模塊素養(yǎng)評價

(120分鐘150分)

一、單選題(每小題5分，共40分)

1.點0是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則西+反+而等于()

A.ABB.BCC.CDD.0

【解析】選A.AO+OC+CB=AC+CB=AB.

2.已知i為虛數(shù)單位,a為實數(shù)，復(fù)數(shù)z=(a-2i)(l+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M,則“a=l”是“點M在第匹象

限”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】選A.因為復(fù)數(shù)z=(a-2i)(l+i)=a+2+(a-2)i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點M的坐標(biāo)是(a+2,a-2).若

點M在第四象限，則a+2〉0,a-2<0,所以-2<a<2,所以“a=l”是“點M在第四象限”的充分不必要條件.

3.函數(shù)f(x)=sinxcosx的最大值是()

11

A.-B.-B.一C.-D.1

22

1itit

［解析］選C.因為f(x)=sinxcosx?sin2x,由2x=1^2k)，k￡Z,得x-+kn,k￡Z,

224

711

所以當(dāng)x=kn+~,kGZBt,f(x)a，—.

42

4.已知圓錐的表面積是底面積的3倍,那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為()

A.120°B.150°C.180°D.240°

【解析】選C.設(shè)圓錐底面半徑為r,母線為/,則打17+n1"=311/,得/=2］',所以展開圖扇形半徑為2r,弧長為

2nr.所以展開圖是半圓.所以扇形的圓心角為180°.

5.已知函數(shù)f(x)=sin(3x』)(x￡R.s〉0)的最小正周期為兀，為了得到函數(shù)g(x)=cos<ox的圖象，只要

4

將產(chǎn)f(x)的圖象()

7T

A.向左平移一個單位長度

8

71

B.向右平移一個單位長度

8

It

c.向左平移一個單位長度

4

IT

D.向右平移一個單位長度

4

【解析】選A.由題知3=2,所以f(x)=sinGx+~)=cos

■??

6.已知點0,N在AABC所在平面內(nèi)，且|0A=|OB=|OC,NA+NB+NC=0,則點0,N依次是AABC的()

A.重心外心B.重心內(nèi)心

C.外心重心D.外心內(nèi)心

【解析】選C.由0A=IOB=IOC知,0為/XABC的外心；由NA+NBiNC=0,得AN=NB+NC,取BC邊的中

點D,貝”AN-NB+NC-2ND,知A,N,D三點頭線，且AN-2ND,故點N是的垂■心.

7.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書十八卷共八十一個問題,分為九類,每類九

個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三

邊a,b,c求面枳的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價,其求法是：“以小斜鼎,并大斜事,減中斜幕,余半

之，自乘于上；以小斜哥乘大斜暴，減上，余四約之，為實,一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成

h[77/N+d-f22

10+26的AABC滿足sinC：sinA：sin

公式，即S=J；ra-)卜見有周長為

B=2：3：V7,則用以上給出的公式求得aABC的面積為()

A.6百B.4巾0.8^7D.12

【解析】選A.因為sinC：sinA：sinB=2：3：巾,

因為AABC的周長為10+26，即a+b+c=10+2?,所以c=4,a=6,b=26,所以

則c：a：b=2：3：

02/12

8.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立

方體.其上下、左右、前后完全對稱，六根完全一樣的正四楂柱分成三組，經(jīng)90°樺卯起來,若正四棱柱的高

為5,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的

厚度忽略不計）（）

A.28nB.30nC.60nD.120n

【解析】選B.由題意，該球膨容器的半徑的最小值為并在一起的兩個正四棱柱體對角線的一半，

即為:,25+4+喈,所以該球形容器的表面積的最小值為4nX（吸

30n.

二，多選題（每小題5分，共20分，全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分）

9.已知a〃b,|a|=2|b|=6,則|a+b|的值可能為（）

A.3B.6C.8D.9

【解析】選AD.因為a〃b,|a|=2|b|=6,

則|a|二6,|b|=3.

當(dāng)a,b方向相同時，|a+b|=|a|+|b|=9;

當(dāng)a,b方向相反時，|a+b|=||a|-|b||二3.

10.^AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=2^3,c=3,A+3C=n,則下列結(jié)論正確的是（）

A.cosC=—

3

C.a=3D.

