專(zhuān)題4.5因式分解全章五類(lèi)必考?jí)狠S題

【浙教版】

必考點(diǎn)利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)

1.(2022秋?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀?在必+5方+7"+"中，若有一個(gè)因式為(、+2),

則上的值為()

-2-6

A.2B.C.6D.

2.(2022秋?四川南充?九年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀?若廠+D'+&x+6能分解成兩個(gè)一次

因式的積，則整數(shù)k=.

3.(2022春?浙江?七年級(jí)期末)甲乙兩個(gè)同學(xué)分解因式f+ar+/2時(shí)，甲看錯(cuò)了〃，分解結(jié)果為G+2)(文+4),

乙看錯(cuò)了a,分解結(jié)果為(x+1)(x+9),則2a+Z?=.

4.(2022秋?四川宜賓?八年級(jí)?？计谀?若是a—5a+m的一個(gè)因式，求m的值.

5.(2022秋?河南南陽(yáng)?八年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？计谀?已知廠+1是多項(xiàng)式2+'的一個(gè)

因式，求a,b的值，并將該多項(xiàng)式因式分解.

6.(2022秋?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谀?1637年笛卡爾(R.Descartes,1596-1650)在其《幾何學(xué)》中，

首次應(yīng)用待定系數(shù)法最早給出因式分解定理.關(guān)于笛卡爾的“待定系數(shù)法〃原理，舉例說(shuō)明如下：

分解因式：廠/+'1*4-3'x—5

Y-1—n

解：觀察可知，當(dāng)時(shí)，原式一

原式可分解為a-"與另一個(gè)整式的積.

設(shè)另一個(gè)整式為/+H+c則/+X?+3xT=(X-1)(/+bx+Q

..(x-l)(x2+bx+c)=x3+(b-l)x2+(c-b)x-c

?，

.x3+x:+3x-5=x3+(b-I)12+(c-b)x-c

r

???等式兩邊同次舞的系數(shù)相等，

p—1=1

卜-b=3p=2

則有：r=-S,解得卜=5.

.?+X2+3X-5=(X-1)(JC+2X+5)

???

根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問(wèn)題：

⑴根據(jù)以上材料的方法，分解因式必—3的過(guò)程中，觀察可知，當(dāng)”=時(shí)，原式=°,所以原式

可分解為與另一個(gè)整式的積.若設(shè)另一個(gè)整式為則⑶=,°=.

⑵已知多項(xiàng)式°、+1(°為常數(shù))有一個(gè)因式是x'L求另一個(gè)因式以及0的值.

下面是小明同學(xué)根據(jù)以上材料方法，解此題的部分過(guò)程，請(qǐng)幫小明完成他的解答過(guò)程.

解:設(shè)另一個(gè)因式為則a+D⑴+以+c).

⑶已知二次三項(xiàng)式/k十4-'3Xx"A追k為常數(shù))有一個(gè)因式是Xv4-4l則另一個(gè)因式為，k'的值為

7.(2022秋?全國(guó)?八年級(jí)期末)方法探究:

已知二次多項(xiàng)式X-4L21,我們把”二-3代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)—4x-21=°,由此可以推斷多項(xiàng)式中

有因式a+3).設(shè)另一個(gè)因式為a+z),多項(xiàng)式可以表示成‘八叫則有

<',因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即,解得,因此多

項(xiàng)式分解因式得：k-4x-21=(”+3)(x-7).我們把以上分解因式的方法叫，，試根法〃.

問(wèn)題解決：

⑴對(duì)于二次多項(xiàng)式x-4,我們把％=代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)x-4二°成立：

⑵對(duì)于三次多項(xiàng)式必一十一"'3,我們把尸1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)必一、?一313=0,由此可以推斷多

項(xiàng)式中有因式(”一1),設(shè)另一個(gè)因式為(燈+。”+匕)，多項(xiàng)式可以表示成

x3-x2-3x+3=(x-l)(ir+ax+b)

,試求出題目中a,。的值;

2+4洞一3*—1F

⑶對(duì)于多項(xiàng)式？用"試根法〃分解因式.

