

二.矩陣指數函數一一狀態(tài)轉移矩陣

1.?！?二?"表示尺0)到1?)的轉移。5個基本性質。

2.的計算：

a定義；b變換為約旦標準型A(nJcJ)=AT,=Tex,T-}^JeJ,T-}

c用拉氏反變換e"=Z/[(s/-A)”]記憶常用的拉氏變換對

c1/\ii/、11-at1ti〃！-af1?①S

d(r)—l;l(r)<->-;r<->----\t——-\te—------7；sincot<->—-----;cos<yr——----

ss~s+as(s+〃)-s~4-6W~s-+co

d應用凱萊-哈密頓定理

三.線性定常系統非齊次方程(土=4x+的解.：MO=0(7)x(0)+1，(，-r)8〃(w)dr。

可由拉氏變換法證明(當然給出拉氏變換法的求解思路)。求解步驟：先求?！?二，"，然后將B

和u⑴代入公式即可。特殊激勵下的解。

四.線性時變系統的解

1.狀態(tài)轉移矩陣用。Q/o)來表示。

2.0(fJo)的計算：當4彳)4萬=4萬必力(，)時，^(r,r0)=exp[￡A(r)i/r]；

通常不等。不滿足乘法可交換條件時，一般采用級數近似法：

阿,/0)=I+￡A(r)6/r+￡A(r0)￡^(r,

3.解為：x(t)=^(r,r0)x(f0)+￡^(r,r)B(r)w(r)Jr

五.離散時間系統狀態(tài)方程的解(遞推法和Z變換法)

1.遞推法

楸)=Gk為狀態(tài)轉移矩陣；滿足處+1)=G(Kk)4(0)=1

AT*-i

解為，x(k)=0(幻x(0)+￡。(左一j一l)H〃(j)d域x(k)=0(Z)x(O)+工。(k-j-1)Hu(j)clr

j-0y-0

直接計算。伏)=G上有?定困難，可采用這樣的步驟：先將原狀態(tài)方程化為約旦標準型，求變換

矩陣T,x(k)=7x(k),再求出T(Z),再得到x(k)。當然3(左)=A3楸)=Gk=T$(k)T-'。

2.Z變換法公式不用記憶，現推最好。

x⑹=Z-'KzZ-G)-'zr(0)]+Z-l[(zl-G)-lHu(z)]；可見。(幻=Gk=Z"[(z/—G『zj;

計算x(幻的用到的內容：部分分式展開(先除Z后乘z);ZT對儲"一J—r=—；/：＞()

azz-a

六.連續(xù)時間狀態(tài)空間表達式的離散化

1.定常系統的離散化

x=Av+Bux(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k)

a.G(T)=eAT

y=Cx+Duy(k)=Cx(k)+Du(k)

x《k+1)7)=(TA+l)x(kT)+TBu(kT)

b.近似離散化即G(T)=TA+I;H(T)"B

y(k)=Cx(k)+Du(k)

2.時變系統的離散化略

第三章線性控制系統的能控性和能觀性

一.能控性及能觀性定義(線性連續(xù)定常、時變系統，離散時間系統)

二.線性定常系統的能控性判別(具有一般系統矩陣的多輸入系統)

判別方法(一)：通過線性變換x=Ax^Bu-^z=T-]ATz-^T-]Bu

1.若A的特征值互異，線性變換(x=Z)為對角線標準型，\=T-]AT,能控性充要條件:

778沒有全為0的行。變換矩陣T的求法。

2.若A的特征值有相同的，線性變換(x=7z)為約當標準型，J=T~lAT,能控性充要條

件：①對應于相同特征值的部分，每個約當塊對應的中最后一行元素沒有全為0的。②

丁"8中對應于互異特征根部分，各行元素沒有全為0的。變換矩陣T的求法。

這種方法要求先計算出狀態(tài)轉移矩陣，如果無法寫成閉解，則失去工程意義。

2.使用A?)即)信息

Qc(0=(B.(0,B式0…,Bn(0)，其中用(0=B⑴,B?)=一4。3“⑺+$7⑴

如果存在某個時刻?！?,使得用〃封2(。)=〃，則系統在。上是狀態(tài)完全能控的。

3.能觀性判別與能控性類似，也可以使用格拉姆矩陣叱,仇,。)，但工作量太大?？墒褂?/p>

??)、

A(t)C")信息：R(t)=02，),其中C1Q)=CQ),B,(/)=A(/)C,

如果存在某個時刻0>0,使得，〃成R(o)=〃，則系統在［0,。］上是狀態(tài)完全能觀測的。

六.能控性與能觀性的對偶原理

1.若4=A：,B?=C：,C2=,則￡］(A，B］,CJ與ZIA?,層,。?)對偶。

對偶系統的傳遞函數陣是互為轉置的。且他們的特征方程式是相同的。

2.%與二對偶，則z能控性等價于［能觀性，％能觀性等價于1能控性。

時變系統的對偶原理？？？？

七.能控標準型和能觀標準型

對于狀態(tài)反饋，化為能控標準型比較方便；對于觀測器的設計及系統辨識，能觀標準型比較

方便。

1.能控標準I型(如果已知系統的狀態(tài)空間表達式)

