專題5.1矩形的性質(zhì)與判定【八大題型】

【浙教版】

【題型?由矩形的性質(zhì)求線段的長度】............................................................1

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】.............................................................2

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】.................................................................3

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】.......................................................4

【題型5矩形判定的條件】......................................................................6

【題型6證明四邊形是矩形】....................................................................7

【題型7矩形中多結(jié)論問題】...................................................................11

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】..............................................................12

【知識點(diǎn)1矩形的定義】

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【知識點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對

角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的

直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長度】

【例I】（2022春?新泰市期末）如圖，在矩形中，對角線4C與8。相交于點(diǎn)O,DE

A.AC,垂足為點(diǎn)E,CE=OE,則。E的長為（）

【變式1-1］（2022春?開州區(qū)期木）如圖，在矩形/WC。中，對角線AC、6Q相交丁點(diǎn)O,垂直平分

0C,交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接4F,若8Q=2i,DF=2,則河的長為（）

同

&pc

A.、V°SB.27I5C.Vv7D.3

【變式1-2]（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在矩形/WC.。中，。是4。的中點(diǎn),￡.為A/J邊上一點(diǎn)，且有

AE=OB=2.連接OE,若NAEO=75°,則OE的長為（）

A,__________?_____D

BC

；V375*2

A.-B.、C.2D.2、

【變式1-3]（2022?南崗區(qū)期末）如圖，矩形48CO中，點(diǎn)E,尸分別在A。，CD上，且Cr=2。尸=2,

連接BE,EF,BF,且平分NEBC,NEFB=45°,連接CE交B產(chǎn)于點(diǎn)G,則線段EG的長為.

A二t_____________E_______D

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2】（2022春?沸水區(qū)期中）如圖，在矩形A8C。中，AC.8。交于點(diǎn)0,OEJ_AC于點(diǎn)E,ZAOD=

110°,則NCQE大小是（）

]X

A.55°B.40°C.35°D.20°

【變式2-1]（2022?武昌區(qū)期末）如圖,把一張矩形紙片沿對角線折疊，如果量得/EO尸=22°,則NFQ8

的大小是（）

E

C.24°D.68°

【變式2-2]（2022春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形/WC。中，AB=2,AD=\,點(diǎn)M在邊。C上，若AM平

)

C.75°D.30°

【變式2-3]（2022春?莫旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形A8C。的形狀,

則平行四邊形ABCO的最大內(nèi)角的大小是

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】

[例3]（2022春?浦東新區(qū)期末）我們把兩條對角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩

形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對角線長為10。〃，則矩形的面積為，

【變式3-1]（2022?成都）如圖，過矩形/WCD的對角線8D上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,

那么圖中矩形AMKP的面積S與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S]S2;（填或“V”或

【變式32]（2022春?成都期末）如圖，點(diǎn)E是矩形A8C。邊八。上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E,以8E邊作矩形

【變式4-1]（2022春?任城區(qū)期末）定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三

角形為“智慧三角形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形OA5C的邊04=3,0C=4,點(diǎn)M（2,

0）,在邊A8存在點(diǎn)尸，使得為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.（3,1）或（3,3）B.（3,5或（3,3）

C.（3,二）或（3,I）D.（3,或（3,1）或（3,3）

=-=-

【變式4-2]（2022?西平縣模擬）已知在矩形中，48=4,BC二，O為BC上一點(diǎn)，BO:,如圖

所示，以8C所在直線為x軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,如圖1,以O(shè)M為一邊作等接△OMP,使點(diǎn)。在矩形/WC。的一邊上,

則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若將（1）中的點(diǎn)用的坐標(biāo)改為（4,0）,其他條件不變，如圖2,那么符合條件的等腰三角形有

幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2

【變式4-3]（2022春?浦江縣期中）如圖，長方形048。中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為

（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度

沿著。一C-8-A-0的路線移動(dòng)（移動(dòng)一周）.

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在移動(dòng)過程中，當(dāng)△O4P的面積是1（）時(shí)，直接寫出點(diǎn)戶的坐標(biāo).

八

y

C-------

OAx

【知識點(diǎn)3矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.