必考點(diǎn)2N利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算

1.（2022秋.河北邢臺(tái).八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)*4）X（T）X（L/X（T勺值為（）.

2爐+5”（

2.（2017秋?山東FI照?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如果?十。能被n整除，則n的值可能是‘

A.20B.30C.35D.40

3.（2022春?浙江杭州?七年級(jí)期末）8"-8c能被（）整除

A.76B.78C.79D.82

2001X19

4.（2022春?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算:

102-92182—7:++22-12=

5.（2022秋?重慶沙坪壩?九年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)尊:

2019202-2019192

6.（2022秋?江西南昌?八年級(jí)期末）計(jì)算”,2r“"I的結(jié)果是

必考點(diǎn)3、利用因式分解探究三角形形狀

1.（2022秋?四川內(nèi)江?八年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若a、b、c是△“8’的三邊，且滿(mǎn)足

"+bc-ba-ca=0+ab-cb-ac=0、

,,則的形狀為（z）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

2.（2018秋?江西?八年級(jí)校考階段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題：

要把多項(xiàng)式加+m+Am.E因式分解，可以先把它的前兩項(xiàng)分成.一組，并提出凡把它的后兩項(xiàng)分成-

組，并提出從而得到。5+冷+皿+2這時(shí)，由于。（m+r0+b（m+2又有因式切+?于是可

提公因式⑺+n）,從而得到9+b）（m+⑴因此有所+?+所+同=加+⑴+b（m+捫

=（a+b）（m+“）.這種因式分解的方法叫做分組分解法.

在三角形中，若任意兩條邊的差均為0,則這個(gè)三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0,則這個(gè)三角

形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0,則這個(gè)三角形是直角三角形。

請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問(wèn)題：

(1)將多項(xiàng)式分解因式；

(2)若“血的三邊。、，、C滿(mǎn)足條件：=0,試判斷4必的形狀.

3.(2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)若°、2嗔三角形的三條邊，求證：吁齊一5一2機(jī)＜0.

Ajornhra+b+c=gV2a2b2C2—?A.ARC

(2)在AA“中，三邊分別為°、“、C,且滿(mǎn)足-,?,試探究外的形狀.

(3)在△48C中，三邊分別為0、4C,且滿(mǎn)足M(b-c)+S(c-a)+Ra-b)=0,試探究班的形

狀.

4.(2022秋?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)求解下列問(wèn)題：

⑴式+2尸-2xy+8y+16=0求噓值；

(2)已知△4區(qū)的三邊長(zhǎng)°、“、C都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足M+"一6"8b+25+|4-c|=0,請(qǐng)問(wèn)真是什

么形狀的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2022秋?福建福州?八年級(jí)?？计谥?若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為。，be且滿(mǎn)足等式

3(“)爐+―=(&+b+c)：試確定該三角形的形狀.

6.(2023秋?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料，要將多項(xiàng)式am+°n+bm+”分解因式，可以先把它

的前兩項(xiàng)分成一組，提出公因式a,再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式仇從而得到：

om+an+bm+E=a(m+幾)+b(m+”這時(shí)+n)+b(m+幾)中又有公因式(m+幾),于是可以提

出⑺+2從而得到佃+n)(fl+叱因此有am+g+融+E=a(mf)+b(m+n)=(m+n)("b)

這種方法稱(chēng)為分組法.請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

ac-bc+ab-a2;

⑴嘗試填空:

2x-18+xy—9y

⑵解決問(wèn)題：因式分解

⑶拓展應(yīng)用：己知三角形的三邊長(zhǎng)分別是4,AC,且滿(mǎn)足爐+L-觀=°,試判斷這個(gè)三

角形的形狀，并說(shuō)明理由.

7.（2022春?山東青島?八年級(jí)?？计谥校?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互

轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如:

探索整式乘法的一些法則和公式.