①判別系統的能控性。②計算.特征多項式|加一A|=/l"+%_|下1+…4伉+劭，即可寫出彳。

P1"

③求變換矩陣〃=P\A，PI=。0,…J］也M，…人237。④求計算

-0-

01

b=T：b=.,c=cTci,也可以驗證是否有A=7；JAT；」。

*

2.能控標準口型

①判別系統的能控性。②計算特征多項式|"一4|二萬+%_“"+…即可寫出

鼠

③求變換矩陣&=g，4,…，41句。④求刀J，計算5=，2?=:，5=c7；2,也可以

*

0

驗證是否有彳=7；2一乂〃。

3.能觀標準I型

①判別系統的能觀性。②計算特征多項式I幻一A1=*++…a/+g,即可寫出了。

c

③求變換矩陣，/=?。④求配,計算B=7；「%，c=cToi=[10…0],也可以

“2

驗證是否有Z=7；jA7；心

4.能觀標準n型

①判別系統的能觀性。②計算特征多項式|4/一A|=/r+%_0I+…。候+g,即可寫出A。

③求變換矩陣&=h，A7p…,4-(],計算石="/%，

c=cT{n=[00…1],也可以驗證是否有不二刀；]?；?。

5.如果己知傳遞函數陣，可直接寫出能控標準I型和能觀標準II型的狀態(tài)空間表達。

0n-\S"7+戊.2/"+…+’[S+A

W(s)=

s"?+a〃_]S"i+a,i-2s，＞2T-----卜qs+〃o

010???0o-

00100

能控標準I型：A=??????b=?C=10o4…A-11

000???10

_-?0~a\~a2…一a?-\一_1_

-

■()0…0-a--

QA)

100—6Z)A

?*

能觀標準II型：A=01-??0-a2b=c=[00…1]

??*???*A,-2

00…1一%人A,-._

A.線性系統的結構分解

1.按能控性分解(狀態(tài)不完全能控，即=通過非奇異變換女二&￡完成。

&：=（&R?…Rni…&）,前勺個列矢量是M中〃?個線性無關的列，其他列矢量保

證均非奇異的條件下是任意的。

2.按能觀性分解（狀態(tài)不完全能觀，&|JrankN=//,<n）,通過非奇異變換犬=R/完成。

/f

段

R；

V=:，前多個行矢量是N中多個線性無關的行，其他行矢量保證《「非奇異的條件卜

是任意的。

3.按能控性和能觀性分解（系統是不完全能控和不完全能觀的），采用逐步分解法，雖然煩瑣,

但直觀。

步驟：①首先按能控性分解（xc能控狀態(tài)，5不能控狀態(tài)）。②對不能控子系統按能觀性分解（

不能控能觀狀態(tài)，x所不能控不能觀狀態(tài)）。③將能控子系統按能觀性分解（超。能控能觀狀態(tài)，工而

能控不能觀狀態(tài)）。④綜合各步變換結果，寫出最后的表達式。

另一種方法：化為約當標準型，判斷各狀態(tài)的能控性能觀測性，最后按4種類型分類排列。

九.傳遞函數陣的實現問題

1.實現的定義：由W（s）寫出狀態(tài)空間表達式，甚至畫出模擬結構圖，稱為傳遞函數陣的實現問

題。

條件：①傳遞函數陣中每個元的分子分母多項式都是實常數；②元是s的真有理分式。

注意：如果不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣o=]imW"）。

2.能控標準型和能觀標準型實現

單入單出系統，W（s）是有理分式，可直接根據分子分母多項式系數寫出能控標準1型和能

觀標準2型實現。

多輸入多輸出系統，W（s）是矩陣，將W（s）整理成和單入單出系統傳遞函數相類似的形式，

即w（s）=：；—外+反；此時的4B、…A』是"?X，.維常數

S+*_]S++…+。[5+《）

陣。其能控標準型和能觀標準型實現與單入單出系統類似，只是各矩陣中的0變?yōu)槿憔仃嚕?