【解析】選AD.A+3C-n,故B-2C,

bc

根摭正弦定理:-----=-----,

sinBsinC

即2VOsinC=3X2sinCeosC,

得即f(x)=cos(irx+：)所以B選項不正確.畫數(shù)f(x)的對稱軸為nx+：=kn+n,k￡Z,即

x=kq,k￡Z,

37171

當(dāng)k=0時，x—是晶數(shù)f(x)的一條對稱軸，所以C選項正確.函數(shù)f(x)的對稱中心滿足nx^一=k■―,kGZ,

442

1

即x=k—,k€Z,

4

所鼠函數(shù)f(x)的對稱中心為(k+：,0)k￡Z,所以D選項正確.

12.如圖，正三棱柱ABC-ABG各條棱的長度均相等,D為AA、的中點,M,N分別是線段BB.和線段CG上的動點

(含端點)，且滿足BM=C,N,當(dāng)M,N運(yùn)動時,下列結(jié)論中正確的是()

A.在△DMN內(nèi)存在與平而ABC平行的線段

B.平面DMN_L平面BCC.B.

C.二棱錐ADMN的體積為定值

D.ADMN可能為直角三角形

【解析】選ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN,則交線,平行于平面ABC,故A選項正確；當(dāng)M,N分別在

BBi.CG上運(yùn)動時，若滿足BM=GN,則線段MN必過正方形BCCB的中心0,由D0J■平面BCCB可得平面DMN_L

平面BCCB,故B選項正確；當(dāng)M,N分別在BBi,CG上運(yùn)動時，AAiDM的面積不變，點N到平面A.DM的距離不

變，所以三棱維N-A.DM的體積不變，即三棱維A-DMN的體積為定值，故C選項正確；若AOMN為直角三角杉,

則必是以NMDN為直角的直角三角形，易證DM二DN,所以△DMN為等腰直第三角形，所以DO=OM=ON,即MN=2D0.

設(shè)正三棱柱的棱長為2,則D0=MN=2\/3.因為MN的最大值為BC”B*2a,所以MN不可能為2次,

所以△DMN不可能為直角三角形，故D選項錯誤.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.已知兩點A(-l,0),B(-l,V3).O為坐標(biāo)原點，點C在第一象限，且ZAOC=120°,設(shè)

5?=-3示+入55(入￡R),則入=.?

0人?0。］

【解析】由題他，得反二-3(-1,0)+'(-1，6)=(3-人，百人)，因為/A0C=120°,所以IOA||OC|=-,HP

2

3-ai3

,解得XL.

J(3-&，3笳22

14.已知A,B,C都是銳角，且tanA=l,LanB=2,tanC=3,則A+B+C的值為.?

taiM+tanB

【解析】因為tanA=1,tanB=2,所以tan(A+B)=-------------=-3,又因為tanC=3,

1-taiMtanB

所以tan(A+B+C)=0.

因為A,B,C都是銳角，所以A+B+C=180°.

答案：180°

15.太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路,一輛汽車測得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽

車行駛1km后，又測得小島在公路的南偏西75°的方向.匕則小島到公路的距離是km.?

【解析】如圖，NCAB=15°,ZCBA=183°-75°=105°,

ZACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km.

BCAB

由正弦定理得---------=-----------,

sinZCXBsin44c3

06/12

1

所以BO--------------?sin15°

sin60*

n一6,、

-------：一（km）.

2代

設(shè)C到直線AB的距離為d,

V6-/2歷+MV3

?']d=BC-sin750=-------X------------=—(km).

2G46

答案今

16.在正方體ABCD-A瓜CD中，若存在平面。，使每條棱所在的直線與平面。所成的角都相等，則各棱所在

的直線與此平面所成角的正切值為.?

【解析】根據(jù)題意可知，正方體的每條枝實質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為過同一頂點的三條棱，不妨轉(zhuǎn)化為過點日的三條枝

連接AiCbAiB,BC,如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)這三條枝所在的直線與平面ABG所成的角均相等.

取BC,的中點E,連接AiE,B,E,則在正三棱錐BLABG中，頂點Bi在平面AEG中的射影為等邊三角形A：BG的

中心，即點M,連接BM,則AN是線段AB在平面AEG中的射彩，所以/BAE為棱BA所在的直線與平面ABG

所成的角.設(shè)正方體枝?