⑴探究一:

將圖1的陰影部分沿虛線剪開(kāi)后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分

解因式_____________________

⑵探究二：類(lèi)似地，我們可以借助一個(gè)楂長(zhǎng)為°的大正方體進(jìn)行以下探索：

在大正方體一角截去一個(gè)棱長(zhǎng)為＜°）的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為:

⑶將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③，如圖4、圖5所示，,BC=aAB=bCF=b

「?長(zhǎng)方體①的體積為0"0一加.類(lèi)似地，長(zhǎng)方體②的體積為，長(zhǎng)方體③的體積為；（結(jié)

果不需要化簡(jiǎn)）

⑷用不同的方法表示圖3中幾何體的體枳，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為.

⑸問(wèn)題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知。》=6,ab=2,求的值.

⑹類(lèi)比以上探究，嘗試因式分解：=.

8.(2020秋?湖南衡陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))閱讀材料：若皿->""+2不一加+16=°,求它門(mén)的值.

%,而-2mn+2n2-8n+16=0,

(nr-2mn+n:)+(M-8n+16)=0.

??(m-n廠+(n-4r=0.

An=4.m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：

(1)已知一個(gè)不等邊三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且a、b、c都是正整數(shù)，并滿(mǎn)足。?十》一

求c的值.

(2)已知a、b、(:是△"S'的三邊長(zhǎng),且滿(mǎn)足2b3-。-。)=0,試判斷△A8c的形狀.

4

(3)試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式'1盯+廣+6”+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此時(shí)乂、y

的值；若不存在，說(shuō)明理由.

9.(2021春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A",0),點(diǎn)B(0,b),已知a,b滿(mǎn)足

(2)如圖1,點(diǎn)七為線段上一點(diǎn)，連接A￡,過(guò)點(diǎn)A作AnLAE,fiAF=AE,連接3b交火軸于點(diǎn)Q,

若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,c),求c的值及OE的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EG_LA8于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作3C〃x軸交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連

接。C、AC,試判斷aAOC的形狀，并說(shuō)明理由.

必考點(diǎn)4L4口用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解

1.閱讀材料：我們把多項(xiàng)式+a及。.一“0+b.叫做完全平方式.如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方

式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的

值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解

的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值，最小值等?例分解因式：

22

N+2X-3=(X+2X+1)-4=(X+1)-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)?又例如求代

數(shù)式2『+41的最小值「2『+456=2(/+2-1)2-8；又???(X+1＞叫工當(dāng)X=-1

2x^+4x—f—8

時(shí)，有最小值，最小值是

根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：

⑴分解因式：”-癡-5=；

(2)已知△4區(qū)的三邊長(zhǎng)°、AC都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足M-4a+⑵+4°=°求邊長(zhǎng)。的最小值；

⑶當(dāng)'''為何值時(shí)，多項(xiàng)式-A+29-2廠+6y+7有最大值？并求出這個(gè)最大值.

2.閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，

配方法等.?般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決同題.

例如：分解因式—-4f+x+6.步驟：

解：原式=/-3X2-/+x+6第1步：拆項(xiàng)法，將-4/拆成-3犬和-『；

=C?-3f)-(f-x-6)第2步：分組分解法，通過(guò)添括號(hào)進(jìn)行分組；

=W(x-3)-(x+2)(x-3)第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)；

=(x-3)(.x2-x-2)第4步：提公因式法(整體)；

=(x-3)Q-2)(戶(hù)1)第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底.

(1)請(qǐng)你試一試分解因式/-7x4-6.

(2)請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式51+6.

3.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組

分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等.

①分組分解法：將?個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法.例如:

JT-2xy+y2-4=(x2-2x),+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2)

②拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法.例如:

必+2x-3=x2+2x+l-4=(x+l)2-22=(x+l-2)(xfl+2)=(x-l)(x+3)

③卜字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式.分解步驟：1.分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在

十字十字交叉線的左上角和左下角；2.分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；3.交

叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4.觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果.這種分

解方法叫作十字相乘法.

觀察得出：兩個(gè)因式分別為("+7)與(”一1)

例如廣6一

分析：

x?+6x-7

xy7

-x+7x=6x

解：原式=(x+7)(x-l)

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

①(分組分解法)"+4"一八1

②(拆項(xiàng)法)燈-6X+8

③人"+6=

(2)已知:‘、一為△"%三條邊，/+公工…-統(tǒng)-G+17=0求比的周長(zhǎng).