變?yōu)閱挝痪仃嘔,常數變?yōu)槌党藛挝痪仃嚕?旬一―斯/。注意：能控標準型實現的維數是

nxr；能觀標準型實現的維數是

3.最小實現（維數最小的實現）

x=Ax+Bu

「為W(s)最小實現的充要條件是E(AB,C)是完全能控能觀的。

y=Cx

步驟：對給定的W(s),初選一種實現(能控標準型或能觀標準型)，假設選能控標準型，判斷是

否完全能觀測，若完全能觀測則就是最小實現：否則進行能觀性分解，進一步找出能控能觀部分,

即為最小實現。

注意：傳遞函數陣W(s)的實現不是唯一的，最小實現也不是唯一的。

卜.傳遞函數W(s)中零極點對消與能控性和能觀性之間的關系

對單輸入系統、單輸出系統或者單輸入單輸出系統，系統能控能觀的充要條件是傳遞函數沒

有零極點對消。而對多輸入多輸出系統，傳遞函數陣沒有零極點對消只是最小實現的充分條件，

也就是說，即使存在零極點對消，系統仍有可能是能控能觀的(pl47例3-19)。

對單輸入單輸出系統，若傳遞函數出現了零極點對消，還不能判斷到底是不能控還是不能觀,

還是既不能控乂不能觀。

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

一.穩(wěn)定性的定義

李雅普諾夫給出r對任何系統都普遍適用的穩(wěn)定性定義。

1.平衡狀態(tài)

i=/*,/)為齊次狀態(tài)方程。滿足對所有t,都有/區(qū)J)三0成立的狀態(tài)矢量x,稱為系統的平

衡狀態(tài)。

穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。通常只討論坐標原點處的穩(wěn)定性。

2.穩(wěn)定性的幾個定義

①李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，(相當于自控里的臨界穩(wěn)定)；②漸近穩(wěn)定，(相當于自控里的穩(wěn)定)；

③大范圍漸近穩(wěn)定，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是整個狀態(tài)空間只有一個平衡狀態(tài)；④不穩(wěn)定。

二.李雅普諾夫笫一法(間接法)

1.線性定常系統的穩(wěn)定判據

狀態(tài)穩(wěn)定性：平衡狀態(tài)4=0漸近穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值具有負實部。

輸出穩(wěn)定性：充要條件是傳遞函數的極點位于s的左半平面。

2.非線性系統的穩(wěn)定性

線性化處理。?=A=笠，若A的所有特征值具有負實部，則原非線性系統在

平衡狀態(tài)Z漸近穩(wěn)定。若A的所有特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統在平衡狀態(tài)兀

不穩(wěn)定。若若A的所有特征值至少有實部為零，則穩(wěn)定性不能有特征值的符號來確定。

三.李雅普諾夫第二法(直接法)借助于一個李雅普諾夫函數來直接對平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出

判斷。

1.預備知識

V(x)是由n維矢量x定義的標量函數，且在x=()處，恒有V(x)=0,對任何非零矢量x,

如果V(x)>0,則稱之為正定；如果V(x)v0,則稱之為負定：如果V(x)20則稱之為半正定

或非負定；如果丫(人)SO則稱之為半負定或非正定；如果丫(人)>0或Va)vO,則稱之為不定。

V(x)=/口為二次型標量函數，P為實對稱陣。要判別V(x)的符號只要判別P的符號即

可。

尸的定號判據(希爾維恃斯判據)：首先求出產的各階順序主子式△：,若所有的△,>(),則

P(V(x))正定；若，=偶數的>0,i=奇數的A,YO則P(V3))負定；

2.李雅普諾夫函數

對于一個給定系統，如果能找到一個正定的標量函數V(x),而R(x)是負定的，則這個系統

是漸近穩(wěn)定的，這個標量函數V(x)叫做李雅普諾夫函數。

李雅普諾夫第二法的關健問題就是尋找李雅普諾夫函數V(x)的問題。

3.穩(wěn)定性判據

①設i=/(x),平衡狀態(tài)為xe=0,如果存在標量函數V(x)是正定的，即x=0時，有V(x)=0,

xw()時，有V(x)>0,且滿足U(x)<0,則稱原點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當網foo時,

V(x)f8,則系統是大范圍漸近穩(wěn)定的。

②設尤=f(x),平衡狀態(tài)為乙=0,如果存在標量函數V(.r)是正定的，即x=0時，有V(x)=0,

xwO時，有V(x)>(),且滿足V(x)WO,但除x三()外，即女工()，W(x)不恒等于0,則稱原

點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當料|f8時，V(x)->oo,則系統是大范圍漸近穩(wěn)定的。