2

/Ea

則tanZBiAiE=----------

4出a2

答案:叱

2

四、解答題（共70分）

17.：10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A（1,4）,B角2,3）,C（2,-1）.

■...

⑴求AB?AC及AB+AC；

（2）沒實數(shù)t滿足（AB-t反）_L反，求t的值.

【解析】（1）因為嬴=（一3,7）,而=（1,一5）,

所以廉?而=(-3)X1+(-1)X(-5)=2.

因為贏+菽=(-2,-6),

所以|A^AC|=V4+36=2>/TQ

(2)a為AB-toc=(-3-2t,-1+t)t0C=(2,-1),JL(AB-tOC)±OC,

所以(而一t而?OC=o,

即(-3-2t)X2+(-1+t)X(-1)=0,

所以t=-1.

18.：12分)已知函數(shù)f(x)=sin(2厘).

4

(1)求f(x)在x￡[0,兀]上的遞增區(qū)間；

(2)用“五點法”在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象;

71311Ttn5n

【解析】(1)令2kn^W2x--W2kTTL,kwz,所以kirLWxWkn4—,k￡乙

24288

因為OWxWn,

［n5n

所鼠f(x)在［0,n］上的增區(qū)間為一，一

18，

⑵列表:

08/12

函數(shù)圖象如圖,

3。(3n\

(3)將y=sinx的圖象上的所有點向右平移一個單位長度，得y=sin<x-——)的圖象.

44

(3n\1(3n\

再將y=sin'x-'的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一倍(縱坐標(biāo)不變)得y=sin''2x---’的圖象.

424

19.：12分)在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足0a-2bsinA=0.

(1)求角B的大小;

⑵若a+c=5,且a>c,b=V7,求廉?正的值.

【解析】(1)因為V&-2bsinA=0,

所第J5sinA-2sinBsinA=0,

因為sinAj。，所以sinQg

2

71

又B為銳角，所以BL.

3

⑵蟲⑴知耳b二O

,,n

根據(jù)余弦定理得7:a~+c2-2accos-,

3

整理得（a+c）2-3ac=7,又a+c=5.

所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,

b2-k-c2-a:7+4-9々

于是cosA-

2bc4v714

kXAB?AO|AB||AC|cosA=2X\/7x-^1.

20.112分）已知函數(shù)f（x）=V^sin（3x+小）（3>0,-*。<三）的圖象關(guān)于直線x」對稱，且圖象上相鄰兩

223

個最高點的距離為九

⑴求3和e的值；

⑵若f（2）=^（、a（也），求cos（"史）的值.

24632

【解析】（1）因為f（x）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為n,所以f（x）的最小正周期T=n.

2n

從而3=---=2.

又因為f（x）的圖象關(guān)于直線XL對稱,

3

nn

所￡2?r。=knl,k€Z.

32

n7i11211n

由一W0＜一得k=0,所以0--------.

22236

(2)h(1)^f(x)=V3sin(2x--),

6

??sE（2親釁,

所￡f

…(3

64

n2nITn

10/12

因此cos(a**---)=sina=sin

.(471(aU

=sin'a--/cos-+cos

66

16而1b+、is

=-X-Ix-=------.

42428

21.U2分)(2020?全國I卷)如圖,D為圓錦的頂點,0是圓錐底面的圓心,AABC是底面的內(nèi)接正三角形,P

為D0上一點,ZAPC=90°.

(1)證明:平面PAB_L平面PAC;

(2)設(shè)D0=V2圓錐的側(cè)面積為6n,求三棱錐P-ABC的體積.

【解題指南】⑴根據(jù)已知可得PA=PR=PC,進(jìn)而有△PACg/XPBC,可得/APC=/BPC=90°,即PB1PC,從而證

得PBJL平面PAC,即可證得結(jié)論；

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線/和底面半徑r的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，求出正三角形ABC的邊長,在等腰直

角三角形APB中求出AP,結(jié)合PA=PB=PC即可求出結(jié)論.

【解析】(1)由題設(shè)可知,PA=PB=PC.

由于AABC是正三角形，故可得4PAC空aPAB.APAC^APBC.

又/APC=90°，故/APB=90",ZBPC^90c.

從而PB±PA,PB1PC,故PBJ?平面PAC,因為PB在平面PAB內(nèi)，所以平面PABJ■平面PAC.

(2)沒圓錐的底面半徑為r,母線長為/.

由題設(shè)可得7