【題型5矩形判定的條件】

[ft5]（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形/WCQ為平行四邊形，延長A。到E,使。連接

EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形O8CE成為矩形的是（）

E

C

AB

A.AB=BEB.BEA.DCC.NAQB=90'D.CELDE

【變式5-1]（2022春?江油市期末）在四邊形48C。中，AC、3。交于點(diǎn)O,在下列條件中，不能判定四

邊形A8C。為矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZB/.D=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C.NBAD=NBCD,N4BC+/8CD=180°,ACLBD

D.NR4O=N4BC=90°,AC=BD

【變式5-2]（2022春?仙居縣期末）如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，延長人。到E,使DE=AQ,連

接￡8,EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形。4CE成為矩形的是（）

A.AB=BEB.CE1DEC.NADB=90‘D.BE1DC

【變式5-3]（2022?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)凡G在邊上,

且。G=E￡只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形。尸GE是矩形，這個(gè)條件可以是.（寫出一個(gè)

即可）

【題型6證明四邊形是矩形】

【例6】（2022春?南譙區(qū)期末）如圖，在平行四邊形"CD中，對角線AC,BO相交于點(diǎn)O,若E,尸是

線段4c上兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)分別從A,C兩點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)C,4運(yùn)動(dòng).

（1）求證：△A。/絲△C3F；

（2）若BD=8cm,AC=14cm,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，為多少秒時(shí)，四邊形OE8r是矩形？

【變式6-1](2022春?海陵區(qū)期末)如圖，在AABC中，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線MN,

交NAC8的平分線于點(diǎn)E,交△A8C的外角N4CQ的平分線于點(diǎn)F.給出下列信息：&MN//BC；②OE

=OC；?OF=OC.

(1)請?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；

(2)在(1)的條件下，連接AE、AF,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形4EC尸是矩形？

請說明理由.

BD

【變式6-2](2022春?津南區(qū)期末)已知口A8CD,對角線AC,8。相交于點(diǎn)O(AO8。)，點(diǎn)E,廣分

別是OA,OC上的動(dòng)點(diǎn).

(I)如圖①，若AE=CF,求證：四邊形石8日。是平行四邊形；

(II)如圖②，若OE=OB,OF=OD,求證：四邊形EBFO是矩形.

圖①圖②

【變式6-3］（2022春?洪澤區(qū)期末）在矩形A8C。中，A8=6,BC=8,E、尸是對角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

分別從4、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，其中0WW10.

（1）若G、〃分別是人。、的中點(diǎn)，則下列關(guān)于四邊形EG"7（石、尸相遇時(shí)除外）的判斷：①一定

是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是—；（直接填序號，不用說理）

（2）在（1）的條件下，若四邊形為矩形，求/的值.

【題型7矩形中多結(jié)論問題】

【例7】（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片4BCO中M=4,8C=8,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在A。，BC上,

將紙片A8CO沿直線E戶折疊，點(diǎn)C落在人。上的點(diǎn)〃處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，連接CE,CH.有以下四

個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②CE平分NQS：③線段〃下的取值范圍為3W4尸w4；④當(dāng)點(diǎn)H9

點(diǎn)A重合時(shí)，EF=5.以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有：）

【變式7-1］（2022春?南充期末）如圖，矩形44co中，M,N分別是邊/W,CQ的中點(diǎn)，3PLAN于P,

C尸的延長線交4。于Q.下列結(jié)論：①PM=CN；②PM_LCQ：③PQ=AQ；?DQ<2PN.其中結(jié)論正

確的有（）

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式7-2］（2022春?泉州期末）如圖，點(diǎn)P是矩形"CO內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)見、PB、PC、PD,設(shè)△氏8、

NPBC、APCD、△「加的面積分別為Si、S2、S3、S4，以下四個(gè)判斷:

①當(dāng)NR13=NPD4時(shí)，B、P、。三點(diǎn)共線

②存在唯——點(diǎn)P,使PA=PB=PC=PD

③不存在到矩形ABCD四條邊距離都相等的點(diǎn)P

④若S1—S2?則§3=§4

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【變式7-3］（2022春?興文縣期中）如圖，矩形48C。中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)8作8F_LAC交C。

于點(diǎn)F,交4c于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作OE〃8尸交48于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)N,連接產(chǎn)MEM.則下列結(jié)論:

①DN=BM；②上M〃尸M③/才=N”；④當(dāng)AO=AL）時(shí)，四邊形DE8卜是菱形.其中正確的結(jié)論是

【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】

【例8】（2022春?海淀區(qū)期末）如圖，在△A8C中，￡＞是A8上一點(diǎn)，AO=QC,QE平分乙4OC交AC于

點(diǎn)E。廠平分N8DC交