③設i=f(x),平衡狀態(tài)為xe=0,如果存在標量函數V(x)是正定的，即x=0時，有V(x)=0,

時，有V(x)>0,且滿足u")40,但任意的XHO,U*)恒等于0,則稱原點平衡狀

態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。

④設i=f(x),平衡狀態(tài)為xe=0,如果存在標量函數VQ)是正定的，即x=0時，有V(x)=0,

xw()時，有丫(x)>0,且滿足U(x)>0,,則稱原點平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

需要注意：①這些判據定理知識充分條件，也就是說，沒有找到合適的李雅普諾夫函數來證

明原點的穩(wěn)定性，不能說明原點一定是不穩(wěn)定的。②如果鵬幻是可找到的，那么通常是非唯一的,

但不影響結論。③V(x)最簡單的形式是二次型標量函數，但不一定都是簡單的二次型。④構造

V(幻需要較多技巧。

四.李雅普諾夫方法在線性系統中的應用

1.線性定常連續(xù)系統漸近穩(wěn)定判據

定理：x=若A是非奇異的，原點兒.二0是唯一的平衡點。原點大范圍漸近穩(wěn)定的充要條

件是對任意對稱實正定矩陣0,李雅普諾夫方程A/p+PA=-。，存在唯一的對稱正定解P。

該定理等價于A的特征值具有負實部。但高階系統求解特征值復雜。

步驟：選定正定矩陣。，通常為代入李雅普諾夫方程，確定出P,判斷是否正定，

進而做出系統漸近穩(wěn)定的結論c

2.線性時變連續(xù)系統漸近穩(wěn)定判據

定理：x=A(t)x,在平衡點乙=0大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意對稱實正定矩陣Q”)，

李雅普諾夫方程P(t)=-A(t)TPQ)--。⑺，存在唯一的對稱正定解P(f)。

3.線性定常離散系統漸近穩(wěn)定判據

定理：M〃+l)=Gx(口在平衡點乙=0漸近穩(wěn)定的充要條件是，對任意對稱實正定矩陣。，離

散李雅普諾夫方程GTpG-P=-Q,存在唯一的對稱正定解P。

該定理等價于G的特征值均在單位圓內。

步驟：選定正定矩陣。，通常為Q=/，代入離散李雅普諾夫方程，確定出P,判斷是否正定，

進而做出系統漸近穩(wěn)定的結論。

五.非線性系統的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1.雅可比矩陣法

步驟：x=f(x),寫出/(x),計算雅可比矩陣13)=更，對給定正定矩陣P(通常P=/),

ox

Q(x)=-[JU)TP+尸/0)]為正定的。并且V(x)=/『(Xi'。)為系統的一個李雅普諾夫函數。

2.變量梯度法

第五章線性定常系統的綜合

綜合：常規(guī)綜合，使系統性能滿足某種籠統指標要求；最優(yōu)綜合，使系統性能指標在某種意義下

達到最優(yōu)。

線性反饋控制系統的基本結構及其特性

1.狀態(tài)反饋將系統的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入相

加，作為受控系統的控制輸入。K稱為狀態(tài)反饋增益陣，r設原受控系統Z°=(A8,C),

D=0o

狀態(tài)反饋閉環(huán)系統的狀態(tài)空間表達式"+簡稱

y=Cx

=(A+BK,B,C)

與原受控系統Z。=(A2C)比較，狀態(tài)反饋增益陣K的引入，并不增加系統的維數，但可

以通過K的選擇改變閉環(huán)系統的特征值，從而使獲得所要求的性能。

2.輸出反饋由輸出端y引入輸出反饋增益陣H(rxm),然后反饋到輸入端與參考輸入相

加，作為受控系統的控制輸入。狀態(tài)空間表達式為X=(A+BH)x+Bv簡稱

y=Cx

=(A+BHC,B,C)

通過H的選擇也可以改變閉環(huán)系統的特征值，從而改變性能，但可供選擇的自由度遠比K小

(通?！?？<n)o

3.從輸出到狀態(tài)變策導數i的反饋從輸出y引入反饋增益陣G(nxm｝到狀態(tài)變量的

x=(A+GC)x+Bu_

導數比，所得狀態(tài)空間表達式為簡稱=(A+GC,仇C)

y=Cx

通過G的選擇也可以改變閉環(huán)系統的特征值，從而改變性能。

以上三種反饋的共同點是，不增加新的狀態(tài)變量，系統開環(huán)與閉環(huán)同維，其次，反饋增益陣

都是常數矩陣，反饋為線性反饋。

4.閉環(huán)系統的能控性與能觀性

a狀態(tài)反饋不改變受控系統二(A,8,C)的能控性，但不保證系統的能觀性不變。

b輸出反饋不改變受控系統Zo=(A民C)的能控性和能觀性。

二.極點配置問題就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統的極點恰好配置在根平面所期望

的位置，以獲得所希望的動態(tài)性能。只討論單輸入單輸出系統

1.采用狀態(tài)反饋對系統Zo=(A仇C)任意配置極點的充要條件是Eo完全能控。

給定￡o=(A,4c),給定期望的極點，設計狀態(tài)反饋控制器的方法：

⑴能控規(guī)范型法，適合于〃23。①首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測器。②通過線