4.閱讀卜列分解因式的過(guò)程：

x2+2ax-3a2

=x2f2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-4a2

=(x+a+2a)(x+a-2a)

(x+3a)(x-a).

像上面這樣通過(guò)加減項(xiàng)配出完全平方式后再把二次三項(xiàng)式分解?因式的方法，叫做配方法，請(qǐng)你,用配方法將

下面的多項(xiàng)式因式分解?：

(1)m2-4mn+3n2：

(2)x2-4x-12.

5.閱讀以下文字并解決問(wèn)題：

對(duì)于形如X+20'+。?這樣的二次三項(xiàng)式，我們可以直接用公式法把它分解成a+G"的形式，但對(duì)于二次

三項(xiàng)式k+6x-27,就不能直接用公式法分解了。此時(shí)，我們可以在k,6”-27中間先加上一項(xiàng)必使它

與獷+62的和構(gòu)成一個(gè)完全平方式，然后再減去九則整個(gè)多項(xiàng)式的值不變。即：

X2+6x-27=(X2+6X+9)-9-27=(X+3尸-6S=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(1-3)像這

樣，把一個(gè)二次三項(xiàng)式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.

(1)利用“配方法'’因式分解：klxyTy2

/.、業(yè)a+b=6ab=5分公標(biāo)+爐小小+b'的/古

(2)若，，求：①，②的值.

/_、a2+2Z>:+r-2flb-6h-4c+13=0#a+b+(，/士

(3)如果m，求的1V值.

6.閱讀理解：

添頂法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會(huì)起到意想不到的作

用，例如：

例1：計(jì)算(3+D(32+R(34+D(38+U(3i6+D(332+l)

1

解：原式=2(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

1

=：(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

=?(34?1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

尸-1

="2"

例2：因式分解：x4+x2+l

解：原式=x4+x2+l=x4+2x2+l-x2

=(x2+l)2-X2

=(x2+l+x)(x2+l-x)

根據(jù)材料解決下列問(wèn)題：

(1+1)(1+?)(1+?)(1+?)(1+擊)

⑴計(jì)算:

(1'+4)(S4+4M$4+4)(田+4)

⑵小明在作業(yè)中遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，計(jì)算(Vzkim'x-(“'?，)，通過(guò)思考，他發(fā)現(xiàn)計(jì)算式中的式子

可以用代數(shù)式之x，+4來(lái)表示，所以他決定先對(duì)x，+4先進(jìn)行因式分解，最后果然發(fā)現(xiàn)了規(guī)律；輕松解決了這

個(gè)計(jì)算問(wèn)題.請(qǐng)你根據(jù)小明的思路解答下列問(wèn)題：

①分解因式：xM；

②計(jì)算.51-4r[+4illi1+4...51'-4|

7.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將?個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組

分解法、拆項(xiàng)法等等.

①分組分解法：

例如x2-2xy+y2-4=(xa-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2)

②拆項(xiàng)法：

心X2+2X-3=X24-2X+1-4=(X+1)2-22=(X+1-2)(x+1+2)=(x-l)(x+3)

例如：.

仿照以上方法分解因式：

⑴江+4?力1；

⑵—

8.閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法〃，方法的關(guān)鍵是“拆兩頭，湊中間〃,

例如，分解因式"+3個(gè)'-廣，方法如下：拆兩頭，4k拆為虹.x‘一’拆為然后排列如下：交

叉相乘積相加得吃湊得中間項(xiàng)，所以5+3盯-「=（虹-y）（x+y）,利用材料解決問(wèn)題的策略解答

下列問(wèn)題:

⑴解方程：

⑵己知/.孫_】2產(chǎn)=0（孫工0）,求:的值.

必考點(diǎn)5'因式分解的應(yīng)用

1.王林是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息："-I,°一,，3,尸+1,a,分

別對(duì)應(yīng)六個(gè)字：南，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，河，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可

能是（）

A.我愛(ài)數(shù)學(xué)B.愛(ài)河南C.河南數(shù)學(xué)D.我愛(ài)河南

2.已知°、°、C是一個(gè)三角形的三邊，則。+廠〃C的值