性變換x=化為能控標準1型，得到5=(瓦瓦為。③加入狀態(tài)反饋增益矩陣

改=[廉改，…氏I],得到閉環(huán)系統5K=(X+5K,5I)狀態(tài)空間表達式，求出對應的閉環(huán)特征

多項式/(2)=|〃-(W+BK)|。④由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式

(㈤=FIG-4：)。⑤將f⑷與/*⑷比較，即可得到匠=R,Z…。⑥把對應與手

的不，通過K=%7；J=化),匕,…⑦進一步畫出模擬結構圖。

⑵當階次較低時，/?<3,可直接由反映物理系統的A,b矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣

K=[&oM”…，匕一],不通過非奇異變換，使設計工作簡單。①首先判斷是否完全能控，是，則

存在狀態(tài)觀測器。②加入狀態(tài)反饋增益矩陣K=k°,占,…，幻_/，得到閉環(huán)系統

=(A+〃K,4c)狀態(tài)空間表達式，求出對應的閉環(huán)特征多項式)(㈤斗力一(A+0|。③

由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式/(田=na-V)-④將/U)與廣⑷比較，

即可得到K=￡),勺,…，兒/。⑤進一步畫出模擬結構圖。

注意，如果給定的是傳遞函數，則先畫出其要求的模擬結構圖，寫出狀態(tài)空間描述，然后做

其他工作。

2.采用輸出反饋

不能任意極點配置，正是輸出線性反饋的基本弱點。

3.采用從輸出到￡的反饋對系統Z。=(A,〃,c)任意配置極點的充要條件是完全能觀。

設計X。從輸出到上的反饋陣G的問題就是其對偶系統設計狀態(tài)反饋陣K的問題。

方法：(1)能觀標準型法，適合于3。①首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋

G。②通過線性變換x二7,2無化為能觀標準2型，得到5=(無，瓦0。③加入輸出反饋增益矩陣

恐二【就，樂，…，￡iF，得到閉環(huán)系統=(彳+GZ5兄)狀態(tài)空間表達式，求出對應的閉環(huán)特

征多項式/(4)=|幻-(印+GOI。④由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式

/(/i)=na-v)o⑤將/(㈤與廠(㈤比較，即可得到了=[00,豆,…，瓦1T⑥把對應與

5的4,通過G=7^1=[g0,g1,…,g“_J。⑦進一步畫出模擬結構圖。

⑵當階次較低時，〃工3,可直接由反映物理系統的A,c矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣

G=[go，g「…,g”_J，不通過非奇異變換，使設計工作簡單。①首先判斷是否完全能觀，是，

則存在輸出反饋G。②加入從輸出到比的反饋增益矩陣G=[g0,品，…,Mi],得到閉環(huán)系統

ZG=(A+Gc,b,c)狀態(tài)空間表達式，求出對應的閉環(huán)特征多項式/(2)=|%/—(A+Gc)\。③由

給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式/=—④將/(㈤與/(/1)比較，

即可得到6=30送#一送〃_/。⑤進一步畫出模擬結構圖。

三.系統鎮(zhèn)定問題

所謂系統鎮(zhèn)定，是對受控系統Z°二(AB,C)通過反饋使其極點均具有負實部，保證系統為

漸近穩(wěn)定。

鎮(zhèn)定問題是極點配置問題的一種特殊情況，它只要求把閉環(huán)極點配置在根平面的左側，而并

不要求將閉環(huán)極點嚴格地配置在期望極點上。

狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統為漸近穩(wěn)定。

輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結構分解中能控能觀子系統是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統

是漸近穩(wěn)定的。

輸出到、的反饋實現鎮(zhèn)定的充要條件是不能觀子系統為漸近穩(wěn)定。

四.系統解藕問題

1.目的是尋求適當的控制規(guī)律，使輸入輸出相互關聯的多變量系統實現每?個輸出僅受相應的

一個輸入控制，每一個輸入也僅能控制相應的一個輸出，這樣的問題稱為解藕問題。

2.定義：若系統Z=(A4c)m維輸入m維輸出，其傳遞函數矩陣是一個對角線有理多項式矩

陣，則稱該系統是解藕的。

.w”⑸o-

W(s)=C(sl-A)-}B=

_0%”(s)

3.方法：①前饋補償器解耦：待解耦系統Z。=(A,A,c)的傳遞函數陣W0(s),在其前面串接一

個前饋補償器傳遞函數為W,，(s),使整個系統的傳遞函數陣為W(s)=叱/(s)Wo(s),滿足對角線

有理多項式特點。其中叱/(s)="j(s)W(s)。

②狀態(tài)反饋解藕。如何設計K和F,使系統從v到y是解藕的。設計步驟。

五.狀態(tài)觀測器

作用；閉環(huán)極點的任意配置、系統解藕以及最優(yōu)控制系統都離不開狀態(tài)反饋。但狀態(tài)變量并

不是都能直接檢測，有些根本無法檢測，這就提出狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構問題。龍伯格提出的狀態(tài)

觀測器理論，解決的狀態(tài)重構問題，使狀態(tài)反饋成為一種可實現的控制律。

1.定義：動態(tài)系統￡以Eo的輸入u和輸出y作為輸入量，產生一組輸出量、逼近于x,即

lim|x-x|=0,則稱之為I。的一個狀態(tài)觀測器。構造原則：必須是完全能觀或不能觀子系

/—>00

統是漸近穩(wěn)定的；￡的輸出￡應以足夠快的速度漸近于/；￡在結構上盡可能簡單(具有盡可能

低的維數)，以便于物理實現。

2.等價性指標

3X=Ax+Bul土=Av+Bu

動態(tài)系統E原系統E。

y=cxy=ex

Al

x-x=A(x-￡)得到x-x=e(x0-i0)

只要系統是穩(wěn)定的，即A的特征值具有負實部，就可做到￡與1是穩(wěn)態(tài)等價的。

3.重構狀態(tài)方程

原因：①系統的狀態(tài)是不能直接量測的，因此很難判斷是否有元逼近十X;②小?定能保證

A的特征值均具有負實部。克服這個困難，用對輸出量的差值)￡的測量代替對狀態(tài)誤差

x—戈的測量，當lim|x—￡|=0,有l(wèi)im|y-g|=lim—戌|=lim|c(x—￡)|=()。同時,

/->oo/->oor->00

引入反饋陣G,使系統的特征值具有負實部。

狀態(tài)重構方框圖為p2135.16(a)要求熟練記憶，這種狀態(tài)觀測器稱為漸近觀測器。

狀態(tài)觀測器方程為屋+8—圮為

±=（A-GC,B,G）

這里的G稱為輸出誤差反饋矩陣。可以證明，如果A-GC的特征值具有負實部，那么狀態(tài)

誤差將逐漸衰減到0,即估計狀態(tài)￡逼近于實際的狀態(tài)工。逼近的速度取決于G的選擇，

即A—GC的特征值的配置。

4.觀測器的存在性

對于完全能觀測的線性定常系統，其觀測器總是存在的。

觀測器存在的充要條件是Z。不能觀子系統是漸近穩(wěn)定的。

5.觀測器的極點配置

定理：線性定常系統Zo=（A,3,C）,其觀測器￡=（A—GC,8,G）可以任意配置極點，即具有

任意逼近速度的充要條件是Zo=（4在。）完全能觀測。

極點配置方法：（1）能觀標準型法，適合于〃23.①首先判斷是否完全能觀，是，存在觀

測器可以任意極點配置。②通過線性變換工=去化為能觀標準2型，得到5=（瓦瓦3）。③加

入輸出誤差反饋陣G=[然，豆，…,瓦"]7',得到閉環(huán)系統狀態(tài)空間表達式

i=（A-Gc）i+Bu+Gy）,求出對應的閉環(huán)特征多項式/（⑷耳加—（川―恐。I。④由給定

的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式/*（㈤=n（4—4”）。⑤將/（團與廣（團比較，即可

得到G=[藐，豆，…，瓦1了。⑥把對應與5的I,通過G=E=[g。,?,…,g〃_J。⑦得觀

測器方程，t=（A-Gc）￡+B〃+Gy或+G（丁一角，進一步畫出模擬結構圖。

⑵當階次較低時，〃K3,可由特征值不變原理求狀態(tài)反饋增益矩陣G=[g0,g1,…,不通

過非奇異變換，使設計工作簡單。①首先判斷是否完全能觀，是，則存在觀測器可以任意極點配

置。②引入輸出誤差反饋矩陣6=兇0,80一，5./，得到觀測器系統火=5-6。,伐6）狀態(tài)空

間表達式t=（A-Gc）￡+B〃+G），。③求出對應的閉環(huán)特征多項式/（4）=|幻一（A—Gc）|。?

由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式/"（㈤=11（/1一4：）。⑤將/（㈤與r（大）比較，

即可得到6=出0，8|,…,⑤得觀測器方程，進一步畫出模擬結構圖。

5.降維觀測器

觀測器維數與受控系統相同，稱為全維觀測器。如果有些狀態(tài)變量能由輸出y直接獲得，那

么僅對其余的狀

態(tài)變量用降維觀測器進行重構即可。

步驟：①通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解。（n-m）維狀態(tài)變量凡需要重構，m維狀態(tài)變

量當由直接獲得v②對工構造（n-m）維觀測器“詳細步驟通過實例熟悉.

六.利用狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋的系統（帶觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統）

1.系統的結構與狀態(tài)空間表達

結構框圖要非常熟悉p221圖5.21

前提：受控系統完全能控能觀，狀態(tài)反饋閉環(huán)系統和觀測器都可以任意極點配置。

「x=Ax+Bu

受控系統Zo=（A8,C）*I

y=ex

式

狀態(tài)觀測淵X。=（A-GC,B.G）x=Ax+Bu^-G（y-y）=（A-GC）x+Gy+Bu大?

y=Cr

式

反饋控制率〃=u+心*3

式

x=Ax+BKx+Bv

整理得整個閉環(huán)系統的狀態(tài)空間表達式i=GCx+（A-GC）x+Gy+Bv也可寫成矩陣形式

y=Cx

顯然，這是一個2rl維的閉環(huán)控制系統。

2.閉環(huán)系統的基本性質

（1）分離性復合系統（由觀測器構成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統）其特征多項式等于矩陣A+和

A-GC特征多項式的乘積.即閉環(huán)系統的極點等于直接狀態(tài)反饋（A+8K）的極點和狀態(tài)觀

測器（4-GC）的極點總和，且相互獨立。所以輸出誤差反饋陣G和狀態(tài)反饋陣K可以分別進

行設計。

（2）傳遞函數矩陣的不變性

可以推出復合系統的傳遞函數為W（s）=C[sI-（A+BK）]-1B,等于直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統

的傳遞函數?；蛘哒f它與采用觀測相反饋無關。

（3）觀測器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性

穩(wěn)態(tài)時，兩者等價。

選擇K,可以改變閉環(huán)系統的極點到期望極點，從而改善系統性能。

選擇G,可以改變觀測器的極點，從而加速使狀態(tài)誤差衰減到0。一般取觀測器的極點比

閉環(huán)系統的期望極點（（A+3K）的極點）略負，既保證狀態(tài)誤差有較快的衰減速度，又不致引

人更多的噪聲干擾。

3.設計步驟（只給出低階系統的設計步驟）：

①判斷原受控系統的能控性能觀性，是完全能控能觀，則狀態(tài)反饋陣K和觀測器輸出誤差反饋陣

G存在，且閉環(huán)系統和觀測器極點可以任意配置。②設計狀態(tài)反饋陣K：求A+4K的特征多項

式〃（㈤，由期望的閉環(huán)極點得期望的特征多項式//（團，比較系數，從而得到K。③設計觀

測器輸出誤差反饋陣G：求A-GC的特征多項式入（4），由觀測器期望的配置極點得期望的特

征多項式右⑷，比較系數，從而得到G。④給出觀測器方程即*2式。⑤結合*1式和*3式,

畫出相應的模擬結構圖。

第六章最優(yōu)控制

三種設計最優(yōu)控制系統的方法：古典變分法、極小值原理、動態(tài)規(guī)劃

一.概述

在最優(yōu)控制系統中，由于受控對象是一個動態(tài)系統，所有變量都是時間的函數，所以這是動

態(tài)最優(yōu)化問題。這時目標函數不再是普通的函數，而是時間函數的函數，稱為泛函。

在上目標泛函為，基本約束條件是受控對象的狀態(tài)方程

x=/[%(/),u(r),d，

./是標量泛函數，L標量函數(是矢量u(t),x⑴的函數)，x(t)是n維狀態(tài)矢量，u⑴是r維控制矢

量C

二.研究最優(yōu)控制的前提條件

(1)給出受控系統的動態(tài)描述，即狀態(tài)方程連續(xù)土=/[/(/),〃")/]離散

x(k+1)=f[x(k),u(k),k]

(2)明確控制作用域

(3)明確初始條件通常。給定，若Mf。)給定，稱為固定始端。若尤"0)任意，則稱謂自由始

端。

(4)明確終端條件固定終端自由終端可變終端

(5)給出目標泛函即性能指標

N-1

連續(xù)離散/=0[x(N)]+2心(——

k=%

等式右邊第一項反映對終端性能的要求，稱為終端指標函數。第二項L為狀態(tài)控制過程中對

動態(tài)品質及能量或燃料消耗n勺要求等，稱為動態(tài)指標函數。若不考慮終端指標函數，僅有第二項

則稱為拉格郎日型(或積分型)。若僅有第一項，則稱為終端型(梅耶型)。

最優(yōu)控制問題就是在約束條件下尋求最優(yōu)控制u(l),受控系統在[I。,。]上，從初始狀態(tài)M0)

轉移到終端狀態(tài)x(。)時，性能指標J取極值。滿足條件的u⑴稱為最優(yōu)控制〃*?),這時狀態(tài)方

程的解稱為最優(yōu)軌線f(/),此時的性能指標J稱為最優(yōu)指標

三.靜態(tài)最優(yōu)化問題的解

(1)多元函數的極值J=/(?)這里〃=(%,%，…，“”)7

取極值的必要條件是更二o,取極小值還需滿足裝＞()海賽矩陣正定。

dudu2

(2)具有等式約束的極值

a嵌入法先從目標函數解出一個變量，代入目標函數，即成為沒有目標約束的函數。

b拉格朗口乘子法將約束條件乘以人,與目標函數相加，構成一個新的可調整的沒有約束的

多元函數。

目標函數約束條件g(x,〃)=0,新函數"=+丸是與g同維

的列矢量。

AHAHH

目標函數存在極值的必要條件是空=0—=0—?=0

dxdudZ

四.泛函及其極值一一變分法

動態(tài)最優(yōu)控制中的目標函數是一個泛函數，因此動態(tài)最優(yōu)化問題可以歸結為求泛函極值問題。

1.變分法概念

在控制系統中，自變量是t,宗量函數是狀態(tài)矢量X”），因此尢“〃，而

x=f[x,uj],所以，J可以寫成/=r人力，是積分型泛函。J的值取決于函數

“（f）,所以J是〃?）的泛函。求最優(yōu)控制J"）,就是尋求使性能泛函J取極值的

泛函的變分：泛函4M幻]的變分定義為，㈤二＜4y（幻+。協，（x）]

OG4=0

多元函數的變分：#=—J'tji+aSyx,y2+。?2,…，L+，◎'”〕

da0=0

多元函數取極值的必要條件是R=0

2.泛函極值的必要條件一一歐拉方程

求泛函/=P4X,尢小〃的極小值，就是確定工"）使J達到極小值。

九

定理：設曲線無什）的始點為4，0）=/，終點為1（。.）=七，則使性能泛函乂上取

極值的必要條件是：x?）是二階微分方程0一4（當=0的解。當一且（當=0稱為歐

dxdtdxdxdtdx

拉方程。

廿,d.oL.d0dLdx0OLdx0dLdl

其中咨蘇）=

dtdxdxdxdtdxdxdtdtdxdt

實例熟悉步驟。歐拉方程是二階微分方程，求解時有兩個常數待定。對固定端點問題，給定

x?o）=Xo，N。）二,?邊界條件，可以確定常數。對于自由端點問題，應有橫截條件來補足。

dL

=0匹=0

dx%

3.多元泛函的極值條件一一歐拉方程組

X”，無，兀，…，文〃，/M/取極值的必要條件是：毛⑺是二階

Jro

微分方程噴/勖=0的解。

實例熟悉步驟。p252

4.可變終端問題和綜合型性能泛函的情況略

五.用變分法求解連續(xù)系統最優(yōu)控制問題一一有約束條件的泛函極值

前面討論的是沒有約束的泛函極值問題.

有約束條件的泛函極值，解決思路：應用拉格朗口乘子法，構造增廣泛函，轉化為沒有約束

條件的極值問題。

1.問題描述

受控系統的狀態(tài)方程為、=〃（/）"］,給定初始狀態(tài)x?o）=Xo,求最優(yōu)控制?、耍?/p>

在％,。］上使目標性能泛函為J=。次（0）］+『〃〃取得極值。

最優(yōu)控制是一類條件泛函極值問題，求解時首先要定義哈密頓函數

H=L（x,u,t）+A!f（x,u,t）

2.不同邊界狀態(tài)下的最優(yōu)捽制必要條件

（1）末態(tài)無約束，但末態(tài)時間。固定。此時最優(yōu)控制的必要條件（由歐拉方程推出的）為

8H八dHdH.一,、"、河,，、

=0丸5=--———=x=